1
第 4 章 ディラック方程式
4.1
シュレーディンガー方程式の相対論化
自由粒子のシュレーディンガー方程式は
i
∂ψ
∇2
=− ψ
∂t
2m
(4.1)
と言う形をしているが、これは古典的なエネルギー運動量の関係式 E =
E → i
∂
,
∂t
p2
2m
から
p → −i∇ まとめて pµ → i∂µ = i(∂0 , −∇)
(4.2)
の置き換えで得られる。従って相対論的な波動方程式は相対論的なエネルギー運動量関係に上記の置き換えをして
E 2 = p2 + m2
→
[∂µ ∂µ − m2 ]φ = 0
(4.3)
が出発点となろう。これをクライン-ゴードン (Klein-Gordon) 方程式という。この方程式は
φ = Nei(p·r−Et)
≡
Ne−ipx
px = Et − p · r
(4.4)
と言う形の平面波解を持つ。N は規格化定数である。しかし、この φ をシュレーディンガー波動方程式の波動関
数と同じように一粒子の確率振幅と解釈したのでは、負エネルギーと負の確率という二つの矛盾を引き起こす。
確率振幅と解釈できるためには、連続の方程式
∂ρ
+ ∇ · j = 0 あるいは共変形式で
∂t
∂µ jµ = 0
(4.5)
を充たす確率密度 ρ とその流れ j、まとめて jµ = (ρ, j) が存在しなければならない。
jµ =
i
(φ∗ ∂µ φ − φ∂µ φ∗ )
2m
(4.6)
は連続の式を充たすからその候補である。このカレントを時間成分と空間成分とに分けると
i
(φ∗ ∂t φ − φ∂t φ∗ )
2m
i
j = − (φ∗ ∇φ − φ∇φ∗ )
2m
ρ=
(4.7a)
(4.7b)
空間成分はシュレーディンガー方程式の確率密度の流れと同じ形をしているので、上式で定義される ρ を確率密
度と解釈したくなるが、幾つかの難点がある。
負のエネルギー： E 2 = p2 + m2 を解くと E = ±
p
p2 + m2 となり、負のエネルギー解を持つ。負のエネルギー
状態を許すと、一粒子状態はエネルギーを放出していくらでも低い低いエネルギー状態へ移れるから不安定であ
る。そのような解は物理的意味がないとして捨てることもできない。数学的に完全系を作るために、また因果律
を充たすためには負エネルギー解が必要である。
第 4 章 ディラック方程式
2
負の確率： クライン-ゴードン方程式は２階の微分方程式であるので、二つの初期条件を設定しないと解は一義
的に決まらない。逆に言うと φ と
jµ
∂φ
∂t
は任意に選べて、ρ が常に正とは限らない。実際、式 (??) の平面波解に対し
を作ってみると、
pµ 2
E p
|N| = ( , )|N|2
(4.8)
m
m m
となり、負エネルギー解は負の確率を与えることが判る。以上の理由でクライン-ゴードン方程式はシュレーディ
jµ =
ンガー方程式の相対論的拡張とは見なせないことが判る。
4.1.1 ディラック方程式の導入
歴史的には場の量子化を導入する前に、シュレーディンガー方程式の相対論的拡張と見なせる一体粒子波動関
数に対する相対論的波動方程式がディラックにより導かれた。ディラックは次の要請を置いた。
１）負の確率は場の方程式が２階微分方程式だからである。したがって正しい式は時間に関して一回の微分方
程式でなければならない。ローレンツ共変であるためには空間微分も一回となる。
２）空間微分の階数を減らした分、φ は多成分の ψr , r = 1, 2 · · · となるであろう ∗注 。
***********************************************************
" # " #
∗ 注： 例えば、2 解の微分方程式 q̈ = −ω 2 q を考えてみよう。ψ = ψ1 = q を定義すれば、
q̇
ψ2
#
#
"
" # "
ψ2
0
1
q̇
∂ψ
=
= Aψ, A =
=
∂t
−ω 2 0
q̈
−ω 2 ψ1
となる。
***********************************************************
３）相対論的なエネルギー運動量関係式、従ってクライン-ゴードン方程式は充たさなければならない。
ψ1
ψ
ψ=
2
..
.
