download

Modul 4. (Pendukung Pert 5)
Peubah Acak Kontinu dan Fungsi
Kepekatannya
1. Konsep Dasar
Suatu peubah acak kontinu mempunyai peluang
nol pada setiap titik x. Bila x kontinu :
P(a  X  b)  P X  a  Pa  X  b)  P X  b
 P a  X  b 


 f(x)dx,

f(x) = fungsi kepekatan peluang
 Fungsi f(x) adalah fungsi kepekatan peluang
peubah acak kontinu X, yang didefinisikan di
atas himpunan semua bilangan real R, bila:
(1) f ( x)  0 untuk semua x  R

(2)  f(x)dx  1
-
b
(3) Pa  X  b    f ( x)dx
a
1
 Fungsi F(x) = fungsi sebaran (kumulatif)
Suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi
kepekatan peluang f(x) dimana:
F ( x)  P X  x  
x
 f (t )dt ,  X  

Pa  X  b   F (b)  F (a)
f ( x) 
dF ( x)
dx
Contoh soal :
Misalkanlah bahwa galat suhu reaksi, dalam oC,
pada percobaan la-boratorium yang dikontrol
merupakan peubah acak X yang mempunyai
fungsi kepekatan peluang:
f(x) =
1/3 x2, -1 < x < 2
0 , untuk x lainnya
(a) Tunjukkan bahwa f(x) adalah fungsi
kepekatan
(b) Hitunglah P ( 0 < X  1)
(c) Carilah F(x) dari fungsi kepekatan f(x) dan
gunakan F(x) untuk menghitung pertanyaan
(b) sekali lagi ?
2
Petunjuk:

(a) Ingat sifat fungsi kepekatan

b
(b) P ( a < X < b) =
 f ( x)dx  1
 f(x) dx
a
x
F ( x) 
(c)
 f (t )dt dan P(a  X  b)  F(b) - F(a)

2. Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak
Kontinu
Misalkan peubah acak kontinu dengan fungsi
kepekatan f(x) maka :

E(x)  μ 
2
xf
(x)
dx
dan
ragam
X

σ


σ 2  E x  μ  
2

2


x

μ
f(x) dx


Secara praktis:
 

σ 2  E x2  μ2 

2
2
x
f
(x)
dx

μ


2
x
 f(x)dx  μ2  momen kedua


  x
k
Momen ke-k : μk  E x 
k
f(x)dx

3
Contoh soal:
Diketahui fungsi kepekatan peluang f(x):
f(x) =
2 ( 1 - x),
0<x<1
0 , x lainnya
Carilah  = nilai tengah x dan ragamnya = 2
Petunjuk jawaban:

1
1
  E ( x)   xf ( x)dx   x.2(1  x)dx 
3

0
 
1
E x   x 2 .21  x dx 
2
0
1
6
2
 
1 1
1
Var(X)  σ 2  E x 2  μ 2     
6 3
18
3. Sebaran Normal
Peubah acak X yang menyebar secara normal
dengan fungsi kepekatan peluang:
f(x) =
1
e
σ 2π
1  x μ 
 

2 σ 
2
,  X  
0 , x lainnya
4
Peubah acak normal baku :
Z
X μ
σ
1
F(z) =
1  2 z2
e ,  z  
2
0, z lainnya
Nilai harapan peubah acak X =  dan ragam 2,
sedangkan peubah acak Z mempunyai nilai
harapan = 0 dan ragam = 1.
-σ
μ
-1
0
σ
1
X
Z
Gambar 1. Kurva peubah acak normal X dan
peubah acak normal baku Z.
5
b μ
aμ
Pa  X  b   P
Z
  PZ 1  Z  Z 2 
σ 
 σ
Z1 
aμ
σ
, Z2 
b- μ
σ
P(Z1<Z<Z2) ditentukan dengan meng-gunakan
tabel normal baku.
Contoh soal:
Diketahui X menyebar secara normal dengan 
= 50 dan  =10. Carilah peluang bahwa X
mendapat nilai antara 45 dan 62.
Petunjuk:
P45  X  62  P 0,5  Z  1,2
 PZ  1,2  PZ  0,5
 0,8849  0,3085
 0,5764
4. Hampiran Normal Terhadap Binom
Bila X peubah acak Binom dengan nilai tengah
=np dan ragam  = np(1-p)
maka bentuk limit sebaran normal baku:
X  np
Z
, bila n  
n p 1  p 
6
Contoh soal:
Suatu ujian pilihan ganda terdiri atas 200 soal
masing-masing dengan 4 pilihan dan hanya satu
jawaban yang benar. Tanpa memahami soal sedikitpun masalahnya dan hanya dengan menerka
saja, berapakah peluang seorang mahasiswa
menjawab 25 sampai dengan 30 soal dengan
benar, untuk 80 dari 200 soal?
Petunjuk :
P25  X  30  P24,5  X  30,5  P1,16  Z  2,71
 0,1196
5. Sebaran Gamma dan Eksponensial
Peubah acak kontinu X menyebar secara Gamma,
dengan parameter  dan  bila fungsi
kepekatannya berbentuk:
f(x) =
X
1
 1  
X e ,X  0

