Matakuliah
Tahun
: D0174/ Pemodelan Sistem dan Simulasi
: Tahun 2009
Pertemuan 12
MODEL PROBABILISTIK
Learning Objectives
• Terminologi model pobabillistilk
• Implementasi model probabilistik
• Studi kasus model probabilistik
PELUANG (Probabilitas)
ialah Nilai kemungkinan terjadinya suatu kejadian, dimana
nilainya diantara
0 dan 1.
•
Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti
terjadi
•
Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang
mustahil atau tidak mungkin terjadi
Rumus Peluang
Mencari banyaknya anggota kejadian n(K),
dibandingkan dengan banyak anggota ruang sampel
n(S).
Ruang Contoh & Kejadian
•
Ruang Contoh ialah
Himpunan semua hasil percobaan suatu percobaan,
dilambangkan dengan S.
•
Kejadian ialah
Sembarang himpunan bagian E dari ruang contoh S.
•
•
•
Gabungan, Irisan, Komplemen
Gabungan
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Irisan
P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(AUB)
Komplemen
P(A’) = 1 – P(A)
P(AUA’) = P(A) + P(A’)
Gabungan, Irisan, Komplemen
Aturan-Aturan:
•
Hukum Komutasi
•
•
EF=FE
EF=FE
Hukum Asosiasi
(E F) G = E (F G)
(E F) G = E (F G)
Hukum Penyebaran
(E F) G = (E G) (F G)
(E F) G = (E G) (F G)
Contoh Soal 1
Pada saat sebuah dadu dikocok, tentukan
probabilitas munculnya angka 1?
Contoh Soal 1
Jawab.
• mata dadu ada 6 yaitu
angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6
• n(K) adalah 1 (hanya ada satu angka 1)
• n(S) adalah 6 (ada enam angka)
P(muncul angka 1) = 1/6
Contoh Soal 2
Berapakah peluang mendapatkan kursi PNS
dalam tes CPNS, misalkan ada 100 peserta
CPNS dan hanya 5 posisi yang diperebutkan ?
Contoh Soal 2
Jawab.
• n(K) adalah 5 (posisi yang diperebutkan)
• n(S) adalah 100 (jumlah peserta)
P(diterima) = 5/100 = 1/20
PERMUTASI
Pengertian
(secara harfiyah)
Penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam
urutan yang berbeda dari urutan yang semula
PERMUTASI
Pengertian
(dilihat dari contoh kasus)
Terdapat suatu untai abjad abcd, ada 24 cara menuliskan keempat huruf
tersebut dalam urutan yang berbeda satu sama lain:
“abcd abdc acbd acdb adbc adcb bacd badc bcad bcda bdac bdca
cabd cadb cbad cbda cdab cdba dabc dacb dbac dbca dcab dcba”
Maka setiap untai baru yang memiliki urutan berbeda dari untai semula ini
disebut dengan permutasi dari abcd
PERMUTASI
• DALIL I
Banyaknya permutasi n benda yang berbeda adalah n!
Contoh soal :
Berapakah banyaknya permutasi dari huruf a, b, c, d?
PERMUTASI
Jawaban :
Diketahui : n = 4
P = n!
= 4! = 4 x 3 x 2 x 1
= 24
Jadi banyaknya permutasi dari huruf a, b, c, d adalah 24
PERMUTASI
• DALIL II
Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda yang
berbeda adalah :
Contoh soal :
n!
n Pr
(n r )!
Dua kupon lotere diambil dari 20 kupon untuk menentukan hadiah pertama dan kedua.
Hitung banyaknya titik contoh dalam ruang contohnya?
PERMUTASI
Jawaban :
Banyaknya titik contoh adalah :
20!
20 P2
(20 2)!
20!
20 P2
18!
= (20)(19) = 380
PERMUTASI
DALIL III
Banyaknya permutasi n benda yang
berbeda yang disusun dalam suatu
lingkaran adalah (n-1)!
PERMUTASI
• DALIL IV
Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang
n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, …,
nk berjenis ke-k adalah :
n!
n1! n 2 !...n k !
PERMUTASI
Contoh soal :
Berapa banyak susunan yang berbeda bila kita ingin
membuat sebuah rangkaian lampu hias untuk pohon
natal dari 3 lampu merah, 4 kuning, dan 2 biru?
PERMUTASI
Jawaban :
9!
3!4!2!
