Modul 4.
Peubah Acak Kontinu dan Fungsi
Kepekatannya
1. Konsep Dasar
Suatu peubah acak kontinu mempunyai peluang nol
pada setiap titik x. Bila x kontinu :
P(a  X  b)  P X  a  Pa  X  b)  P X  b
 P a  X  b 


 f(x)dx,

f(x) = fungsi kepekatan peluang
 Fungsi f(x) adalah fungsi kepekatan peluang peubah
acak kontinu X, yang didefinisikan di atas himpunan
semua bilangan real R, bila:
(1) f ( x)  0 untuk semua x  R

(2)  f(x)dx  1
-
b
(3) Pa  X  b    f ( x)dx
a
1
 Fungsi F(x) = fungsi sebaran (kumulatif)
Suatu peubah acak kontinu X dengan
kepekatan peluang f(x) dimana:
F ( x)  P X  x  
fungsi
x
 f (t )dt ,  X  

Pa  X  b   F (b)  F (a)
f ( x) 
dF ( x)
dx
Contoh soal :
Misalkanlah bahwa galat suhu reaksi, dalam oC, pada
percobaan laboratorium yang dikontrol merupakan
peubah acak X yang mempunyai fungsi kepekatan
peluang:
f(x) =
1/3 x2, -1 < x < 2
0 , untuk x lainnya
(a) Tunjukkan bahwa f(x) adalah fungsi kepekatan
(b) Hitunglah P ( 0 < X  1)
(c) Carilah F(x) dari fungsi kepekatan f(x) dan
gunakan F(x) untuk menghitung pertanyaan (b)
sekali lagi ?
2
Petunjuk:
(a) Ingat sifat fungsi kepekatan
b
(b) P ( a < X < b) = f(x) dx

 f ( x)dx  1


a
x
(c) F ( x) 
 f (t )dt dan P(a  X  b)  F(b) - F(a)

2. Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak Kontinu
Misalkan peubah acak kontinu dengan fungsi
kepekatan f(x) maka :

E(x)  μ 
2
xf
(x)
dx
dan
ragam
X

σ


σ 2  E x  μ  
2

2


x

μ
f(x) dx


Secara praktis:
 

σ E x μ 
2
2
2
2
2
x
f
(x)
dx

μ



2
x
 f(x)dx  μ2  momen kedua

3

   x
Momen ke-k : μk  E x
k
k
f(x)dx

Contoh soal:
Diketahui fungsi kepekatan peluang f(x):
f(x) =
2 ( 1 - x), 0 < x < 1
0 , x lainnya
Carilah  = nilai tengah x dan ragamnya = 2
Petunjuk jawaban:

1
1
  E ( x)   xf ( x)dx   x.2(1  x)dx 
3

0
 
1
E x   x 2 .21  x dx 
2
0
1
6
 
2
1 1
1
Var(X)  σ 2  E x 2  μ 2     
6 3
18
3. Fungsi Kepekatan Khusus
 Fungsi Kepekatan Seragam (uniform)
f(x) =
1
ba
,a≤ x ≤ b
0, x lainnya
4
Fungsi sebarannya (kumulatif)
0, x < a
xa
ba ,a≤ x ≤ b
1, x > b
F(x) =
Rataannya  
ab
z
( a  b) 2
Ragamnya   12
 Fungsi Kepekatan Normal
f ( x) 
1
e
 2
1  x 
 

2  
2
,-∽<x<∽
Rataannya = 
Ragamnya = 2
Z
V
x

,  z  0, z  1
2

x  


2
2


2
(1)
5
 Sebaran Eksponensial
e-x , 0 < x < ∽ , > 0
f(x) =
0, selainnya
Fungsi sebaran (kumulatif) nya
0, x ≤ 0
f(x) =
1 – e-x , 0 ≤ x < ∽
1
Rataannya :   
1
Ragamnya :    2
 Sebaran Gamma
f(x) =
1
 1  x / 
x
e
,x0

  
0, x lainnya
bila  > 0 dan  > 0
 dan  adalah parameter
6
(1)    e  x dx  1

() = ( - 1) ( - 1)
(2) = 1(1) = 1
Rataannya ;
Ragamnya ;
 = 
2 = 2
 Fungsi Kepekatan Weibull
  1  x 
x e
,x 0

/
f(x) =
0, x lainnya
f ( x)  1  e
Fungsi sebaran (kumulatif):
 x / 
1
Rataannya ;
    1 
Ragamnya ;
 
2
2


 2

    
1 2
 Fungsi Kepekatan Beta
f(x) =
1
 1
x 1 1  x  ,0  x  1
  ,  
0, x lainnya
7



Rataannya:


2


Ragamnya:
    1   2
B ,     1 x 1 1  x 
 1
dx

B ,   
 . 
   
