Analisis Elementer
Dalam bahasan ini kita akan membicarakan analisis explorasi yaitu dengan
analisis elementer menggunakan rata-rata. Pertama-tama kita akan menggunakan
analisis elementer menggunakan rata-rata tanpa memperhitungkan efek interaksi
antara variabel baris dan variabel kolom. Kemudian dilanjutkan dengan analisis
elementer menggunakan rata-rata dengan memperhitungkan efek interaksi dengan
menggunakan median yang disebut median licin.
Data yang dianalisis ditulis dalam bentuk tabel seperti dibawah ini :
Variabel Kolom
1
j  
q  
Jumlah Rata-rata
Variabel Baris
1
Y11   
Y1j













Y1q   

i
Yi1   
Yij   
Yiq   












p
Yp1   
Ypj   
Ypq   












Total
Y1   
Y j   
Yq   
Rata-rata
Y 1   


Y j   
Tabel 1

Y q   
Y1
Y 1
Yi
Y i
Yp 
Y p


Y

Y
Tabel 1 diatas mempunyai dua variabel bebas X (kategorik) yang ingin diselidiki
pengaruhnya terhadap variabel tak bebas Y
yang numerik. Secara umum
dikatakan bahwa variabel baris mempunyai p tingkat dan variabel kolom
mempunyai q tingkat.
Yij = obsevarsi variabel baris ke-i dan variabel kolom ke-j
i
= 1, 2, ... , p ; j = 1, 2, ... ,q
Apabila terdapat lebih dari 1 pengamatan dalam tiap-tiap sel, misalnya Yijk ,

k = 1, 2, ... , r , maka Y ij rata-rata dari pengamatan dalam sel ( i, j ).
Y
ijk
Yij 
k
k
Yi   Yij
i = 1, 2, … , p
;
j = 1, 2, … , q
i = 1, 2 , … , p
(Total baris ke-i)
k
Y i 
Yi
q
(Rata-rata baris ke-i)
Y j  Yij
j = 1, 2, … , p
(Total kolom ke-j)
i
Y j
p
Y j 
Y
Y
i
i
pq
(Rata-rata kolom ke-j)

Y
j
j
pq
(rata-rata Y)
Model yang digunakan untuk analisis elementer rata-rata tanpa faktor
interaksi adalah :
Yij     i   j   ij
i = 1 ... p ; j = 1 ... q
 = rata-rata populasi
 i = pengaruh baris ke-i
 j = pengaruh kolom ke-j
 ij = kesalahan pada baris ke-i dan kolom ke-j

Yij diduga dengan Y ij dimana

Y ij = Y + ai + bj
Y
 Y
ij
i
j
n
dimana n = pq
(rata-rata sampel)
ai = Y i  - Y
(penduga pengaruh baris ke-i)
bj = Y
(penduga pengaruh kolom ke-j)
j
-Y

sisa atau residual
= Yij - Y ij

= Yij - Y - ai - bj
= Yij - rata-rata sampel
Untuk lebih mudah dalam perhitungan dilakukan dalam beberapa langkah.
Langkah 1 : buatlah tabel seperti dibawah ini :
Variabel Kolom
1
j  
q
Y1j - Y   
Y1q - Y
Variabel Baris
1

Y11 - Y












i
Yi1 - Y   
Yij - Y   
Yiq - Y












p
Yp1 - Y   
Ypj - Y   
Ypq - Y
Tabel 2

Langkah 2 : Hitunglah ( Yij - Y ) - ai untuk j = 1, 2, ... , q dan i = 1, 2, ... , p
Kemudian buatlah tabel dibawah ini
Variabel kolom
1
j  
q
Pengaruh baris
1
(Y11 - Y )-a1   
(Y1j - Y )- a1  
(Y1q - Y )- a1
a1 = Y 1  Y












i
(Yi1 - Y )-ai   
(Yij - Y )- ai   
(Yiq - Y )- ai












p
(Yp1 - Y )- ap   
(Ypj - Y )- ap   
(Ypq - Y )- ap
Variabel Baris
ai = Y i   Y
ap = Y p   Y
Tabel 3
Harga yang ada didalam kurung adalah harga yang telah dihitung di tabel 2.

