download

Modul X
Probabilitas
Probabilitas
Pengertian Probabilitas
Macam-macam event
Pendekatan asas probabilitas dengan
menggunakan diagram venn
Marginal Probability
Teorema Bayes
Expected Value
Permutasi dan Kombinasi
Pengertian Probabilitas
 Probabilitas ialah suatu nilai yang
digunakan untuk mengukur tingkat
terjadinya suatu kejadian yang acak.
 3 Kata kunci yang harus diketahui
dalam mempelajari Probabilitas:
Eksperimen
Hasil (Outcome)
Kejadian / Peristiwa
Macam-macam Event
 Kejadian saling meniadakan
 Kejadian tidak saling meniadakan
 Kejadian tak bebas
 Kejadian bebas
Aturan Dasar Probabilitas
A. Aturan Penjumlahan
Dilihat dari jenis kejadiannya apakah
bersifat:
a) Saling meniadakan (Mutually Exlusive)
b) Tidak saling meniadakan
B. Aturan Perkalian
Dilihat dari jenis kejadiannya apakah
bersifat:
a) Kejadian bebas
b) Kejadian tak bebas
Kejadian Saling meniadakan
Kejadian saling meniadakan adalah kejadian
dimana jika sebuah kejadian terjadi, maka
kejadian yang kedua adalah kejadian yang
saling meniadakan.
Jika 2 kejadian A dan B saling meniadakan,
aturan penjumlahan menyatakan bahwa
probabilitas terjadinya A dan B sama dengan
penjumlahan dari masing-masing nilai
probabilitasnya:
P( A atau B)  P( A  B)  P( A)  P( B)
Kejadian Tidak Saling Meniadakan
Aturan umum penjumlahan untuk
kejadian-kejadian yang tidak
saling meniadakan pada 2 kejadian
A dan B dapat ditulis:
P( A atau B)  P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
Kejadian Tak Bebas
Probabilitas bersyarat (Conditional Probability)
yaitu Probabilitas terjadinya kejadian A dengan
syarat bahwa B sudah terjadi atau akan terjadi.
Probabilitas kejadian Interseksi
Untuk menghitung probabilitas bersyarat,
seolah-olah kita sudah mengetahui P( A  B)
P(A) dan P(B), berdasarkan apa yang
diketahui, akan kita hitung PA B atau PB A
untuk menghitung P( A  B) :
P( A  B)  P( A).PB A  P( B).PA B
Kejadian Bebas
Dua kejadian atau lebih dikatakan merupakan
kejadian bebas apabila terjadinya kejadian
tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A
dan B dikatakan bebas, jika kejadian A tidak
mempengaruhi B atau sebaliknya.
Dari definisi yang ada, jika A dan B merupakan
PA B  P( A)
kejadian bebas, maka
dan PB A  P(B)
P( A  B)  P( A).PB  P( B).P A
Pendekatan asas probabilitas dengan
menggunakan Diagram Venn
Himpunan dari seluruh kejadian yang ada disebut
Himpunan semesta (Universal Set)
Himpunan bagian yang paling kecil dari suatu
himpunan disebut himpunan kosong (nullset) dengan
simbol Ø
Oleh karena himpunan maupun himpunan bagian
dapat merupakan kejadian atau event, maka
selanjutnya akan dijelaskan antara lain : Kejadian
komplementer, Interseksi (Perpotongan) dan Union
(Gabungan).
Komplemen Suatu kejadian
Komplemen suatu kejadian
Misalnya s bahwa adalah ruang sampel, a adalah
himpunan bagian s, dan A komplemen dari A.
Hubungan tersebut dapat digambarkan dalam
diagram Venn
Interseksi Dua Kejadian
Interseksi Dua Kejadian, misalnya A dan B, yang
sering ditulis
terdiri
dari elemenA,
B
elemen anggota s yang selain mempunyai sifat
atau ciri-ciri A juga B, artinya selain anggota A
juga anggota B.
A  B  x : x  A dan x  B
Union Dua Kejadian
Union Dua Kejadian A dan B ditulis A  B
merupakan himpunan bagian S, yang terdiri
dari elemen-elemen anggota S yang menjadi
anggota A saja, B saja atau menjadi anggota A
dan B saja sekaligus.
A  B  x : x  A atau x  B
Marginal Probability
Suatu kejadian yang terjadi bersamaan
dengan kejadian lainnya, dimana kejadian
lainnya tersebut mempengaruhi terjadinya
kejadian yang pertama.
Menurut definisi, jika R merupakan suatu
kejadian sedemikian rupa sehinnga salah satu
kejadian-kejadian yang saling meniadakan S1,
S2, ….Sk, harus terjadi bersama (Joint)
dengan salah satu kejadian dari R, Kemudin
P(R) disebut Probabilitas Marginal
k
P( R )   P ( R.Si ) Karena P( R.Si)  P( Si).P( R.Si)
i 1
Maka
P( R)   P(Si) PR Si 
Teorema Bayes
Jika kejadian B1, B2,……, Bk.
Merupakan mutually exclusive dari
ruang sampel S dengan P(Bi) ≠ 0 untuk
i = 1, 2, …, k maka untuk sembarang
kejadian A yang bersifat P(A) ≠ 0
P Br A 
P( Br ) P A Br 
P( B1 ).P A B1   P( B2 ).P A B2   ...  P( BK ).P A BK 
PBr A 
P( Br ) P A Br 
 P( Bi ).PA Bi 
K
I 1
Expected Value
 Apabila x adalah variabel random
dengan nilai X1, X2,….,Xn dan
probabilitasnya adalah P(X1),
P(X2),…..,P(Xn) maka nilai harapan
( Expected Value) dari x adalah:
n
E ( x)     xi P ( xi )
i 1
Permutasi
Suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan
atau sebagian dari sekumpulan benda
1. Banyak permutasi n benda yang berbeda
adalah n! ditulis dengan nPn!
Contoh : Berapa banyaknya cara yang
dapat disusun dari 3 huruf A, B, C.
Jawab:
Banyaknya permutasi dari 3 unsur
3P3 = 3! = 3.2.1 = 6
Susunannya:
1. A B C
2. A C B
3. B A C
4.
5.
6.
B
C
C
C A
A B
B A
Permutasi
2.
Banyaknya permutasi akibat pengambilan n
benda berbeda
n!
nPr 
n  r !
Contoh :
Dari Lima orang calon pejabat, tersedia 3
macam jabatan : Ketua, Sekretaris, dan
Bendahara. Berapa banyaknya susunan
jabatan yang mungkin dibuat dari kelima
calon itu:
Jawab:
n = 5 dan r = 3
5!
5.4.3.2.1
5P3 

 60 susunan
5  3!
2.1
Permutasi
Permutasi melingkar
Permutasi yang berasal dari penyusunan
benda dalam bentuk melingkar
(n - 1)!
Banyaknya permutasi yang berbeda dari n
benda yang n1 diantaranya berjenis
pertama, n2 berjenis kedua, …nk berjenis
ke-k adalah
n!
n1! n2 !......nk !
Kombinasi
Banyak kombinasi r benda dari n benda
yang berbeda adalah
n
n!
  
 r  r!(n  r )!
Contoh :
Dari suatu kelompok yng terdiri dari 5
orang, akan dibentuk suatu komisi atau
(Comitte) yang terdiri dari 3 orang. Berapa
banayk susunan komisi yang dapat dibuat?
Jawab:
 5
5!
5!
  

 10
 3  3!(5  3)! 3! 2!

Download Report