SEBARAN DARI FUNGSI PEUBAH ACAK Beberapa Definisi Dan Sifat Fungsi Peubah Acak Mis X1, X2, …, Xn merupakan n peubah acak dengan fkp f(x1, x2,…xn). Y adalah peubah acak yang didefinisikan Y = u (x1, x2,…xn). Biasanya f(x1 x2 ,…, xn) diketahui dan fkp bagi y dapat ditentukan Jika n=1 dan x1 ~ N(,2) maka Y= x σ μ ~ N(0,1) 1 Jika n bilangan bulat positif dan jika Xi i=1,2,3, …, bebas stokhastik (Mutually Stochastically Independent) Dan setiap Xi mempunyai fkp yang sama yaitu f(x) = px (1-p) 1-x ; x = 0,1 = 0 selainnya n Dan jika Y= i1 Xi maka Y~ b(n,p) Y = (x1) = x1 μ σ Fungsi dari X1 dan tergantung pada 2 parameter (,) sebaran nomal Y = (x1, x2, …, xn) = x Tidak tergantung pada P sebagai parameter dari fkp bagi Xi i =1,2,…,n n i 1 i Definisi Suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada parameter yang tidak diketahui disebut statistik Definisi Mis X1, X2,…, Xn adalah n peubah acak bebas stokhastik dengan fkp f(x) tidak diketahui dan fkp bagi X1,X2,.. Xn adalah f1(x1)= f(x1),f(x2),…,fn(xn)= f(xn) Sedemikian sehingga fkp bersamanya adalah f(x1, x2, …, xn) = f(x1).f(x2).f(x3)…f(xn) = f(xi) Definisi n i 1 Mis X1, X2, …, xn merupakan sampel acak berukuran n dari suatu sebaran. Statistik : n xi x1 x 2 ... x n i1 x n n Disebut rata-rata dari sampel acak x x x x 2 S = n n 2 n n i i 1 2 i i 1 2 Disebut varian (ragam) dari sampel acak Dalil : Misalkan X1 ... Xn adalah sampel (contoh) dari populasi normal dengan rata-rata dan variansi 2. Maka momen sampel X dan vektor deviasi tiap observasi terhadap rata-rata X X , ..., X X adalah saling bebas. 1 n Bukti: Y = X X ; i = 1,2,...,n Misalkan dan Y = Y , ... , Y Akan ditunjukkan bahwa fungsi pembangkit momen bersama Y dan X merupakan hasil kali fpm masingmasing. i 1 i n Fungsi pembangkit momen Y adalah My u1....un = E Exp u1Y1 .... un Yn dan u1 Y1 ... + u n Yn = u1 X 1 X ... u n X n X dengan = u1 X 1 ... + u n X n - n X u u = u1 ... un n , maka u1Y1 ... + un Yn = u1 u X1 ... un u Xn dan My u1...un = EExp u1 u X1 ... u n u X n = Mx u1 u ,...,un u Dengan sifat fpm , maka M x,y t,u1 ...un = M x t M y u1 ...un Jadi X dan Y saling bebas. Dalil : Jika s2 varians sampel berukuran n dari populasi normal dengan rata-rata dan varians 2, maka peubah acak berdistribusi khi-kuadrat n1 s2 2 dengan derajat bebas (n-1) . Bukti: Akan ditulis peubah acak n 1 s2 2 dalam bentuk kuadrat peubah acak normal baku. Mula-mula misalkan 1 s2 = n - 1 n 2 x x i i 1 dengan X1 ... Xn sampel acak dan X rata-ratanya, maka s 2 n x Tetapi n x - x - 1 = n - 1 i 2 i i 1 = n x - i=1 maka s2 = n n - 1 x - 2 sehingga n 1 s 2 2 x = i i=1 n 2 x - n atau dapat ditulis sebagai 2 n 1 s 2 2 x + n 2 n = i=1 xi 2 atau x W+Z = i i=1 n 2 MW Z t = MW t MZ t MW t MZ t = 1 - 2t n 2 sehingga MZ t 1 = - 2t 1 2 Dengan demikian fpm W adalah MW t 1 = - 2t n 1 2 yang merupakan fpm peubah acak khi-kuadrat dengan derajat bebas n 1 . n - 1 s berdistribusi Jadi khiW = 2 2 kuadrat dengan derajat bebas n 1 . Tranformasi Peubah Acak Dengan Metode Fungsi Sebaran Misalkan X1, X2, ... , Xn peubah acak dengan fungsi probabilitas (peluang) atau kepekatan fx ,...,x x1, x2 , ... , xn dan Y1 g1 x1, ... , xn , ... , Yp gp x1, ... , xn 1 n peubah acak pada ruang contoh yang sama. Maka fungsi sebaran bersama : y FY1, ..., Yp y1, y 2 , ... , y p P Y1 y1, ... , Yp y p P g1 x1, ... , x n y1 , ... , gp x1, ... , x n p P x1, x 2 , ..., x n A , Jika X1, X 2 , ..., Xn kontinu = ... f x1, x2 , ..., xn x1, x 2 , ..., x n dx1, ... , dx n A Dan untuk X 1 X 2 ... X n diskrit = ... Px1, ..., xn x 1 , x 2 , ..., x n Contoh 1 : Misalkan X berdistribusi dengan fungsi kepekatan probabilitas sebagai fX x = fX x = 1 e 2 - 1 x2 2 0 , untuk , untuk Y = g X = X Dan misalkan Maka FY y = PY y = P X2 y = P = FX y F y Dengan demikian fY y = fY y = fX = fY y = y dy y d dy y - - y X d FX y dan x lainnya 2 , untuk y 0 X d FX x R dy - f y dyd y X 1 -y e 2 + 2 2 y 1 -y e 2 2 2 y 1 - 12 -y 2 y e 2 , untuk y 0 y
© Copyright 2024 Paperzz