(4.9)
∂ψ
α · p + βm)ψ
= Hψ = (α
∂t
(4.10)
として、１）２）の要請を入れると方程式は
i
という形となる。α , β は行列である。p は微分演算子であるが ψ が平面波の場合は粒子の運動量となる。以下特
に混乱を生じる場合を除いて pµ ↔ i∂µ を自由に使い分けるものとする。そうすると式 (4.10) は
α · p + βm)ψ
Eψ = (α
３）の要請により
E 2 = p2 + m2 =
従って
α2i = β2 = 1,
¡
(4.11)
¢¡
¢
∑ αi pi + βm ∑ α j p j + βm
(4.12)
αi α j + α j αi = αi β + βαi = 0
(4.13)
(4.13) を充たす行列をディラック行列と言い最低 4 × 4 でなければならない。
証明： (a) αi , β の固有値は ±1 である。
∵
αi ψ = λψ → α2i ψ = ψ = λ2 ψ
∴
λ = ±1
(4.14)
第 4 章 ディラック方程式
(b)
3
αi , β は無軌跡 (traceless) である。
∵
Tr[αi ] = Tr[αi β2 ] = Tr[βαi β] = −Tr[αi β2 ] = −Tr[αi ]
(4.15)
(a)(b) 両条件より αi , β は偶数次元を持たねばならない。２次元ではディラック行列の条件を充たすものとしてパ
ウリの行列があるが、３個でつきており４つの行列を作るには最低 4 × 4 が必要である。m = 0 であれば、β が不
要なので 2 × 2 行列で良い（後述：ワイル粒子）。 α , β を使って
j0 (x) = ρ = ψ† (x)ψ(x),
αψ(x)
j(x) = ψ† (x)α
(4.16)
を定義すると
∂ρ
∂t
³
´
∂ψ†
∂ψ
ψ + ψ†
= i (Hψ)† ψ − ψ† Hψ
∂t
∂t
α · ∇ + βm)ψ}† ψ − ψ† (−iα
α · ∇ + βm)ψ] = −∇(ψ†α ψ) = −∇ · j
= i[{(−iα
=
(4.17)
となって連続の方程式を満たすカレントを作ることができた。しかもこの ρ は常に正定値をとるから確率密度と
しての条件は充たす。
ディラック方程式の性質は、(4.13) の関係よりたいてい導けるが、具体的な計算には表示を明示しておく方が判
りやすい。T を逆行列を持つ行列とすれば
α′ = T αT −1 ,
β′ = T βT −1
により変換した行列もまた (4.13) を充たすからいろいろな表示があるが、標準的に使われるのが、
"
#
"
#
0 σi
1 0
β=
αi =
σi 0
0 −1
(4.18)
(4.19)
である。これをディラック・パウリの行列という。この表示は p → 0 で対角的になるため非相対論的粒子との対
応が付けやすい。* 1)
演習問題 4.1 ハイゼンベルグの運動方程式
dO
= i[H, O]
(4.20)
dt
で、O = x と置くと、 dx
dt = α となる。つまり α は速度に対応する演算子と見なせることを示せ。
α の固有値は ±1 であるから、ディラック粒子は常に光速で飛び回っている。実際には質量を持ち速度は 1 より小
さいはずであるから、粒子はジグザグ運動をしていると解釈できる。これを Zitterwewegung と言う。
ψ が４成分あることの意味を探るため、ψ が平面波の場合を考慮する。
ψ(x) = u(p)eip·r−iEt ≡ u(p)e−ipx
(4.21)
このときハミルトニアンの中の p µ は演算子でなくただの数となる。p = 0 の極限を考えると、式 (4.11) は
m 0
0
0
0 m
0
0
ψ
Eψ =
(4.22)
0 0 −m 0
0 0
0 −m
* 1)
相対論的な粒子を議論するには、E, p ≫ m のときに対角的になるカイラル表示（後述）が便利である。
第 4 章 ディラック方程式
4
となり、負エネルギーはやはり避けられない。正負エネルギー状態がそれぞれ二つずつあるが、これは電子のス
ピン自由度に対応する。(4.22) の固有関数は
0
1
w2 =
0 ,
0
1
0
w1 =
0 ,
0
であり、２次元のスピン関数を４次元に拡張した
1
s = Σ,
2
0
0
w3 =
1 ,
0
Σ=
"
σ
0
#
0
σ
0
0
w4 =
0
1
(4.23)
(4.24)
の Σ3 /2 は (4.23) を固有関数として持ち、固有値は ±1/2 である。
水素エネルギー準位
シュレーディンガー方程式では、 µ を実効
質量としてエネルギー順位は
En = −
al pha2 µ
,
2 n2
n = 1, 2, · · ·
(4.25)
で与えられ、(2S,2P)、(3S,3P,3D)、· · · が縮
退しているが、クーロンポテンシャルを入
れたディラック方程式は、スピン-軌道角運
動量結合力 (微細構造)、スピン-スピン結合
力 (超微細構造) を取り入れ、水素のエネル
ギー準位をきれいに再現する (図 4.1)。こ
れはディラック方程式が基本的に正しいこ
との第一の証である。
図 4.1: 水素原子のエネルギー構造。主量子数 n での縮退が、スピン軌道
結合力とスピン-スピン結合力で分離する。ラムシフトは真空偏極効果など
負エネルギー解の解釈
QED の高次効果である。
前にも述べたように負エネルギー解はいろ
いろな理由から必要であるが、負エネルギーを持つ粒子の存在は矛盾を来す。ディラックは、真空は負エネルギー
