MATERI POKOK 23
TRANSFORMASI PEUBAH ACAK
Transformasi Peubah Acak Kontinu
Teorema 1
Peubah acak X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi
kepekatan f(x). Peubah acak y = u(x) menyatakan hubungan satusatu antara nilai x dan y sehingga persamaan y = u(x) mempunyai
jawaban tunggal untuk x dalam y misalnya x = (y) sehingga
fungsi kepekatan y adalah g(y) = f [(y)] |j|
dengan J = 1(y) dan disebut Jacob, transfomasi.
Bentuk-bentuk transformasi:
- Y ax b
- Y - -1 Ln (1 - x)
- Y ex
- Y - 2 Ln x
x
- Y - Ln
2
- Y x 1/B
Transformasi Dengan Fungsi Sebaran
Andaikan peubah acak X kontinu dengan fungsi kepekatan f(x)
untuk C1 < x < C2 dengan transfora Y = u(X) dan inversnya X =
(y) maka fungsi kepekatan peubah acak Y adalah g(y)
diperoleh dari G1 (y) dimana
G y P Y y P u (X) y
P X ω y , u c1 y u c 2 atau d1 y d 2
G y 0, y d1 dan G y 1, y d 2
G y
ω(y)
c1
f x dx, d1 y d 2
G1 y g (y) f ω y w1 y
Contoh 1
Peubah acak X dengan fungsi kepekatan f(x) = 3(1 - x)2, 0<x<1..
Cari fungsi kepekatan peubah acak y = u(X)=(1 - X)3 .
Cara 1. Menggunakan fungsi sebaran
G y P Y y P 1 - x 3 y
P 1 - x y1/3 P x - 1 - y1/3 ( y )
1
1
1
1- y 3
f x dx
2
1
1- y 3
3 1 - x dx - 1 - x 3
G y 0 1 - y
1
1
1- y 3
y
1/3 3
G1 y g y 1, 0 y 1 sehingga
Y 1 - x 3 menyebar secara seragam uniform u 0, 1
Cara 2. Dengan Transformasi Jacobi
Y u x 1 x 3
x 1 y1/3 ω y
1
1
dx
2/3 2/3
J ω y
dy
3y
3y
1
g y f ω y ω1 y
f 1- y
1/3
3y2/3 3 1 1 y
1
1/3 2
1
3 y 2/3 1, 0 y 1
3y
g y 1 , untuk 0 y 1
2/3
Peubah acak X mempunyai fungsi kepekatan f(x) dengan
transformasi tidak satu-satu misalnya Y= u(x) = x2 dan –1 < x <
2, maka 0 < y < 1 nilai x y dan untuk 1 < y < 4 nilai x y
Teorema 2
Andaikan X perubahan acak kontinu dengan fungsi kepekatan
f(x). Transformasi Y = u(x) antara X dan Y tidak satu-satu dan
selang X dapat disekat menjadi K himpunan yang saling terpisah
sedemikian rupa sehingga masing-masing fungsi kebalikan
X1 = 1 (y), X2 = 2 (y),…, Xk = k (y) dari y = u(x) menyatakan
hubungan satu-satu maka fungsi kepekatan Y adalah
g y
k
f
i 1
ωi y Ji dengan
Ji ω1i y , i 1, 2, ..., k
misalnya:
f(x) ada pada selang –1 < x < 2 dan transformasi Y = u(X) = X2.