Langkah 3 : Hitung ( Yij - Y - ai)- bj
untuk j = 1, 2, ... , q dan i = 1, 2, ... , p
Kemudian buatlah tabel dibawah ini
Variabel kolom
1
j  
1
(Y11 - Y -ai) - bi   
(Y1j - Y - ai) - bj   















i
(Yi1 - Y -ai) - bi   
(Yij - Y - ai) - bj   
(Yiq - Y - ai) - bq
ai















p
(Yp1 - Y - ai) - bi   
(Ypj - Y - ai) - bj   
Pengaruh kolom
bi = Y 1  Y
bj = Y  j  Y
q
Variabel Baris
(Y1q - Y - ai) - bq a1
(Ypq - Y - ai) - bq ap
bq = Y  q  Y
Tabel 4
Harga yang ada didalam kurung adalah harga yang telah dihitung di tabel 3.
Harga tiap-tiap tabel dalam Tabel 4 merupakan harga sisa atau residual yaitu :


Yij - Y ij = Yij - Y - ai – bj
Langkah 2 dan langkah 3 boleh ditukar urutan pengerjaannya. Sisa merupakan
suatu angkatan sehingga dapat diperiksa melalui diagram batang dan daun dan
ringkasan numeriknya.
Seperti dalam analisis regresi, dihitung :
d q sisa
d qY
; bila mendekati 0, model ini baik untuk digunakan.
Model yang digunakan untuk analisis elementer rata-rata dengan faktor
interaksi adalah :
Yij     i   j   ij   ij
i = 1 ... p ; j = 1 ... q
 ij = pengaruh interaksi variabel ke-i, variabel kolom ke-j
Mencari d sebagai penduga
.
Dibuat plot sisa ij = Yij - Y - ai – bj versus ai bj ; sisa pada sumbu tegak dan ai bj
pada sumbu mendatar. Bila tampak adanya suatu pola (biasanya ploa hubungan
linier) dicari d dalam persamaan sisa ij = d (ai bj) dengan cara eksplorasi.
Misal sisa ij
=z
ai bj = x
Pasangan ( X, Z ) diurutkan menurut harga X kemudian dibagi tiga menjadi
pertigaan bawah, tengah, dan atas.
Dalam hal ini bila syarat bahwa range pertigan atas dan bawah harus kurang dari
1
range keseluruhan tidak terpenuhi, tidak perlu dilakukan transformasi.
2
Cari ( XA, ZA ) , ( XT , ZT ) , ( XB , ZB )
Hitung d 
Z A  ZB
XA  XB
Selanjutnya sisa baru
= Yij  Y  ai  b j  d (ai b j )
= sisa lama - d ( ai b j )
Kemudian dihitung
d q sisabaru
d qY
Bila memang ada interaksi
d q sisabaru
d qY
lebih kecil dari
d q sisalama
d qY
Apabila dari plot sisaij versus ai bj tidak tampak adanya pola tertentu, tidak perlu
dilakukan analisis menggunakan interaksi.

Analisis elementer yang lain adalah berawal dari sisa Yij  Y
dari analisis
ij

elementer rata-rata tanpa interaksi. Dari sisa Yij  Y
dianalisis menggunakan
ij
median yang disebut analisis median licin.
Langkah-langkah dalam analisis median licin
Langkah 1 :
Hitung median sisa namakan Md, bila Md ≠ 0 hitung sisa – Md. Untuk mudahnya

sisa = Yij  Y diberi notasi Sij
ij
Variabel kolom
1
q
Pengaruh
baris
S1q-Md
a1
j  
Variabel Baris
1
S11-Md

S1j-Md
















i
Si1-Md
Siq-Md
ai















Spq-Md
ap
p
Sp1-Md
Pengaruh kolom
bi



Sij-Md
Spj-Md
bj



bq

Y +Md
Tabel 5
Pengaruh baris maupun pengaruh kolom tetap rata-rata keseluruhan baru
Y 1  Y  Md p
Langkah 2 :
Hitung median masing-masing kolom Tabel 5 berilah nama Md  j untuk j=1,2,...p
Kurangkan harga tersebut dari tiap-tiap kolom dalam tabel 5.
Variabel
kolom
1
j  
q
Pengaruh
baris
(S1q-Md)- Md q
a1
Variabel
Baris
1
(S11-Md)- Md 1

(S1j-Md)- Md  j















(Siq-Md)- Md q
ai

i
(Si1-Md)- Md 1

(Sij-Md)- Md  j
















(Spq-Md)- Md q
ap
p
Pengaruh
(Sp1-Md)- Md 1
bi + Md 1


(Spj-Md)- Md  j
bj + Md  j


bq + Md q

Y +Md
kolom
Tabel 6
Harga didalam kurung adalah harga dari tabel 5. Tabel 6 mempunyai median
masing-masing kolom nol.
Langkah 3 :
Hitung median masing-masing baris dari tabel 6, berilah nama Md i untuk i=1,2,...p
Kurangkan harga tersebut dari tiap-tiap baris dalam tabel 6.
Pengaruh baris baru = pengaruh baris lama + Md i
= ai + Md i
i=1,2,...p
Pengaruh kolom baru sama dengan dalam tabel 6 yaitu bj+ Md  j j=1,2,...,p
Harga dalam kurung adalah harga dari tabel 6.
Tabel 7 mempunyai masing-masing baris nol.
Variabel
kolom
1
j  
Pengaruh
baris
q
Variabel
Baris
1
(S11-Md- Md 1 )- Md1