状態を含むが、全て詰まっているとした。電子はパウリ排他原理に従うから負のエネルギー状態に落ち込むこと
はできず、安定な状態を作れる。これをディラックの負電子の海と言う。この場合負エネルギー状態の粒子が励
起されて正のエネルギー状態に移ると空いた負のエネルギー状態 (空孔) はどのように振る舞うであろうか？電場
に対して負エネルギー粒子が引かれると、空孔は逆方向に移動するから、空孔は正の電荷、負の運動量を持つよ
うに振る舞う。スピン成分は負のエネルギー状態を詰めれば量子数ゼロの真空に戻るわけであるからスピン成分
も逆となる。また正エネルギーを持つ電子がエネルギーを放出して空孔に落ち込めば真空となるので電子、空孔
とも消滅する。この空孔を反粒子と呼ぶことにすれば、真空にエネルギーを与えて対生成、粒子と反粒子が遭遇
すれば対消滅して純粋なエネルギーになる。こうしてディラックは反粒子の存在を予言した。ディラックの予言
から２年後の 1932 年にはアンダーソンが、宇宙線の中から質量が電子と同じで正の電荷を持つ陽電子を発見して
ディラックの予言が裏付けられた。すなわち
第 4 章 ディラック方程式
5
負の運動量 −p、スピン成分が逆 (−sz ) の負エネルギー粒子 (E = −|E|) は、電荷が逆で正のエネルギー E = |E|、
正の運動量 p、スピン成分 (sz ) を持つ粒子として振る舞う。 負エネルギー状態の詰まった真空という解釈は、排他原理無しには成立しない。排他原理の適用されないボソ
ンにも反粒子があることを考えると両者に通用する解釈が必要である。ファイマン-シュトッケルベルグは時間を
逆行する粒子という考えで反粒子を説明できることを示したが、いずれにしろ量子力学の範囲では無矛盾な解釈
はできなくはないが、相当な無理がある。場の量子論が出て初めて整合性のある解釈が成立した。
場の量子論では全ての粒子を場のエネルギー量子と見なす。正負のエネルギーは、量子の生成消滅に伴うエネル
ギーの増減を意味し、粒子もしくは反粒子そのものは常に正エネルギーを持つ状態として定義できる。
平面波解
ディラック方程式の平面波解 (4.21) の u(p) を求める。uA , uB を２行 1 列の行列として
" #
uA
u=
uB
の様に分解し、(4.11) に入れると
E
∴
"
uA
uB
#
"
#" #
m σ · p uA
=
σ · p −m uB
(4.27a)
(E − m)uA = σ · puB
(4.27b)
(E + m)uB = σ · puA
(4.27c)
非相対論の場合を考えると T = |E| − m, |p| ≪ |E|, m であるから、エネルギーの正負に対して
σ ·p
uB =
uA ≪ uA
E >0
E +m
σ ·p
uB ≪ uA
E <0
uA = −
|E| + m
p → 0 で固有関数が (4.23) になることを考慮すると、
" #
" #
1
0
χ1 =
,
χ2 =
として
0
1
"
#
σ·p
χr
uB =
χr ⇒ ur (p) = N σ ·p
,
E +m
E+m χr
#
"
σ ·p
χr
− |E|+m
σ ·p
,
uA = −
χr ⇒ ur (p) = N
|E| + m
χr
N は、平面波解を
Z
q
ρdV =
Z
ψ∗ ψdV = Vu† (p)r ur (p) = |N|2V
(4.26)
(4.28a)
(4.28b)
(4.29a)
2E
= 2E
E +m
E >0
(4.29b)
E <0
(4.29c)
(4.30)
E+m
で 規 格 化 す れ ば 、N =
と 決 め ら れ る 。以 下 、 √1V を 外 に 出 し て 、ディラック 方 程 式 の 平 面 波 解 を
V
√
Nur (p)e−ipx , N = E + m と書くことにする。ここで
v1 (p) = u4 (−p),
v2 = −u3 (−p)
(4.31)
を定義する* 2) と正負のエネルギー平面波解として
ψr (x) = ur (p)e−ipx
ψr (x) = vr (p)eipx
* 2)
このように定義するのは後のＣ変換の便宜のためである。
正エネルギー平面波解
負エネルギー平面波解
(4.32a)
(4.32b)
第 4 章 ディラック方程式
6
が得られる。ur (p), vr (p) は
[u1 (p), u2 (p), −v2 (p), v1 (p)] = N
"
1
σ ·p
E+m
σ ·p
E+m
の様に表せる。
1
#
wr = N
1
0
0
1
pz
E+m
px +ipy
E+m
px −ipy
E+m
−pz
E+m
pz
E+m
px +ipy
E+m
1
0
px −ipy
E+m
−pz
E+m w
r
0
1
(4.33)
演習問題 4.2 ū = u† β, v̄ = v† β を定義するとき、次式を証明せよ。
u†r (p)us (p) = v†r (p)vs (p) = 2Eδrs
(4.34a)
ūr (p)us (p) = −v̄r (p)vs (p) = 2mδrs
(4.34b)
ūr (p)vs (p) = v̄r (p)us (p) = 0
(4.34c)
演習問題 4.3 ディラック平面波解 (4.33) は静止した関数 wr より、次の変換により得られることを示せ。
´
hα i
√ ³
√
η
η
η wr
u(p), v(p) = 2m cosh + sinh α · n wr = 2m exp
·η
2
2
2
1−β
E
p
1
, cosh η = γ = , n sinh η = β γ =
η = log
2
1+β