untuk 0 < y < 1
1
x ω1 y - y , - 1 x 0, ω11 y 2 y
x ω2 y
y , 0 x 1, ω12
y -
1
2 y
untuk 1 y 4
x ω3 y y , - 1 x 2, ω13 y 1
f - y f
2 y
1
f y
g y
2 y
0
1
2 y
y , 0 y 1
,1 y y
, y lainnya
Transformasi dengan Matriks Jacobi
Teorema 3
Andaikan X1 dan X2 merupakan peubah acak kontinu dengan
sebaran peluang gabungan f(x1, x2) dan Y1= u1(x1, x2) dan Y2 =
u2(x1, x2) menentukan transformasi satu-satu diantara titik
(x1, x2) dan (y1, y2) sehingga persamaan-persamaan
Y1 = u1(x1, x2) dan Y2 = u2(x1, x2) dapat dipecahkan secara unik
untuk x1 dan x2 dalam besaran y1 dan y2, katakanlah
x1 = 1(y1, y2) dan x2 = 2(y1, y2), maka sebaran peluang
gabungan Y1 dan Y2 berupa g (y1, y2)= f [1(y1, y2), 2(y1, y2)]|J|
dengan Jacobian adalah determinan 2 x 2:
J
x1 / y1
x1 / y 2
x 2 / y1 x 2 / y 2
x1 / y1
Adalah turunan parsial dari x1 = 1 (y1, y2) terhadap y1
Dengan y1 konstan
x1 / y 2
Adalah turunan parsial dari x1 = 1 (y1, y2) terhadap y2
Dengan y1 konstan
x 2 / y1
Adalah turunan parsial dari x2 = 2 (y1, y2) terhadap y1
Dengan y2 konstan
x 2 / y 2
Adalah turunan parsial dari x2 = 2 (y1, y2) terhadap y2
dengan y1 konstan
Contoh
Himpunan A = {(x1, x2): 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1}
Himpunan B = dalam bidang y1 y2 sebagai hasil pemetaan
transformasi satu-satu
Y1 = u1 (x1, x2) = x1 + x2
Y2 = u2 (x1, x2) = x1 - x2
1
maka x1 1( y1, y 2 ) ( y1 y 2 )
2
1
x 2 2 ( y1, y 2 ) ( y1 y 2 )
2
1
y1 y 2
2
1
x1 1 dipetakan kepada 1 y1 y 2
2
1
x 2 0 dipetakan kepada 0 y1 y 2
2
1
x 2 1 dipetakan kepada 1 y1 y 2
2
x1 0 dipetakan kepada 0
y2
x1
X2=1
x1 = 1
x1=0
y2
x2 = 0
= y1
B
y2 = 2 - y 1
y1
x1
y
2
=y
1
y2 = y1 - 2
1 1
x1/y1 x1/y 2 2 2
1
J
1
1
x 2 /y1 x 2 /y 2
2
2
2
1
untuk 0 x1 1 0 y1 y 2 1
2
1
0 x 2 1 0 y1 y 2 1
2
sehingga - y1 y 2 y 2 2 y1, y 2 y1 , y1 2 y 2
Contoh Transformasi:
X1, X2 menyebar normal: N (0,1) dan dengan transfomasi
Y1= x1/x2 dan Y2 = X2 maka g1(y1) sebagai fungsi kepekatan
marginal dari g (y1, y2) merupakan sebaran Cauchy
1
g1( y1 )
(1 y12 )
Materi Pokok 23
SEBARAN FUNGSI PEUBAH ACAK
Perluasan Teknik Transformasi
Bila h(x1, x2, …, xn) merupakan fungsi kepekatan gabungan
vektor peubah acak X1, X2, …, Xn A, dan bentuk transformasi
Y1 = u1 (x1, x2, …, xn)
Y2 = u2 (x1, x2, …, xn)
Yn = un (x1, x2, …, xn)
maka fungsi kepekatan gabungan vektor peubah acak Y1, Y2, …,
Yn adalah g(y1, y2, …, yn) = |J| h[w,(y1, y2, …, yn), …, wn (y1, y2,
…, yn)] bila (y1, y2, …, yn)B dan g(y1, y2, …, yn) = 0 untuk
nilai (y1, y2, …, yn) anggota himpunan lain.
Pada proses transformasi ini melibatkan bentuk integral lipat n:
... h (x1, x 2 ,..., x n ) dx1, dx 2 ,..., dx n
A
Ambil peubah acak
y1 = u1 (x1, x2, …, xn) dengan invers x1 = 1 (y1, y2, …, yn)
y2 = u2 (x1, x2, …, xn) dengan invers x2 = 2 (y1, y2, …, yn)
•
•
•
yn = un (x1, x2, …, xn) dengan invers xn = n (y1, y2, …, yn)
Merupakan bentuk transformasi satu-satu yang memetakan A ke
B dalam ruang y1, y2, …, yn dan determinan Jacob; berdimensi n
xn:
x1
y1
x 2
J y 2
...
x n
y1
x1
y 2
x 2
y 2
...
x 2
y 2
...
