Matakuliah
Tahun
: I0184 – Teori Statistika II
: 2009
KORELASI DUA PEUBAH ACAK
Pertemuan 21
Materi Pokok 21
KORELASI DUA PEUBAH ACAK
1. Pendugaan (x, y) : Koefisien Korelasi Contoh
Definisi 26.1.
Misalkan X dan Y adalah dua peubah acak. Koefisien
korelasi X dan Y dilambangkan dengan (X, Y) dengan
covX, Y 
X, Y  
 covX*, Y *
σx σy
X *  X - μ x  σ x dan Y *  Y - μ y  σ y
Teorema 26.1.
Untuk dua peubah acak X dan Y
a) | (X, Y)|  1
b) | (X, Y) = 1 jika dan hanya jika Y = ax + b dengan a
dan b konstan.
2
Bina Nusantara University
Misalkan koefisien korelasi antara x dan y tidak diketahui
tetapi kita mempunyai informasi tentang n pengukuran (X1,
Y1), (X2, Y2),…, (Xn, Yn) maka (X, Y) dapat diduga.
EXY   EX  EY 


ρ X, Y 
var X  var Y 
1 n
X  EX , y  EY  dan
 X i Yi  EXY 
n i 1
Koefisien korelasi contoh
R
Bina Nusantara University
1 n
 X i Yi  X Y
n i 1




1 n
1 n
2
2
 Xi - X
 Yi - Y
n i 1
n i 1
3
atau
R
 n
 n

1 n
 Xi Yi    Xi    Yi 
n i 1
i 1  i 1 
2
2
n
n
n
n




1
1
2 
2

 Xi -   Xi 
 Yi -   Yi 
n i 1
i 1  n i 1
i 1 
2. Interpretasi Koefisien Korelasi
Untuk menginterpretasikan R dilakukan melalui R2.
n

i 1
yi  βˆ 0  βˆ1 x i 2 
n

i 1
x i  x 
Bina Nusantara University
2
n
 
i 1
n

i 1
yi  y 
n

xi -  
 i 1
2
2
x i 

 βˆ 12
n

i 1
x i  x 2
2
n
4
n

i 1
yi  βˆ 0  βˆ1 x i  
n

i 1


n

i 1
n
yi  y  
i 1
r2 
n
 yi
i 1
Interpretasi dari r2
2

1.
2.

n
 yi 
i
1
bebas

y 2
n

2
 r 2 . i n 1

i 1
yi  y 
n
. 
2 i 1
x i  x 
x i  x 2
2
ˆ
ˆ
yi  β 0  β1 x i 
 y 2
menunjukkan

yi  y 2
variabilitas
n
2 semua sama.
untuk

yi hal
β0 yiβtidak
x
1 i
i 1
menunjukkan
dari
peubah
keragaman yang
tidak
Bina Nusantara University
5
n
3.
i 1
 yi  y 
2
n
 
i 1
yi  β0  β1 x i 2
menunjukkan keragaman
yi yang dijelaskan oleh hubungan regresi yi dengan x.
r2 = proporsi keragaman yi yang dapat dijelaskan dengan hubungan
regresi dengan x.
3. Sebaran Normal Bivariat
Jika X dan Y adalah peubah acak normal baku, maka fungsi
1 2
2
kepekatan gabungannya:
1  (x  y )
f x, y x, y  
2π
e
2
dengan - < x <  dan - < y < 
2y2 dimana c
1  2 < x2 + 2xy
Bentuk –1/2(x2 + y2) diganti dengan -–1/2c
+

2

c x - 2ννxy y 

2
dan  adalah konstanta
sehingga
f x, y   k e 
x.y
Bina Nusantara University
dan k sedemikian agar fx
6
. y
(x, y) memenuhi fungsi kepekatan

x 2  2xy  y 2  x 2  ν 2 x 2  y 2  2xy  v 2 x 2



 1 - ν 2 x 2   y - νx 2
f x . y x, y   k
1
 C 1 - ν 2  x 2

e 2 
1
 C  y - νx 2
.e 2
1  ν2  0  | v |  1
Melalui 
1
2 2
   C 1 - ν  x



 e 2
 
1
 C  y - νx 2
e 2
dy dx
2π
c 1 ν
c 1 ν
sehingga k 
2π

c adalah konstanta positif dan dipilih c 
Bina Nusantara University
1
1 - ν2
7
Fungsi kepekatan marginal X menjadi
1
 x2
e 2
1
f x x  
dan
2π
Fungsi kepekatan marginal Y menjadi
1
f y y  
2π
1
 y2
e 2
Definisi 26.1.
Misalkan X dan Y peubah acak dengan fungsi kepekatan
1
gabungan
f x, y (x, y) 
2π x σ y 1  ρ 2
2
2



y

μ
(y

μ
)


1
1
(x

μ
)
x

μ


y
y
x
x
 
.exp  

2ρ
.


2
2
2
1

ρ
σ
σ
σ
σ

 

 
x
x
y
y


Bina Nusantara University
8
untuk semua y dan y, maka peubah acak X dan Y
mempunyai sebaran normal bivariat.
Teorema 26.1.
Jika X dan Y adalah peubah acak yang mempunyai
sebaran normal bivariat maka:
a) fx(x) merupakan fungsi kepekatan normal dengan nilai
tengah x dan ragam x2, fy(y) juga mempunyai
sebaran normal dengan nilai tengah y dan ragam y2.
b) (x, y) = v = 
c) E(Y | X)  μ y 
ρσ y 2
σx
(x  μ x )
d) Var(Y | X) = (1 - 2) y2
Bina Nusantara University
9

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download