m
m
(4.35)
η はラピディティと呼ばれる量で、ローレンツ変換で加算的な量である。そして上の式は静止状態の wr をローレ
ンツ変換した式となっている (付録 E)。
4.1.2 電子の磁気能率
電磁ポテンシャルを A µ = (φ, A) と書くと、電磁相互作用はゲージ原理により次の置き換えにより得られる。
E → E − qφ,
p → p − qA まとめて p µ → p µ − qA µ
(4.36)
電子の場合 q = −e を (4.27b)(4.27c) に入れると
[(E + eφ) − m]uA = σ · (p + eA)uB
[(E + eφ) + m]uB = σ · (p + eA)uA
(4.37a)
(4.37b)
非相対論近似 (E = T + m ≫ eφ, |p + eA|) を使うと
E + eφ − m = T + eφ,
E + eφ + m ≅ 2m
σ · (p + eA)
∴ uB =
uA
2m
これを (4.37a) に代入すると
(T + eφ)uA =
σ · (p + eA)
σ · (p + eA)σ
uA
2m
(4.38)
(4.39)
(4.40)
ここで
σ · C)(σ
σ · D) = C · D + iσ
σ · (C × D)
(σ
(4.41)
および運動量 p は運動方程式では微分演算子であることを考慮すると
(−i∇ + eA) × (−i∇ + eA)uA = −ie(∇ × A + A × ∇)uA = −ie(∇ × A)uA = −ieBuA
(4.42)
第 4 章 ディラック方程式
7
B は磁場である。従って (4.40) は
·
¸
(p + eA)2
e
TuA =
− eφ +
σ · B uA
2m
2m
(4.43)
これは電子が磁気能率
³ e ´
e
S·B
ge = 2
(4.44)
σ = ge
2m
2m
を持つことを示す。軌道角運動量の作る磁気能率は g = 1 を持つ。g = 2 がディラック方程式の結果として導けた
µe =
ことは、固有スピンが自転という古典的解釈とは相容れないことを示す。
4.2
ディラック方程式の共変性
ディラック方程式
α · p + βm]ψ
Eψ = [α
·
¸
∂ψ(x)
∇
i
= α · + βm ψ(x)
∂t
i
↔
を相対論的な議論をするのに便利なように書き換える。全てを左辺に移し左から β を掛けると
·
¸
∇
α · − m ψ(x) = 0
βi∂t − βα
1
(4.45)
(4.46)
α) を導入すると
ここで、γ µ = (γ0 , γ ) = (β, βα
(γ µ i∂ µ − m)ψ(x) = 0
となる。̸ p は p-スラッシュと呼ばれる量である。ここで γ µ は
1
0
γ µ γν + γν γ µ = g µ ν
gµ ν =
0
0
(4.47)
0
−1
0
0
0
0
0
−1
0
0
−1
0
を満たす 4 × 4 の行列である。また後に使うので
γ 5 = iγ0 γ1 γ2 γ3 = −iα1 α2 α3 = −
i
ε µ νρσ γ µ γν γρ γσ
4!
をも定義しておく。ディラック・パウリ表示では
"
#
"
#
1 0
0 σ
0
γ =
, γ=
,
σ 0
0 −1
−σ
γ =
5
"
(4.48)
(4.49)
#
1
(4.50)
γ5† = γ 5
(4.51)
0
1
0
これらの γ は次のような性質を持つ。
γ 5 γ µ + γ µ γ 5 = 0,
†
γ0 = γ0 ,
γi† = −γi ,
(4.47) に共役なディラック方程式を求めておく。(4.47) のエルミート共役をとり
←
ψ† (−i ∂ µ γ µ † − m) = 0
(4.52)
ただし微分演算は左にかかるものとする。γ0† = γ0 , γk† = γ0 γk γ0 を使い右から γ0 を掛けると
←
i∂ µ ψγ µ + mψ = ψ(iγ µ ∂ µ +m) = 0
(4.53)
第 4 章 ディラック方程式
8
ψ は ψ の共役 (adjoint) と呼ばれる。
平面波解の方程式： ディラック方程式の平面波解 ψ(x) = ur (p)e−ipx , vs (p)e−ipx に対しては、i∂ µ → p µ と置
いて
(̸ p − m)ur (p) = 0,
(̸ p + m)vs (p) = 0
u(r (p)(̸ p − m) = 0,
vs (p)(̸ p + m) = 0
̸p ≡ γµ pµ
(4.54)
が成り立つ。
演習問題 4.4
1
1
(m+ ̸ p), Λ− ≡
(m− ̸ p)
2m
2m
はそれぞれ正負のエネルギー解に対する射影演算子であることを示せ。
Λ+ ≡
射影演算子であることの性質は Λ+ + Λ− = 1,
(4.55)
Λ2± = Λ±
演習問題 4.5 射影演算子はスピン状態和としても表せる。
∑
ur (p)ur (p) ≠ p + m,
r=1,2
∑
r=1,2
vr (p)vr (p) ≠ p − m
(4.56)
と書けることを、(1) 式 (4.55) を使って示せ。また (2) 式 (4.33) から直接に導け。
ローレンツ変換： 今ローレンツ変換を施して、L 系から L′ 系に移り、x µ → x′ µ = L µ ν xν , ψ(x) → ψ′ (x′ ) になっ
たものとする。この ψ′ (x′ ) は
(γ µ i∂′µ − m)ψ′ (x′ ) = 0
(4.57)
を充たすが、ロ−レンツ共変性が言えるためには、線形変換
ψ′ (x′ ) = Sψ(x)
