Fungsi Probabilitas
Kumulatif (Fungsi Sebaran)
Untuk Satu Peubah Acak
Fungsi Probabilitas Kumulatif
(Fungsi Sebaran) Diskrit
Misalkan X1, X2, X3, …, Xn
merupakan peubah acak diskrit
dengan fungsi probabilitas p(x) > 0,
maka fungsi sebaran bagi peubah
acak tersebut dapat ditulis sebagai
berikut
F ( x) = P(X  x) =

Xx
p(x)
Contoh :
Fungsi Probabilitas Kumulatif
(Fungsi Sebaran) Kontinu
Bila X1,
X2,
X3,
…,
Xn
merupakan peubah acak kontinu
dengan fungsi kepekatan probabilitas
f(x) > 0, maka fungsi sebaran bagi
peubah acak tersebut dapat ditulis
sebagai berikut
x
F (x ) = P( X  x) =
 f(x) dx
-
Contoh :
Sifat–sifat dari fungsi sebaran F(x):
Baik untuk peubah acak diskrit
ataupun untuk peubah acak kontinu,
terdapat beberapa sifat dari fungsi
sebaran sebagai berikut ;
1. F (- ~) = P (X  - ~ ) = 0
2. F (+~) = P (X  + ~) = 1
3. Monoton tidak turun :
F(x1)  F(x2) untuk x1 >x2
im F ( x  h)  F ( x)
0h0
4. Kontinu dari sebelah kanan :
5. P(a < X  b)
= P(X  b) - P(X  a)
= F(b) - F(a)
6. P(a  X  b)
= P(X  b) - P(X < a)
= F(b) - F(a) + P(X = a)
7. P(a  X < b)
= P(X <b) - P(X < a)
= F(b)- F(a) - P(X = a) + P(X=b)
8. P(a < X < b)
= P(X < b)-P(X  a)=F(b)-F(a) +
P(X = b)
Contoh 1 :
Peubah X1, X2, X3, X4 merupakan
sampel acak berukuran 4 yang menyebar binomial dengan probabilitasnya sama dengan 0.50 dan fungsi
probabilitas p(x) sebagai berikut :
x
4 x
4!
 1  1
P(x) =
   
x! (4 - x)!  2  2
probabilitas untuk seluruh nilai x dan
sebaran probabilitas kumulatif, disertai
gambar grafiknya adalah sebagai
berikut
p(x) :
P(0) 
0
4
4!
1
 1  1
=
   
0! (4 - 0)!  2  2
16
4
6
4
; P(2) =
; P(3) =
; dan
16
16
16
1
P ( 4) 
16
P (1) =
Fungsi sebarannya adalah
F(x) = P ( X  x ), untuk x = 0, 1, 2, 3,
4 dapat diperoleh nilai-nilai F(x) sebagai berikut :
F (0) =
1
5
; F(1) = F(0) + P(1) =
16
16
F ( 2) = F(1) + P(2) =
F(4) =
11
15
; F(3) =
; dan
16
16
16
=1
16
Grafik dari P(X=x) = p(x) dan F(x)
dapat dilihat sebagai berikut
P(X)
16/16
8/16
4/16
0
1
2
3
4
2
3
4
X
F(X)
16/16
8/16
4/16
0
1
X
Contoh 2 :
Peubah X kontinu dengan fungsi
kepekatan probabilitas f(x) sebagai
berikut :
 2e -2x , x > 0
f ( x) =  0
, x  0

a. Gambarkan grafik f(x)
b. Gambarkan F(x) = P( X  x )
c. Cari P ( 2 < x < 4 ) = P (2  X  4 )
berlaku untuk peubah kontinyu.
Di mana e = 2,7182818  2,718
Penyelesaian :
Fungsi kepekatan probabilitas dari
peubah X yang kontinu adalah f(x), sedemikian rupa sehingga
b
P ( a < X  b ) =  f(x) dx
a
dengan

f(x)  0 dan
 f(x) dx = 1
-
kurva f(x) dan P ( a  X  b ), f(x) =
fungsi kepekatan Probabilitas, bukan
fungsi probabilitas
f(x)
A
a
b
x
b
A = P (a  X  b) = P (a < X < b) =  f(x) dx
a
= luas daerah yang diarsir
Apabila F(x) diketahui maka f(x) dapat
ditentukan dengan
f(x) =
d F(x)
dx
turunan dari fungsi probabilitas
kumulatif

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download