 
0 , x lainnya
bila  > 0 dan  > 0.
Nilai tengah dan ragam peubah acak X yang
menyebar secara Gamma adalah:
=a dan  2 = a 2
7
Fungsi Gamma didefinisikan sebagai berikut:

Γ α    X α 1e  x dx , α  0
0
Γ α   α  1Γ α  1 !
1
Γ 1  1, Γ    π
2
Peubah acak kontinu X yang menyebar secara
eksponensial, dengan parameter  , bila fungsi
kepekatannya berbentuk :
1
f(x) =

e
x

,x0
0, untuk x lainnya
dengan  > 0.
Nilai tengah dari peubah acak X yang menyebar
secara eksponensial adalah
 =  dan ragamnya  2= 2.
Fungsi sebaran (kumulatif) peubah acak X yang
menyebar eksponensial :
0 , x<0
F( x : ) =
1 e
X

,x0
8
Tugas / Latihan
1. Peubah acak Y mempunyai fungsi sebaran
kumulatif, eksponensial :
1 - exp (0,7 y) , 0  y  
FY y   
0, y lainnya
a. Hitunglah P(1 < Y < 2)
b. Hitunglah P(Y > 3)
c. Tentukan persentil ke 95 = 0,95 (soal no. 4-1,
buku 2)
2. Peubah acak X mempunyai fungsi kepekatan
(probability density function) :
2X , 0  x  2
f X   
0, X lainnya
a. Gambarkan grafik f(x) untuk semua nilai x
b. Tentukan fungsi sebaran (kumulatif) = F(x)
untuk semua nilai x dan gambarkan grafiknya
c. Arsirlah daerah yang berkaitan dengan P (0,25
< X < 0,5) dan hitunglah luas daerah tersebut
dengan F(0,5) – F(0,25)
~
d. Hitunglah median = X dan persentil ke 90 =
0,95 dari sebaran x (soal no 4.2, buku 2)
9
3. Fungsi sebaran (kumulatif) dari peubah acak
dinyatakan dengan
0 , y  0
 3
F  y   y , 0  y  2
8

1, y  2
a. Gambar grafik F(y) untuk semua y
b. Hitunglah P(0,2 < Y < 0,5) dan F(Y > 0,6)
c. Tentukan f(y) = fungsi kepekatan untuk semua
nilai y dan gambarkan grafiknya (soal no4.3
buku 2)
4. Persentase kandungan alkohol dalam suatu
senyawa tertentu dinyatakan dengan 100X di
mana x merupakan peubah acak kapasitas
dengan fungsi kepekatan :
k (1 - x) 2 , 0  x  1
f x   
0, untuk x lainnya
a. Tentukan nilai k
b. Gambarkan grafik f(x) untuk semua x
c. Tentukan F(x) = fungsi sebaran (kumulatif)
untuk semua nilai x
d. Gambarkan grafik F(x)
e. Hitunglah peluang kandungan persentase
alkohol kurang dari 25 persen? lebih dari 75
persen?
~
f. Hitunglah median = X sebaran tersebut (soal
no 4.5 buku 2)
10
5. Peubah acak X mempunyai fungsi kepekatan
yang dinyatakan dengan
1  x, - 1  x  0

Fy   1 - x, 0  x  1
0, x lainnya

a. Gambar grafik dari f(x)
b. Tentukan fungsi sebaran (kumulatif) = F(x)
untuk semua nilai x dan gambarkan grfiknya
c. Hitunglah P(-0,4 < x , 0,6)