...
...
...
x1
y n
x 2
y n 0
...
x n
y n
maka
h
A
h
x1, x 2 , ....., x n dx1 dx 2 ..... dx n
ω1 y1, ....., y n ...... ωn y1, ....., y n J dy1 dy 2 ..... dy n
B
atau
g y1 , y 2 , ...., y n J h ω1 y1 , ....., y n ...... ω n y1 , ....., y n ,
ketika y1 , y 2 , ...., y n B
0, y1 , y 2 , ...., y n B
Contoh
Misalkan X1, X2, …, Xk+1 merupakan peubah acak bebas
stokastik dan masing-masing menyebar gamma dengan = 1
maka fungsi kepekatan peluang gabungannya adalah
k 1 1
h (x1 , x 2 , , x n )
x i αi - 1 e - xi , 0 x i dan
II τ α i
i 1
0, x i lainnya
xi
Ambil Yi
, i 1, 2, ......., k
x1 x 2 ..... x k 1
dan Yk 1 x1 x 2 ..... x k 1
sehingga Yi menunjukka k + 1 peubah acak baru peta
transformasi A = {X1, X2, …, Xk+1} = 0 < X1 <
i = 1, …., k + 1 ke dalam ruang
B = {(y1, …, yk, yk+1): 0 < yi, i = 1, 2, …, k, y1 + y2 +…+ yk < 1,
0 < yk + 1 <
Nilai inversnya :
x1 = y1 yk+1
x2 = y2 yk+1
…..
xk= yk yk+1
xk+1 = yk+1(1-y1, -···-yk) sehingga determinan Jacobi menjadi:
J
y k 1
0
0
y1
0
y k 1
0
y2
y k 1 y k 1 y k 1
yk
y kk 1
Akibatnya fungsi kepekatan peluang bagi Y1, …, Yk, Yk+1
menjadi
α1 αk 1 1 α - 1
α
- 1 y k 1
k
1
1
1 y1 y k
y k 1
y
e
1
τ α1 τ α k τ α k 1
Dan fungsi kepekatan peluang bagi y1, …, yk adalah g (y1, …, yk)
α1 - 1
α1 - 1
τ α1 α k 1
y1
y k 1 y1 y k α k 1 - 1
τ α1 τ α k 1
ketika 0 < yi, i = 1, ….., k; y1 + y2 + …. + yk < 1 merupakan
fungsi kepekatan peluang sebaran dirichlet dan untuk k = 1 fungsi
itu menjadi f kepekatan peluang .
Ambil h(x1, x2, …, xn) sebagai fungsi kepekatan gabungan X1,
X2, …, Xn suatu peubah acak kontinu. A:himpunan dalam ruang
berdimensi n dimana h(x1, x2, …, xn) > 0 dan dengan
transformasi
y1 = u1(x1, x2, …, xn),
y2 = u2(x1, x2, …, xn),
……………………..
yn = un(x1, x2, …, xn)
yang merupakan hubungan pemetaan dari A ke B di dalam y1, y2,
…, yn setiap titik di A mempunyai hubungan satu titik di B, tetapi
satu titik di B mungkin mempunyai hubungan lebih dari satu titik
di A, jadi bukan hubungan satu-satu. Kita dapat memandangan
himpunan A sebagai partisi A1, A2, …, Ak sehingga
x1 = 1 (y1, y2, …., yn)
x2 = 2 (y1, y2, …., yn)
:
:
xn = ni (y1, y2, …., yn) dengan i = 1, 2, ….., k dan matriks
Jacobinya
1i
y1
2i
J i y1
ni
y1
1i
y 2
2i
y 2
ni
y 2
1i
y n
2i
y n , i 1, 2, ..., k
ni
y n
Fungsi kepekatan gabungan
g
k
y1 , y 2 , ..., y n
i 1
i
dengan y1 , y 2 , y3 , ....., y n B
g1 y1
J i h ω1 y1 , y 2 , ..., y n x ωni y1 , y 2 , ..., y n
g y1 , y 2 , ..., y n dy 2 ..... dy n
© Copyright 2024 Paperzz