(4.58)
が存在しなければならない。(4.58) を (4.57) に代入し左から S−1 を掛けた式
(S−1 γ µ Si∂′µ − m)ψ = 0
(4.59)
γ µ ∂ µ = S−1 γ µ S∂′µ
(4.60)
S−1 γ µ S = L µ ν γν
(4.61)
が (4.47) に等しいことを要求すると
すなわち γ µ が反変ベクトルと同じ変換性
を持てばよい。そのような S は存在する (付録 E1、式 E(??))。
·
¸
Σ
α
η
S = exp i ·θθ − ·η
2
2
(4.62)
とすればよい。
i
σ µ ν = [γ µ , γν ],
σ0i = iαi ,
σi j = εi jk σk ,
σ µ ν = g µ ρ g ν σ σρσ
2
(ω23 , ω31 , ω12 ) = (θ1 , θ2 , θ3 ),
(ω01 , ω02 , ω03 ) = (η1 , η2 , η3 ),
ω µ ν = −ω ν µ
·
¸
i
を定義すれば S = exp − ω µ ν σ µ ν
4
とまとめられる。
(4.63a)
(4.63b)
(4.63c)
第 4 章 ディラック方程式
9
演習問題 4.6 上記の J = Σ /2, K = α /2 がローレンツ変換演算子の交換関係式 (付録Ｅ、式 (E5)）を満たすことを
確かめよ。
演習問題 4.7 上記 S が実際 (4.61) を満たすことを、x 方向のブーストを行って示せ。
£
¤
ヒント：ｘ方向のブースト演算子 S = exp − α2x η を使い、(ψγ 0 ψ, ψγ 1 ψ) が (t, x) の様に変換されることを示す。
α を使えば、ψ は、
γ0α γ0 = −α
ψ
→
ψ′ = {ψ′ (x′ )}† γ 0 = ψ† S† γ 0 = ψ† γ 0 γ 0 S† γ 0
(4.64)
α
α
= ψγ 0 e− 2 ·ηη γ 0 = ψe 2 ·ηη = ψS−1
の様に変換することが判る。これから ψγ µ ψ がローレンツベクトルであることが言える。
パリティ変換
ディラック方程式
(γ µ i∂ µ − m)ψ(x) = (γ 0 i∂0 +γγ · i∇ − m)ψ = 0
(4.65)
にパリティ変換 x0 → x0 , x → −x を施したとき、
ψ′ (t, −x) = Sψ(x),
S−1 γ0 S = γ0 ,
S−1 γi S = −γi
(4.66)
ならばディラック方程式ローレンツ共変である。上式を満たす S として ηP γ0 がある。ηP は絶対値が 1 の任意の
位相因子である。特に差し支えない限り位相因子を１にとる。パリティ変換を平面波解に適用し p → 0 とすれば
#
"
1 0
ur = ur ,
Svr = −vr
(4.67)
Sur =
0 −1
であるので、粒子と反粒子は相対的に負のパリティを持つ。
演習問題 4.8 ψγ 5 ψ は、ローレンツスカラーであるが、パリティ変換に関しては符号を変えることを示せ。擬スカ
ラー (pseudo-scaler) と言う。
任意の数の γ を挟んだ ψΓψ には独立な量が 16 個あり変換性により次のようにまとめられる。ディラックの波
動関数 ψ のローレンツ変換は、ベクトルのローレンツ変換と異なることに留意しよう。ψγ µ ψ の様にガンマ行列を
間に挟んだ双２次形式がスカラー、ベクトル、テンソルなどのように変換されるのである。このような量をスピ
ノールと呼ぶ。
名称
スカラー
擬スカラー
ベクトル
軸性ベクトル
テンソル
記号
双一次形式
成分の数
パリティ変換後
パリティ
S
ψψ
1
ψψ
+
P
V
iψγ 5 ψ ∗
1
4
−iψγ 5 ψ
-
ψγ µ ψ
ψγ µ ψ
A
ψγ 5 γ µ ψ
4
−ψγ 5 γ µ ψ
T
ψσ µ ν ψ
6
ψσ µ ν ψ
∗ i をつけるのはエルミート量にするためである。
+
+
第 4 章 ディラック方程式
10
4.2.1 C(荷電共役) 変換
荷電共役変換とは粒子と反粒子を入れ替える演算のことである。エネルギー運動量 (−p µ ) の反粒子は p µ を持
つ粒子と同じように振る舞うこと、クライン-ゴードン方程式方程式の平面波解ではその差は複素共役に等しいこ
とを考えると荷電共役と複素共役 (演算子ではエルミート共役) は密接に結びついていることが推察される。粒子
と反粒子の違いはその電荷にあり、粒子の電場との相互作用はゲージ原理 p µ → p µ − qA µ により得られるから、
p µ − qA µ を含む方程式を p µ + qA µ に変わるように書き換える演算が荷電共役変換となる。電荷を持つクラインゴードン場が電磁場の中にあるときの方程式は
[(∂ µ + iqA µ )(∂ µ + iqA µ ) + m2 ]φ(x) = 0
(4.68)
となるからここでエルミート共役をとると
[(∂ µ − iqA µ )(∂ µ − iqA µ ) + m2 ]φ† (x) = 0
(4.69)
上の二つの式を比較すれば、φ が粒子を記述するならば、φ† は反粒子を記述することが判る。
実場は電気的に中性粒子を表す。ただし、電気的に中性であっても電荷以外の量子数例えばストレンジネスを
持てば、粒子と反粒子を区別できるから複素場で表されることになる。ディラック粒子は多成分の場 (スピンを持
つ) で表されるから成分間の混合を考慮しなければならない。電場中におけるディラック方程式
[γ µ (i∂ µ − qA µ ) − m]ψ(x) = 0
