特集第1回〔共通事項〕がわかる！― Part1 新学習指導要領の〔共通事項〕がわかる！妄想力・造形力・創造力 ∼ある理工系研究者の雑感∼ 東京工業大学大学院理工学研究科集積システム専攻准教授山田功 1．高次元空間のお絵描き（図形）が方程式で表現されること、また、方程式が絵を表現することから、大抵の図形の問題は実図２理想的な近づき方を考える際に使った絵幼稚園のころ、10種類以上のサメの名前や体長、は方程式で解くことができることに気づいたときディアを獲得するには常に先人のアイディアを客性質、何度も再生される歯やエラの形状の意味をも大いに驚き、以後、中学・高校時代は数学に夢観視できるようになることが大切です。客観視で得意になって説明し、先生に驚かれたことがあり中になりました。きない状態ですと、よほど幸運な場合でも、世界ます。当時、私は「こども百科事典」の中にあっその後、好きな数学を駆使することができて少中に何万人もいる同学の士の常識とほとんど差のた美しいカラーのイラストや写真から伝わるサメしでも世の中の役に立てるものは何かを思案し、図1 数理科学や工学における発想の一方法のカッコよさに夢中で、「こんな奴に出会ったらど大学・大学院では情報工学の分野に進み、現在はや３次元空間に写し取っているように感じます。凡な改良」とは、自分が貢献しなくても、すぐにうやってやっつけたらよいのか？負けそうにな大学院で情報通信工学や数理工学の教育・研究を高次元空間の絵を視覚化した「２次元空間の大差ないアイディアが他から提案される類の改良ったらどうやって逃げたらよいのか？」、毎日飽きしています。絵」が得られると、研究者はそこに描かれた点やのことで、あまり魅力はありません。先人のアイもせず妄想していたのです。描画が２次元平面という名のスケッチブックに物体を移動・回転させたり、変形したりすることディアを客観視できない状態は、戦いの前に戦意「小学校の入学式の写真撮影」という晴れの舞台絵を描く工程であるように、造形も３次元空間とにより、「２次元空間の絵」に変化を加え、ああで喪失してしまった状態に似ています。では、隣にいたイイダ君と取っ組み合いの大喧嘩いう名のスケッチブックに絵を描く工程と解釈でもないこうでもないとウンウン悩みながら「２次それでは、「何をすればよいのか」ということにない平凡な改良しかできません。ここで言う「平を演じ、周囲を呆れさせました。将来を悲観したきます。デカルト（1596∼1650：数学者であると同時に元空間の新しい絵」を描画します。最後に数学をなるわけですが、私が心がけていることを拙い経両親は、情緒の安定を願って、数日後、半ば強制哲学者）は、座標の概念を使って、高次元空間という使って「２次元空間の新しい絵」を「高次元空間験とともにご紹介したいと思います。まず、第１的に私を近所のお絵かき教室に通わせ始めました。名の「スケッチブック」を人類にもたらしてくれの絵」に反映させます。「変化した高次元空間の歩として、「先人の主要なアイディアを整理し、 “目お絵かき教室の鯨井先生は自由に絵を描かせてました。絵」は新しいアイディアに対応しているのです（図に見えるスケッチブック”上に視覚化すること」くれましたので、そこでもサメやライオンの絵ば私の専門分野の研究では数学を使って「高次元１参照）。を試みています。これは、「一見複雑そうに高尚にかり描いていました。カッコいい３次元形状のサ空間」に絵を描くことに大半の時間が費やされまですからよく考えると、数理科学や最先端のテ見えるアイディアも枝葉末節を取り払ってみれば、メを2次元平面のスケッチブックにリアルに表現す。そのように考えれば、現在の私の仕事も絵描クノロジーの成否も“目に見えるスケッチブッきっと単純明快なものであるにちがいない。単純することはとても難しく、顔が大きくなりすぎなきになりたいという少年時代の夢に繋がっているク”に自由に絵が描けるかどうかに懸っているこ明快なものならきっと絵にすることができるだろいように全体のバランスを考えること、遠近法がような気がいたします。とに気づかされます。う。」と確信めいた経験則があるからです。 2．造形力と創造力 3．「造形マジック」がもたらす「大胆な発想」影をつけるとうまく見えること等、いろいろ工夫数学ではよく「幾何学的に解釈すると…」とい私は工学系大学院で研究室の学生と一緒に「世源を辿れば「何だそんな当たり前のことか」と思するようになりました。学校でも時々褒められるう議論が行われます。これは、「高次元空間に描かの中で未だ知られていない大胆で面白いアイディえる類の話に帰着できるはずです。このことは20 と嬉しくて、次第に絵描きになりたいと思うようれた絵」は目に見えないので、それがどうなってア」を生み出すことを目標にしています。