d. Hitunglah median = X sebaran tersebut
e. Hitunglah persentil ke 10 dan ke 90 dari
sebaran tersebut (soal no 4.7, buku 2)
6. Daya rentang = S (diukur dalam gram per cm2)
dari benang sorat plastik dinyatakan dengan
fungsi kepekatan
kx 2 (2  x), 0  x  2
f x   
0, x lainnya
a. Tentukan nilai k
b. Hitung P(0,5 < S <1,5)
c. Hitung pula P(S > 1)
(Soal no 4.9, buku 2)
7. Banyaknya hari untuk sebuah mesin disel
lokomotif untuk rusak mempunyai fungsi sebaran
eksponensial dengan parameter 1/ = 43,3 hari.
Hitunglah peluang bahwa mesin lokomotif
beroperasi satu hari penuh tanpa rusak? (soal
no4.4, buku2)
11
8. Hitunglah E(X), E(X2) , dan V(X) untuk peubah
acak X dari fungsi kepekatan
a.
b.
c.
1 1
  x,  1  x  1
f x    2 4
0, x lainnya
3(1- x) 2 , 0  x  1
f x   
0, x lainnya
1  x ,  1  x  0

f x   1 - x, 0  x  1
0, x lainnya

(soal dipilih dari no 4.14, buku 2)
9. Peubah acak X menyebar secara seragam
(uniform) pada interval {a,b}, tunjukkan bahwa:
a. E( X)  1 (a  b)
b.
2
(b  a)2
V( X) 
12
(soal no 4.16, buku 2)
10. Peubah acak x mempunyai fungsi sebaran = F(x)
yang kontinu yang dinyatakan dengan
0 , X  - 1
 3
f x    1 x  1 , - 1  x  1
2
2
1, x  1
Hitunglah E(X), E(X2) dan V(X)
(soal no 4.20, buku 2)
12
11. Peubah acak z merupakan peubah acak normal
baku. Gunakan tabel sebaran normal baku.
Gunakan tabel sebaran normal (Tabel A.3, buku
2) untuk menghitung
(a) P (Z  1)
(b) P (Z  - 1)
(c) P ( z  1)
( d) P ( Z  - 1,64)
(e) P (Z  1,64)
(f) P ( z 1,64)
(g) P (Z  2)
(h) P ( z  2)
(i) P ( z  1,96)
(soal no 4.22, buku 2)
12. Tentukan taksiran peluangnya dengan menggunakan ketaksamaan chebyshev, dan bandingkan dengan menghitung dengan menggunakan
tabel normal
(a) P ( z  1)
(b) P ( z  1,5)
(c) P ( z  2)
(soal no 4.23, buku 2)
13. Tentukan nilai c sehingga
(b) P (Z  c)  0,75
(a) P (x  c)  0.25
(d) P (Z  c)  0,85
(c ) P ( z  c)  0,5
(e) P (Z  c)  0,025
(f) P ( z  c)  0,95
(soal no 4.24, buku 2)
14. Mil per gallon (mpg) merupakan ukuran efisiensi
bahan bakar sebuah mobil. Mobil dipilih secara
acak dan menyebar secara normal dgn mpg ratarata,  = 29,5 dan  = 3
13
a. Berapa proporsi mobil yang mempunyai
ukuran efisiensi bahan bakar lebih besar dari
24,5 mpg
b. Berapa proporsi mobil yang mempunyai
ukuran efisiensi bahan bakar kurang dari 34,0
mpg?
(soal no 4.25, buku 2)
15. Sebaran waktu hidup (life time) dalam jam dari
sebuah baterai suatu komputer laptop menyebar
secara normal dengan rata-rata

= 3,5 dan
simpangan baku  = 0,4. Hitunglah waktu hidup
aman baterai jika didifinisikan pada persentil ke
10 dari sebaran tersebut ( soal no 4.27, buku 2)
16. Peubah acak X mempunyai sebaran normal
dengan nilai tengah  = 12,  =6
a. Hitunglah P (X < 0)
b. P (x > 20)
c. Tentukan nilai c sehingga
P ( x - 12  c)  0,9 ; 0,95 ; 0,99
(soal no 4.29, buku 2)
17. Skor ujian SAT masuk pada suatu perguruan
tinggi menyebar secara normal dengan =1200,
dan
 = 150. Hitunglah nilai c bila
P ( x - 1200  c)  0,5 , Interval [1200 – c, 1200 +
c] merupakan interquatilerange (IQR). (soal no
4.33, buku 2)
14
18. Peubah acak X menyatakan banyaknya sisi H
yang muncul dari hasil pelantunan sekeping mata
uang seimbang sebanyak 300 kali. Gunakan
pendekatan normal terhadap sebaran binomial
untuk menghitung peluang:
(a) P (x  160)
(b) P (x  140)
(c ) P ( x - 150 )  20
(d) P (135  x  165)
(soal no 4.35 , buku 2)
15

Download Report