(4.70)
[γ µ (i∂ µ + qA µ ) − m]ψc (x) = 0
(4.71)
に対し、ψc が存在し
を満たすならば、ψc が ψ の荷電共役である。(4.70) のエルミート共役を取ると
←
ψ† [γ µ † (−i ∂ µ −qA µ ) − m] = 0
(4.72)
右から γ0 を掛け、γ0† = γ0 , γk† = γ0 γk γ0 を使うと
←
ψ[−γ µ (i ∂ µ +qA µ ) − m] = 0
(4.73)
[−Cγ µ T C−1 (i∂ µ + qA µ ) − m]CψT = 0
(4.74)
Cγ µ T C−1 = −γ µ
(4.75)
ここで転置をとり左から C を掛けると
であるから
を満たす C が存在するならば荷電共役変換 ψc = CψT が定義できる。
γµT = γµ
µ = 0, 2 γ µ T = −γ µ
を考慮すると
C = iγ γ =
2 0
"
0
−iσ2
µ = 1, 3
# 0 0
0 0
−iσ2
=
0 −1
0
1 0
0
1
0
0
−1
0
0
0
(4.76)
(4.77)
第 4 章 ディラック方程式
11
は (4.75) を満たす。この C は次のような性質を持つ。
C = C∗ = −C−1 = −CT = −C†
(4.78)
従ってディラック波動関数の荷電共役変換は
ψc = CψT = iγ2 γ0 γ0T ψ∗ = iγ2 ψ∗
(4.79a)
ψ = ψ γ = (iγ ψ ) γ = −iψ γ γ = −ψ iγ γ = −ψ C
c
c† 0
2 ∗ † 0
T 2† 0
T
0 2
T
−1
(4.79b)
荷電共役変換より電流は符号を変える。量子力学では定義みたいなもので手で入れるしかないが、場の理論では
自動的に導ける。
j c µ = ψc γ µ ψc = −ψT C−1 γ µ CψT = ψT γ T µ ψT = −(ψγ µ ψ)T = −ψγ µ ψ = − j µ
(4.80)
最後から３番目の負号はフェルミオン場の反可換性から出る。最後から２番目で転置がはずせるのは、括弧の中
が 1 × 1 行列だからである。
演習問題 4.9 CuT1 = v1 , CuT2 = v2 , CvT1 = u1 , CvT2 = u2 を示せ。
4.3
カイラル表示とワイル粒子
ディラック行列のディラック/パウリ表示は非相対論的な議論のときに便利である。スピンパリティや磁気能率
などの靜的性質はこの表示を使うと理解しやすい。しかし、相対論的粒子 (E, p ≫ m) 現象を議論するには m = 0
を出発点とするカイラル表示が便利である。ワイル表示ではディラック行列は次のように表される。
"
#
"
#
"
#
σ
σ 0
0 1
0 −σ
0
α=
α=
β=γ =
γ = βα
σ
0 −σ
1 0
σ 0
#
#
"
"
−iσ2 0
1 0
C=
γ5 =
0
iσ2
0 −1
(4.81a)
(4.81b)
ワイル表示を ψW , γW · · · 、ディラック表示を ψD , γD · · · で表すと
ψD = T ψW
γD = T γW T −1
"
#
1
1 1
T= √
2 1 −1
(4.82a)
(4.82b)
で結ばれている。以下、この節では ψW を ψ と書く。
次に
1
ψR = (1 + γ 5 )ψ
2
1
ψL = (1 − γ 5 )ψ
2
(4.83)
を定義すると
γ 5 ψR = ψR
γ 5 ψL = −ψL
(4.84)
は γ 5 の固有状態となる。γ 5 をカイラリティ(Chirality) 演算子と言う。ディラック方程式
(γ µ i∂ µ − m)ψ = 0
(4.85)
に左から γ 5 を掛けて、γ との交換関係 (4.51) を使うと
(γ µ i∂ µ + m)γ 5 ψ = 0
(4.86)
第 4 章 ディラック方程式
12
上記二つの式を差と和を作ると
γ µ i∂ µ ψR = mψL
γ µ i∂ µ ψL = mψR
(4.87)
この二つの式は m = 0 であれば独立であるが、m , 0 のときは運動により、ψR と ψL が混じることを示している。
別の言い方をすれば、m , 0 のとき γ 5 はハミルトニアンと交換しないので運動によりカイラリティが変わる。これ
をしばしば質量による相互作用でカイラリティが変わるという言い方をする。γ 5 はローレンツ変換演算子 (4.63c)
とは交換するので、カイラリティはローレンツ変換で不変である。弱い相互作用は ψR と ψL で相互作用の仕方が
異なるので、カイラリティは重要な概念である。フェルミオンの質量がゼロであれば、カイラリティの異なるフェ
ルミオンは運動で混合せず、カイラリティは保存される量である。すなわち、カイラリティの異なるフェルミオン
はそれぞれ独立なゲージ変換で不変である。これをカイラル対称性という。実際、標準理論では、出発点では全て
のフェルミオンは本来カイラル対称性を充たし、質量ゼロを持つと仮定する。質量は環境変化 (ヒッグス機構) に
より後天的に付加された性質と見なすのである。
γ 5 の物理的な意味を知るために次のように分解して、−γ0 γ 5γ = Σ を使うと
γ5 = −
γ0 γ 5γ · p γ0 γ 5
Σ · p γ0 γ 5
−
(Eγ0 −γγ · p) =
−
̸p
E
E
E
E
自由粒子に対しては ̸ p = ±m であるので
γ5 = ±
(4.88)
Σ ·p
m
+ O( )
|E|
E
(4.89)