= 1260
PERMUTASI
DALIL V
Banyaknya cara menyekat sekumpulan n benda ke
dalam r sel, dengan n1 unsur dalam sel pertama, n2
unsur dalam sel kedua, dan demikian seterusnya,
adalah :
n
n1 , n2 ,..., n3
=
n!
n1 !, n2 !...., nr !
PERMUTASI
Contoh soal :
Berapa banyak cara 7 orang dapat menginap dalam 1
kamar tripel dan 2 kamar dobel?
PERMUTASI
Jawaban :
7
7!
=
3,2,2 = 210 3!2!2!
Kombinasi
• Kombinasi dalam matematika kombinatorik berarti himpunan objek yang
tidak mementingkan urutan.
• Kombinasi berbeda dengan permutasi yang mementingkan urutan objek
• Kombinasi C dari sebuah himpunan
S adalah himpunan bagian dari S.
cost
• Di lambangkan
Sebagai contoh,
kumpulan buah: apel, jeruk, mangga.
Maka {apel, jeruk} dan {jeruk, mangga} adalah merupakan kombinasi dari kumpulan tersebut.
Seluruh himpunan bagian yang mungkin dibentuk dari kumpulan buah tersebut adalah:
a) tidak ada buah apa pun
b) satu buah:
apel
jeruk
mangga
c) dua buah:
apel, jeruk
apel, mangga
jeruk, mangga
d) tiga buah:
apel, jeruk, mangga
•
Banyaknya kombinasi r dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat dihitung tanpa harus memperhatikan isi dari
himpunan tersebut. Besarnya dinyatakan dengan fungsi:
•
Fungsi
•
Sebagai contoh,
dalam banyak literatur dinyatakan juga dengan notasi
{apel, jeruk, mangga, pisang}, banyaknya kombinasi 3 dari himpunan tersebut dapat dihitung:
Hubungan dengan Permutasi Berunsur Identik
Kombinasi dari sebuah himpunan S dapat dimengerti sebagai pemilihan unsur-unsur himpunan S.
Unsur yang terpilih kita tandai dengan 1, dan yang tidak terpilih kita tandai dengan 0.
dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} tersebut, kombinasi-3 nya adalah :
Kombinasi
apel
apel, jeruk, mangga
apel, jeruk, pisang
apel, mangga, pisang
jeruk, mangga, pisang
jeruk mangga pisang
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
Dengan demikian, banyaknya kombinasi
Koefisien Binomial
Suatu binomial (a + b)n yang dijabarkan dalam bentuk jumlahan, akan membangkitkan koefisien-koefisien
yang merupakan bilangan kombinasi.
Dengan penjabaran seperti di atas, maka banyaknya kombinasi r dari n unsur bisa didapat dari setiap suku:
Daftar berikut menunjukkan beberapa penjabaran binomial:
1. (a + b)0 = 1a0b0
2. (a + b)1 = 1a1b0 + 1a0b1
3. (a + b)2 = 1a2b0 + 2a1b1 + 1a0b2
4. (a + b)3 = 1a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + 1a0b3
5. (a + b)4 = 1a4b0 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + 1a0b4
6. (a + b)5 = 1a5b0 + 5a4b1 + 10a3b2 + 10a2b3 + 5a1b4 + 1a0b5
Segitiga Pascal
Dengan menuliskan hanya koefisiennya saja, dari penjabaran binomial dapat kita peroleh:
1.
2.
3.
4.
Jika diteruskan, daftar koefisien ini akan membentuk susunan yang disebut sebagai Segitiga
Pascal.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Tugas
1. Sebuah kotak berisikan 6 bola merah, 4 bola putih, dan 5 bola
biru.Tiga bola diambil secara berurutan dari kotak
tersebut.Tentukan peluang bahwa urutan warna bola yang
terambil adalah merah, putih dan biru jika setiap bola yang
terambil dikembalikan ke kotaknya.
2. Berapa banyak cara 8 orang dapat menginap dalam 1 kamar
tripel dan 3 kamar dobel?
3. Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola.
Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah
dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan
mata tertutup anda diminta mengambil satu kotak secara
acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari
bola yang terambil itu. Anda diberitahu bahwa bola yang
terambil ternyata berwarna merah. Berapakah peluangnya
bola tersebut terambil dari kotak 1, kotak 2, dan kotak 3?
Daftar Pustaka
•
Law, Averill M. david Kelton. (2000). Simulation
Modeling and Analysis. Mc-Graw Hill. New York.
TERIMA KASIH
© Copyright 2024 Paperzz