Tugas/ Latihan
1.
Jumlah total yang diukur dalam satuan 100 jam,
bahwa suatu keluarga menggunakan penghisap
debu pada periode satu tahun merupakan peubah
acak kontinue X yang mempunyai fungsi kepekatan
x
,0<x<1
2-x,1≤ x < 2
f(x) =
0
, x lainnya
Carilah peluang bahwa pada periode satu tahun,
satu keluarga menggunakan penghisap debu
mereka
a. Kurang dari 120 jam
b. Antara 50 sampai 100 jam
8
2.
Proporsi orang yang menanggapi pencarian
persamaan-persamaan tertentu merupakan sebuah
peubah acak kontinu X yang mempunyai fungsi
kepekatan
2( x  2)
,0  x,1
5
f(x) =
0, x lainnya
a.
b.
Perlihatkanlah bahwa P(0 < x < 1) = 1
Carilah peluang bahwa lebih dari ¼ tetapi
kurang dari ½ orang-orang yang dihubungi
akan menanggapi bentuk pencarian itu.
3.
Sebuah peubah acak kontinu X yg dapat memiliki
nilai antara x = 1 dan x = 3 mempunyai fungsi
kepekatan yang diberikan oleh f(x) = ½ .
a. Perlihatkan bahwa luas dibawah kurva adalah
sama dengan 1.
b. Carilah P( 2 < X < 2,5 )
c. Carilah P( X ≤ 1,6 )
d. Carilah fungsi sebaran (peumulatif) = F(x) dan
gunakanlah untuk mengevaluasi P(2 < X < 2,5 )
4.
Andaikan fungsi kepekatan
f(x) =
k x ,0<x<0
0
, lainnya
a. Carilah nilai k
b. Carilah F(x) dan gunakanlah untuk mencari
P(0,3 < X < 0,6)
9
5.
Sebuah peubah acak kontinu X yang dapat memiliki nilai diantara x = 2 dan 5 mempunyai fungsi
kepekatan,
f (x) = 2/27 (1 + x)
Carilah:
a. P(x < 4)
b. P(3 < x < 4)
c. F(x) = fungsi sebaran (kumulatif)
6.
Waktu tunggu dalam jam diantara para pengebut
secara berurutan yang diketahui oleh sebuah unit
radar berupa sebuah peubah acak kontinu dengan
sebaran kumulatif
0
,x<0
F(x) =
1 – e-8x , x > 0
Carilah peluang penungguan yang kurang dari12
menit diantara pengebut yang berurutan
a. Dengan menggunakan sebaran kumulatif X
b. Dengan menggunakan fungsi kepekatan X
7.
Jangka hidup dalam jam suatu komponen listrik
merupakan sebuah peubah acak dengan fungsi
sebaran kumulatif,
0
F(x) =
,x<0
1 – e-x/50 , x > 0
10
a. Tentukan fungsi kepekatan
b. Tentukan peluang jangka hidup komponen
semacam itu akan lebih dari 70 jam.
8.
Bila keuntungan dealer dalam satuan $5000, pada
sebuah mobil baru dapat dianggap sebagai peubah
acak X yang mempunyai fungsi kepekatan
2(1 – x) , 0 < x < 1
f(x) =
0
, x lainnya
Carilah keuntungan rata-rata per mobil.
9.
Fungsi kepekatan pengukuran diameter ulir suatu
fitting adalah,
f(x) =
4
,0  x  1
 (1  x 2 )
0
, x lainnya
Carilah nilai harapan dari X.
10. Sebuah peubah acak kontinu X mempunyai fungsi
kepekatan X
e-x , x > 0
f(x) =
0 , x lainnya
Carilah E(e2x/3)
11
11. Sebuah peubah acak
kepekatan,
1
, 0x5
f(x) =
5
0 , x lainnya
X mempunyai fungsi
Carilah  = E(x) dan 2 = E(x - )2
12. Asumsikan lama X dalam menit dari percakapan
telepon merupakan peubah acak dengan fungsifungsi kepekatan
1 -x/5
e , x0
f(x) =
5
0 , x lainnya
a. Carilah nilai tengah = E(x) lama percakapan
telepon ini.
b. Carilah ragam dan simpangan baku X.
13. Disuatu kota pemakaian air sehari (dalam jutaan
liter) berdistribusi gamma dengan  = 2 dan  = 3.
Bila kemampuan menyediakan air 9 juta liter sehari,
berapakah peluang pada suatu hari tertentu
persediaan air tidak mencukupi.
14. Sebuah peubah acak kontinu dengan fungsi
sebaran kumulatif
0 , x ≤ -1
½ (x3 + 1) , -1 ≤ x ≤ 1
f(x) =
1
, x≥1
12
Carilah E(x) , E(x2) dan (x)
15. Peubah acak X
1+x
1–x
f(x) =
1
mempunyai fungsi kepekatan,
, -1 ≤ x ≤ 0
, 0≤ x≤1
, x lainnya
Carilah fungsi sebaran kumulatif X.
16. Suatu peubah acak x berdistribusi seragam kontinu
bila fungsi kepekatannya]
1
f ( x) 
b  a , untuk a < x < b dan f(x) = 0 untuk x
lainnya. Bila a = 2 dan b = 7.
Carilah (a) P(x ≥ 4)
(b) P(3 > x > 5,5)
17. Banyaknya kopi sehari dalam liter yang dikeluarkan
oleh suatu mesin diruang tunggu suatu bandar
udara berbentuk peubah acak X yang berdistribusi
seragam kontinu dengan a = 7 dan b = 10. Cari
peluangnya bahwa pada suatu hari tertentu
banyaknya kopi yang dikeluarkan oleh mesin tadi:
a. Paling banyak 8,8 liter
b. Lebih dari 7,4 liter tetapi kurang dari 9,5 liter
c. Paling sedikit 8,5 liter
13
18. Diketahui suatu distribusi
menunjukan bahwa
ab


(a)
2
(b) 
2
seragam
kontinu
2

a  b

12
19. Lamanya waktu untuk melayani seseorang di
kafetaria merupakan peubah acak berdistribusi
eksponensial dengan rataan 4 menit. Berapakah
peluang seseorang akan dilayani dalam waktu
kurang dari 3 menit pada paling sedikit 4 dari 6 hari
berikutnya?
20. Disuatu kota pemakaian tenaga listrik harian, dalam
jutaan rupiah kilowatt/jam, berbentuk peubah acak
X yang berdistribusi gamma dengan rataan  = 6
dan 2 = 12
a. Carilah nilai  dan 
b. Carilah peluangnya bahwa pada suatu hari tertentu pemakaian harian tenaga listrik melebihi
12 juta KW/jam.
14

download

download

download

download

download

download soal

download soal

download

download

download