すなわち、γ 5 は粒子と反粒子の違いをも考慮したヘリシティ演算子の相対論的拡張概念と見なせる。
" #
φR
ψ=
φL
と置けばワイル表示では
"
φR
ψR =
0
#
" #
0
ψL =
φL
(4.91)
であるので、(4.83) に入れて φR , φL の式に書き直すと
i(∂ +σ
(E −σ
σ
σ · p)φR
·
∇)φ
=
mφ
0
R
L
平面波解に対しては i(∂ −σ
(E +σ
σ · ∇)φ
σ · p)φ
= mφ
0
L
R
(4.90)
L
= mφL
(4.92)
= mφR
m = 0 であれば φR と φL は分離する。|p| = |E| を使うと
σ ·p
φR = ±φR
|p|
σ ·p
φL = ∓φL
|p|
復号はエネルギーの正負に対応
(4.93a)
すなわち、φR (L) は、粒子ならばヘリシティ+ (-)、反粒子ならばヘリシティ- (+) の状態を表す。これをワイル解と
σ · p であるので φR ↔ φL となるので、パリティが保存し
呼び、それぞれ独立な解である。パリティ変換で σ · p ↔ −σ
ている世界ではワイル解は成立しない。ワイル解は早くから知られていたが、物理的な解とは見なされなかった。
しかし、1957 年にパリティ非保存が発見されると同時に復活しニュートリノがワイル解である可能性が試された
(２成分ニュートリノ)。どちらのワイル解が成立しているかの判別は実験で試される。左巻きニュートリノと右巻
きの反ニュートリノのみが存在することが実証されニュートリノは φL で表されることが判った。現在はニュート
リノがわずかながら質量を持つことが判っているので、ワイル解は成立しないが右巻きニュートリノが発見され
ていないことから、２成分ニュートリノを説明するため次に述べるマヨラナニュートリノ説が浮上している。
第 4 章 ディラック方程式
13
演習問題 4.10 m , 0 のとき、ヘリシティ固有状態を χ+ , χ− とするとき、式 (4.92) を使えば
a=
r
φR(L) = N(aχ± + bχ∓ )
r
E+p
E−p
b=
2E
2E
と書けることを示せ。ただし、N は規格因子である。
a ≅ 1
b ≅ 1
(4.94a)
b≅
a≅
m
2|E|
m
2|E|
E > 0 |E| ≫ m
(4.94b)
E < 0 |E| ≫ m
演習問題 ((4.10)) は φR はほぼ右巻きの粒子、あるいはほぼ左巻きの反粒子を表し、φL はほぼ左巻きの粒子、あ
るいはほぼ右巻きの反粒子を表すことが判る。
4.4
マヨラナ粒子
ニュートリノは電子とペアを組んで、アイソスピン 1/2 の粒子として弱い相互作用をする。従って粒子と反粒子
の区別があるものとして考えられていたが、ニュートリノは電気的に中性であるので実験的には粒子反粒子を判
別する手段がない。そこで理論的にも粒子反粒子の区別の付かないマヨラナ粒子である可能性を考える。波動関
数 N が、ディラックの方程式を満たし、かつ粒子 N と反粒子 N c を同一にする条件は N = ψ + ψc と置くことによ
り満たされる。ψR から、マヨラナ粒子 N1 を作ってみよう。
"
#
" #
0
ξ
c
2 ∗
ψR = iγ ψR =
ψR =
−iσ2 ξ∗
0
"
#
ξ
c
∴ N1 = ψR + ψR =
−iσ2 ξ∗
#
"
iσ2 η∗
c
同様に N2 = ψL + ψL =
η
(4.95a)
(4.95b)
(4.95c)
マヨラナ粒子はディラックの方程式を充たすので、(4.85) に入れて分解すると、ξ と η はそれぞれ
∗
(∂ +σ
(E −σ
σ
σ · p)ξ − imσ2 ξ∗ = 0
· ∇)ξ − mσ2 ξ
=0
0
平面波解に対しては
(∂ −σ
(E +σ
σ · ∇)η + mσ η∗ = 0
σ · p)ξ + imσ ξ∗ = 0
0
2
(4.96)
2
を満たす* 3) 。−iσ2 ξ∗ , iσ2 η は、(4.96) の複素共役を取り、左から iσ2 を掛けて iσ2σ ∗ iσ2 = σ を使えば、それぞれ
η, ξ と同じ方程式を満たすことが判る。上の二つの式は独立であるから、ξ, η は独立な粒子であり質量も同じで
ある必要はない。ξ を右巻きのマヨラナ粒子、η を左巻きのマヨラナ粒子と呼ぶ。荷電共役変換でマヨラナ粒子の
L 成分と R 成分は入れ替わるが、これはパリティ演算 P によっても引き起こされる。
(NR )c = (N c )L = NL = P(NR )
(4.97a)
(NL )c = (N c )R = NR = P(NL )
(4.97b)
通常のディラック方程式 (4.92) と比べて見れば、質量ゼロの極限でワイル解とマヨラナ解は一致することが判る。
* 3)
ξ の成分を通常の数と見なしてこの方程式を解くと矛盾が生じる。マヨラナ粒子は量子的な概念である。
第 4 章 ディラック方程式
14
演習問題解答
4.1： H = α · p + βm,
[pi , x j ] = −iδi j を代入せよ。
4.2： u†r us
=N
2
[χ†r ,
χ†r
σ·p
]
E +m
(4.29)(4.31) を参照すれば、
"
#
σ·p
′
χ
r
vr (p) = E+m
χr′
v†r vs
=N
2
[χ†r′
ur us = N
2
χs
σ·p
E+m χs
#
= N 2 χ†r
·
1+
¸
p2
χs = χ†r [E + m + E − m]χs = 2Eδrs
(E + m)2
r′ = 3 − r であるから
