(Pendukung Pert 4)
Peubah Acak Diskrit dan Sebaran
Peluang
1. Konsep Dasar
Peubah Acak: suatu fungsi yang mengaitkan
suatu bilangan real pada setiap unsur dalam
ruang contoh
Jika suatu ruang contoh mengandung titik
yang berhingga banyaknya atau sederetan
anggota yang banyaknya sebanyak bilangan
bulat maka ruang contoh itu dinamakan
ruang contoh diskrit.
Bila ruang contoh mengandung titik contoh
yang tak berhingga banyaknya dan
banyaknya sebanyak titik pada sepotong
garis, maka ruang contoh itu disebut ruang
contoh kontinu.
Sebaran Peluang Diskrit
Hasil eksperimen pelemparan sekeping mata uang
seimbang sebanyak 3 kali diperoleh ruang contoh.
S = {BBB,BBM,BMB,MBB,BMM,MBM,MMB,MMM}
X = {0, 1, 2, 3}
X = banyaknya sisi muka = M muncul
P {
1 3 3 1
, , , }
8 8 8 8
1
Sebaran peluangnya menjadi:
X=x
0
f(x)=P(X=x) 1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
1/8, untuk x = 0,3
3/8, untuk x =1,2
0 , untuk x lainnya
f(x) =
Grafik balok (garis) nya:
f(x)
3
8
2
8
1
8
0
1
2
3
2
Himpunan pasangan terurut ( x , f(x)) merupakan
suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang atau
sebaran peluang peubah acak X bila, untuk setiap
kemungkinan hasil X :
f(x) 0
f(x) 1
x
P(X x) f(x)
Sebaran kumulatif atau fungsi sebaran F(x) suatu
peubah acak X dengan sebaran peluang f(x)
dinyatakan oleh:
F(x) P(X x) f(t) untuk x
t x
Dari pelemparan mata uang seimbang 3 kali:
F(x) =
0, x < 0
1/8, 0 x < 1
4/8, 1 x < 2
7/8, 2 x < 3
1, x 3
3
F(x)
1
6
8
4
8
2
8
.. . .
..
.. .
.
1
2
X
3
Sebaran kumulatif peubah acak diskrit
2. Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak
Nilai harapan peubah acak X dengan fungsi
peluang f(x)= E(x)=
E ( x) xP( X x) xf ( x)
x
x
4
Pada sebaran peluang:
X
f(x)
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
1
3
3
1
E(X) 0 1 2 3 1,5
8
8
8
8
Momen peubah acak X = k
μ k E(x k ), dengan k 1,2,...
μ k E(x k ) x k f(x)
x
μ 2 E(x 2 ) x 2 f(x)
x
1
3
3
1
μ 2 E(x 2 ) 0 2 12 2 2 32 3
8
8
8
8
Ragam dan Simpangan Baku Peubah Acak X
X
V(x) σ 2 E (x μ)2
1 j
σ σ2
X
1 j
j
μ f(x j )
2
j
μ f(x j )
V(x) = 2 = ragam peubah acak X
= simpangan baku peubah acak X
5
Peubah Acak Kontinu dan Fungsi
Kepekatannya
1. Konsep Dasar
Suatu peubah acak kontinu mempunyai peluang
nol pada setiap titik x. Bila x kontinu :
P(a X b) P X a Pa X b) P X b
P a X b
f(x)dx,
f(x) = fungsi kepekatan peluang
Fungsi f(x) adalah fungsi kepekatan peluang
peubah acak kontinu X, yang didefinisikan di
atas himpunan semua bilangan real R, bila:
(1) f ( x) 0 untuk semua x R
(2) f(x)dx 1
-
b
(3) Pa X b f ( x)dx
a
Fungsi F(x) = fungsi sebaran (kumulatif)
6
Suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi
kepekatan peluang f(x) dimana:
F ( x) P X x
x
f (t )dt , X
Pa X b F (b) F (a)
f ( x)
dF ( x)
dx
Contoh soal :
Misalkanlah bahwa galat suhu reaksi, dalam oC,
pada percobaan la-boratorium yang dikontrol
merupakan peubah acak X yang mempunyai
fungsi kepekatan peluang:
f(x) =
1/3 x2, -1 < x < 2
0 , untuk x lainnya
(a) Tunjukkan bahwa f(x) adalah fungsi
kepekatan
(b) Hitunglah P ( 0 < X 1)
(c) Carilah F(x) dari fungsi kepekatan f(x) dan
gunakan F(x) untuk menghitung pertanyaan
(b) sekali lagi ?
Petunjuk:
7
(a) Ingat sifat fungsi kepekatan
b
(b) P ( a < X < b) =
f ( x)dx 1
f(x) dx
a
x
f (t )dt dan P(a X b) F(b) - F(a)
F ( x)
(c)
2. Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak
Kontinu
Misalkan peubah acak kontinu dengan fungsi
kepekatan f(x) maka :
E(x) μ
2
xf
(x)
dx
dan
ragam
X
σ
σ 2 E x μ
2
2
x
μ
f(x) dx
Secara praktis:
σ E x μ
2
2
2
2
x
f
(x)
dx
μ
x
2
2
f(x)dx μ2 momen kedua
x
k
Momen ke-k : μk E x
k
f(x)dx
Contoh soal:
8
Diketahui fungsi kepekatan peluang f(x):
f(x) =
2 ( 1 - x),
0<x<1
0 , x lainnya
Carilah = nilai tengah x dan ragamnya = 2
Petunjuk jawaban:
1
1
E ( x) xf ( x)dx x.2(1 x)dx
3
0
1
E x 2 x 2 .21 x dx
0
1
6
2
1 1
1
Var(X) σ 2 E x 2 μ 2
6 3
18
9
© Copyright 2024 Paperzz