世界初世紀最大の物理学者アインシュタインの名言にもなりました。いるのかを理解するために目に見える「２次元空の面白いアイディアを生むコツは、実は「人の論「Everything should be made as simple as pos- 小学校４年のとき、父に連れられ、倉敷の大原間」か「３次元空間」のスケッチブックに視覚化文をあまり読みすぎないこと」「人の論文のアイ sible but not simpler.」からも納得できるのではな役に立つこと、クレヨンの線は水彩絵の具の防波堤になり簡単に色が付けられること、指で擦って美術館のルオー展に行きました。ルオーの自由でする工程に他なりません。大胆な線を見て、３次元情報を写し取る以上の絵それは３次元形状のサメを２次元平面のスケッ（例ディアに呑み込まれないこと」と言われていますえば［文献１］）。ニュートンがリンゴの木を見て「万有引力の法則」の着想に至ったように、天才のアイディアもいかと思います。視覚化によって「２次元空間の絵」が得られるの力を強烈に体感したことを覚えています。進学チブックにリアルに表現する工程とそっくりなの著名な研究者の多くの論文を感服しながら読みと、我々凡人にも先人のアイディアが「当たり前」した中学校は、大潮の夜、クサフグの大群が産卵です。大好きなゴッホやルオーや北斎やロダンの続けていると、その強烈な発想にがんじがらめにに見えてきます。この段階で偉大な先人に対するにやってくるような瀬戸内海沿いの風光明媚なと頭の中は到底想像することはできませんが、彼ら縛られてしまい、「凡人の自分にはこれ以上、新しコンプレックスはかなり解消できます。図２は「時ころにありました。そこで自然の美しさを日々感の絵や彫刻を見るたびに、優れた芸術家の作品はく貢献できることはないのではないか」という無々刻々変化する情報を追いかける問題（専門的にじると同時に、数学の面白さに目覚めました。絵彼等がイメージする高次元空間の絵を２次元平面力感に陥ってしまいがちです。自分で新しいアイはAdaptive filteringと言います）」を考える際に利 6 7 特集第1回〔共通事項〕がわかる！― Part1 新学習指導要領の〔共通事項〕がわかる！用した絵で、この問題の本質を説明するときに今でも使っています（［文献２］）。サメを使ったのは私にとってイメージしやすいからです。「三つ子の魂百まで」と言いますが、幼稚園時代からほとんど成長していないのには驚きです。こういう「２次元空間の絵」をじっくり観察して、作戦を練るのです。次第に先人のアイディアの長所や弱点がはっきりと見えてくるようになります。これは客観視できるようになったことに他なりません。また、弱点を克服するために「２次元空間の絵」に大胆にも変化を加えられるようになり、ああで図３２つの集合の共通部分に向かう戦略もないこうでもないと紙の上で試行実験することこれまでの定説、常識を打ち破り、コペルニクスばれています（注２）。ができます。造形のマジックが我々凡人を天才と的な発想の転換を生み出す勇気さえも私たちに与いくつかの絵を描いて試してみればすぐに気が同じ視線に引き上げてくれ、アイディアを生む勇気を与えてくれます。この段階では、先生も学生もありません。先生のアイディアが否定されることもしばしばです。まさに、「アイディアの出し合い合戦」という状態図４「凹みのない物体」と「凹みのある物体」（注１）えてくれるのではないかと思っています。つくことですが、C１、C２が凸集合であればカブト 4．スケッチブックで考えるアイディアの例以下、２次元空間のスケッチブックで理解でき（例えば［文献３］参照）る面白いアイディアを紹介します。ムシは酒場に辿り着けることがわかります。一方、凸集合でない場合には酒場に辿り着ける保証はありません。さらに凸集合の数が３つ以上の場合で図５石彫「伝承と創造」あったとしても、同様な千鳥足作戦で共通部分にになってきます。私はこの時間をとても大切にし図３をご覧ください。樹液のお酒に酔ったカブ辿り着けることが絵を描いて確かめられます。「科学技術の伝承と創造」という香り高いエッセています。教師の発想が「思い込み」や「経験」トムシがx０の位置にいるとします。飲兵衛のカブ実は、千鳥足作戦は高次元の世界でもそのままイがあります（［文献４］）。科学技術の発展についての含に縛られて大胆な発想を阻害してしまうことも十トムシは未だ飲み足りていません。２本の枝C１と通用することが証明されており（［文献３］）、信号処理工蓄に富んだ名文です。分に考えられるからです。 