(S1j-Md- Md  j )- Md1

(S1q-Md- Md q )- Md1
a1+ Md1















i
(Si1-Md- Md 1 )- Md i

(Sij-Md- Md  j )- Md i

(Siq-Md- Md q )- Md i
ai + Md i















(Spq-Md- Md q )- Md p 
ap+ Md p 
p
(Sp1-Md- Md 1 )- Md p 
Pengaruh
bi + Md 1


(Spj-Md- Md  j )- Md p 
bj + Md  j
kolom
Tabel 7


bq + Md q

Y +Md
Dalam tabel 7 periksalah apakah median kolom tetap sama dengan nol (boleh
melakukan pembulatan). Bila tidak langkah 2 dan langkah 3 di ulang sampai
didapat median baris nol dan median kolom nol. Apabila telah dipenuhi hal
tersebut hitunglah :
d q sisabaru
d qY
Contoh :
Var kolom
1
2
3
4
Yi
Y i
1
46,0
43,7
44,5
47,5
181,6
45,4
2
44,2
44,8
44,8
47,1
180,8
45,2
3
46,0
45,4
45,8
46,6
183,6
45,9
Y j
136,2
133,8
135
141,1
546
Yj
45,4
44,6
45
47,1
Var baris
Tabel 8
Analisis elementer rata-rata tanpa interaksi
Langkah 1 : menghitung Yij  Y
Var kolom
1
2
3
4
1
0,5
-1,8
-1,0
2,0
2
-1,3
-0,7
-0,7
1,6
3
0,5
-0,1
0,3
1,1
Var baris
Tabel 9
45,5
Langkah 2 : menghitung Yij  Y  b j
Var kolom
1
2
3
4
1
0,6
-0,9
-0,5
0,4
2
-1,2
-0,2
-0,2
0,0
3
0,6
0,8
0,8
-0,5
bj
-0,1
-0,9
-0,5
-1,6
Var baris
Tabel 10
Langkah 3 : menghitung Yij  Y  b j  ai
Var kolom
1
2
3
4
ai
1
0,7
-0,8
-0,4
0,5
-0,1
2
-0,9
0,5
0,1
0,3
-0,3
3
0,2
0,4
0,4
-0,9
0,4
bj
-0,1
-0,9
-0,5
-1,6
Var baris
Tabel 11
Sisa = Yij  Y = Yij  Y  b j  ai
Yang ditulis dalam tabel 11 mempunyai diagram batang dan dau beserta ringkasan
numerik berikut ini :
2
XA = 0,7
1
qA = 0,45
1
Md = 0,25
0
755
qb = -0,6
0
44321
XB = -0,9
-0
4
dq = 1,05
-0
899
-1
d q sisa
-1
d qY
-2
X = ai bj
X
Z
0,01
0,7
0,03
-0,9
-0,04
02
-0,09
-0,8
0,27
0,5
-0,36
0,4
0,05
-0,4
0,15
0,1
-0,20
0,4
-0,16
0,5
-0,48
0,3
0,64
-0,9

1,05
 0,64
1,65
Z = sisa
Plot Z versus X dapat dilihat dibawah ini :
Tampak tidak ada pola tertentu yang merupakan hubungan antara X dan Z. Oleh
sebab itu dibuat analisis elementer dengan interaksi
Kita lanjutkan contoh ini dengan membuat analisis elementer median licin, dengan
Md = 0,3
Langkah 1 : menghitung Sij - Md
Var kolom
1
2
3
4
ai
Var baris
1
0,4
-1,1 -0,7
0,2
-0,1
2
-1,2
0,2
-0,2
0,0
-0,3
3
-0,1
0,1
0,1
-1,2
0,4
bj
-0,1 -0,9 -0,5 -1,6
Tabel 12

Y +0,3 = 45,8
Langkah 2 : menghitung Sij-Md- Md  j
Var kolom
1
2
3
4
ai
Var baris
1
0,5
-1,2 -0,5
0,2
-0,1
2
-1,1
0,1
0,0
0,0
-0,3
3
0,0
0,0
0,3
-1,2
0,4
Md  j
-0,1
0,1
-0,2
0,0
-0,2 -0,8 -0,7 -1,6
bj + Md  j
45,8
Tabel 13
Langkah 3 : menghitung Sij –Md - Md  j - Md i
Var kolom
1
2
3
4
Md i
Md  j
Var baris
1
0,7
-1,0 -0,3
0,4
-0,2
-0,3
2
-1,1
0,1
-0,0
0,0
0,0
-0,3
3
-0,0
0,0
0,3
-1,2
0,0
0,4
-0,2 -0,8 -0,7 -1,6
Tabel 14
d q sisa
d qY
 0,52
Lebih kecil dari
d q sisa
d qY
dari analisis elementer rata-rata yang sama dengan 0,64

download

download

download

download

download

download

download

download

download