σ·p †
,χ ′]
E +m r
[χ†r ,
"
χ†r
"
σ·p
E+m χs′
χs′
"
σ·p 1
]
E +m 0
#
·
= N 2 χ†r′ 1 +
0
#"
−1
χs
σ·p
E+m χs
#
¸
p2
χ ′ = 2Eδrs
(E + m)2 s
= N 2 χ†r
·
1−
¸
p2
χs
(E + m)2
= χ†r [E + m − (E − m)]χs = 2mδrs
"
#"
#
¸
·
σ·p
χs′
1 0
p2
2 † σ·p
E+m
, χr′ ]
vr vs = N [χr′
χ ′ = −2mδrs
= N 2 χ†r′ −1 +
E +m
(E + m)2 s
χs′
0 −1
#"
"
#
¸
·
σ·p
′
χ
1
0
σ
·
p
p2
p2
s
2 †
†
2 †
E+m
ur vs = N [χr , χr
]
−
χ′ =0
= N χr
E + m 0 −1
(E + m)2 (E + m)2 s
χs′
α)2n = 1,
4.3： 級数展開して (n ·α
α)2n+1 = n ·α
α を使うと
(n ·α
η
η
η
η
η
η
n · α = cosh + sinh n ·α
α
α · ) = {1 + ( )2 + · · · } + { + ( )3 + · · · }n
exp(iα
2
2
2
2
2
2
r
r
r
E +m
E −m
E +m p
η
η
cosh =
, sinh =
=
2
2m
2
2m
2m E + m
を使えば、
√
¶
µ
¶
µ
³
´ √
√
η
η
p
α ·p
α = E +m 1+
α = E +m 1+
= (4.33)
2m cosh + sinh n ·α
n ·α
2
2
E +m
E +m
4.4： 省略
4.5： (2) E > 0 の解に対して (3.23a) より
u1 =
p3
1 ±ip2
これから ( p̂± , p̂3 ) = ( pE+m
, E+m
) として
1
0
p3
E+m
p1 +ip2
E+M
1
0
[u1i u1 j ] = Ｎ2
p̂
3
p̂+
0
1
u2 = p1 −ip2
E+m
−p3
E+M
0
0
− p̂3
0
0 −( p̂3 )2
0 − p̂+ p̂3
− p̂−
0
− p̂3 p̂−
−( p̂21 + p̂22 ) i j
第 4 章 ディラック方程式
15
u2 u2 についても同じ計算をして、N 2 = E + m を入れると
m+E
0
− pˆ3
0
m + E − p̂+
∑ ur ur = p̂
p̂−
m−E
3
r=1,2
p̂+
− p̂3
0
− p̂−
"
p̂3
= m+E
0
σ·p
m−E
#
−σ · p
m−E
= m1 + Eβ − βα · p = m − pµ γ µ
4.6： i
i
i
σi j (i, j = 1 ∼ 3) = [γ i , γ j ] = [βαi βα j − {i ↔ j}] = [−2iΣk ] = Σk
2
2
2
i 0 k
i
0i
σ = [γ , γ ] = [ββαk − βαk β] = iαk
2
2
Lk ≡ σi j = 1iρ 1 jσ σ ρσ = σ i j = Σk
Nk ≡ σ0k = 10ρ 1kσ σ ρσ = −σ 0k = −iαk
は、(E.5) の関係式を充たす。
4.7： ³
η´
η
η
S = exp −α1
= cosh − sinh α1
2 ³
2
2
η
η ´ 0³
η
η ´
S
−1 0
0
→ S γ S = cosh + sinh α1 γ cosh − sinh α1
−
γ
2
2
2
³
´2
η
η 1
2η
2η
0
= cosh
+ sinh
γ − 2 sinh cosh γ = cosh ηγ0 − sinh ηγ1
2
2
2
2
= γ(γ0 − βγ1 )
(4.98)
同様に
S
γ1
S−1 γ1 S = γ(−βγ0 + γ1 )
→
−
すなわち、ψγ0 ψ, ψγ1 ψ は、x0 , x1 と同じローレンツ変換をする。
4.8： パリティ変換の演算子は S = γ0 である。
γ5
S
γ0 γ5 γ0 = −γ5
→
−
4.9： u1 = γ u1 = N
T
Cu1 T
0
0 0
0 0
=
0 −1
1
ただし、 p̂± =
p1 ± ip2
,
E +m
∗
p̂3 =
0
"
χ1 ∗
σ ·p
− E+m
χ1 ∗
0
1
0
0
∗
#
−1
0
N
0
0
p3
である。
E +m
1
0
=N
− p̂3
− p̂− ∗
p̂+
1
0
= N − p̂3 = u4 (−p) = v1 (p)
− p̂3
0
− p̂− ∗
1
(4.99)
第 4 章 ディラック方程式
16
4.10： φ = aχ+ + bχ− ,
χ = cχ+ + dχ−
と置いて (4.92) に入れ、χ± が互いに直交することを使うと
c
b E−p
m
= =
=
=
a d
m
E +m
r
E −m
,
E +m
ヘリシティを逆転させると、a ↔ b であるが、φ ↔ χ でもある。∴
なので
φ=N
³p
E + p χ+ +
p
´
E − p χ− =
分母に 2E を入れることにより上式は E < 0 でも成立する。
r
p = |p|
c = b, d = a とすれば、a ∝
E+p
χ+ +
2E
r
E−p
χ−
2E
√
E + p, b ∝
√
E −m
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