C ２が交わった場所においしい樹液がたっぷり飲学で最も強力なアルゴリズムの１つとして、例えそして東京工業大学すずかけ台キャンパスには、一方、経験が乏しい学生の質問や思いつきにはめる酒場があることは覚えているのですが、酩酊ばCTスキャンの断層画像再構成問題や携帯電話その精神を具現化した空充秋氏制作の石彫「伝承常識にとらわれない大胆な発想が潜んでいる可能状態なので一方の枝しか見えません。そこでまず、の音響エコー消去問題などに広く使われています。と創造」があります（図５）。岸源也氏が定年退官性があり、これを大切にしない理由はありません。枝C１の上で一番近くにある位置x1に飛び移ります。数学は２次元空間のスケッチブックで獲得したアされたときに寄贈されたものです。この不思議な学生の目も輝きだします。今ディスカッションし x1に到着すると今度は枝C２しか見えません。x1からイディアを高次元のアイディアに結実させる重要造形は、人類が築き上げてきた科学技術の発展過ていることが世界初のアイディアに繋がるかもし一番近くにあるC２の点x2に飛び移ります。x2に到着な役目を担っているのです。程とその精神を今に伝えています。そして、現在れないと自信がついてくるからです。した後は、C１の中でx2から一番近くの点x3に向かいディスカッションのはじめの段階では、先人にます。はたしてカブトムシはこの千鳥足作戦で無最大級の敬意を払って「○○さんのアイディアは事酒場に辿り着けるでしょうか？優れた造形・芸術作品には見る者に新たな創造 …」という口調で議論していたのが、段々、先人図３の上図の場合には、カブトムシは樹液にあ意欲を掻き立てる力が秘められていることは間違の発想が当たり前に見えるようになり、気がつかりつけそうです。ところが図３の下図の場合には、いないことのように思われます。例えば北斎の大ないうちに学生も（私自身も）「要するにコイツのカブトムシはいつまでたってもx1 かx2 付近に留ま胆な構図や色彩はゴッホやモネを驚かせ、その後アイディアは…」という口調に変わっていることってしまい、樹液にありつけそうにありません。の作品に色濃く影響を及ぼしています。ドビュッがあり、お互い苦笑・反省することもしばしばで上図と下図では一体何が違うのでしょう。上図でシーの交響曲「海」も富嶽三十六景にインスピレ 5．おわりにへこす。自由なディスカッションは、大袈裟に言えば、［注１］現在では常識となっている「地動説」ですが、コペルニクスは当時ヨーロッパ天文学最高の理論「天動説」で教育を受けていたのです。コペルニクスは、「天動説では複雑怪奇な複合円軌道をたくさん作らないと観測結果が説明できないこと」に疑問を感じました。さらに彼は、ただ中心を取り換えるだけで非常にすっきり説明できることに気づき「地動説」のアイディアに至っています［文献4］。 8 は２つの物体とも凹みのない形をしているのに対ーションを受けて誕生したと言われています。し、下図のC ２には凹みがあります。ここでいう優れた造形が文学や芸術や科学技術の創造にイ「凹み」とは物体中の２点を結ぶ直線分が物体のンスピレーションを与えたエピソードは他にも枚外に飛び出してしまう部分として定義されます。挙に暇がありません。私が折に触れ読み返す文の例えば、図４の上図の物体は凹みがありませんが、１つに、東京工業大学名誉教授岸源也氏（故人）の下図の物体には凹みがあることがわかります。凹みのない物体は「凸集合（トツシュウゴウ）」と呼［注２］「凸」という漢字の形は凸集合でありませんのでご注意。に生きる私たちに大胆な発想を生み出す勇気を与えてくれます。造形の持つ神秘的な力を感じざるを得ません。（やまだいさお）＊文献［1］江崎玲於奈、創造力の育て方・鍛え方、講談社、1997. ［2］山田功、やさしい解説：凸射影と適応フィルタリングの親密な関係―はらぺこJAWSから学ぶ理想的な信号処理、日本音響学会誌、vol.63、no.10、pp.600-605、2007. ［3］ D.C.Youla and H.Webb, Image restoration by the method of convex projections:Part 1−Theory,”IEEE Transactions on Medical Imaging、 vol.1、no.2、pp.81-94、1982. ［4］岸源也、科学技術の伝承と創造、電子情報通信学会誌、 vol.77、no.7、pp.757-760、1994. 山田功現在、数理科学の２つの分野「不動点理論」と「最適化理論」を融合することによって理想的な「信号処理工学」を実現することを目標に研究を進めている。 E-mail:[email protected] 9