Pertemuan 20
Diferensial Fungsi Satu Variabel
(“Diferensial Biasa”)
Tujuan
Mahasiswa dapat menguraikan tentang diferensial
sederhana beserta kaidahnya shg mampu
menggunakannya dalam menyelesai kan masalah
ekonomi dan bisnis.
Pengertian Diferensial
Diferensial membahas tentang tingkat
perubahan suatu fungsi sehubungan
perubahan kecil dalam variabel bebas
fungsi yang bersangkutan. Derivasi
adalah hasil yang diperoleh dari proses
diferensiasi.
Kaidah Diferensial
• Diff konstanta, y = k  y’=0
• Diff fungsi pangkat, y = x^n  y’=nx^n-1
• Diff fungsi perkalian konstanta dgn fungsi
– y = k v  y’ = k v’
• Diff fungsi pembagian konstanta dgn fungsi
– y = k/ v  y’ = ( -k v’)/ v²
Diff fungsi penjumlahan
– y = u + v  y’ = u’ + v’
• Diff perkalian fungsi y= u v  y’=uv’+vu’
Kaidah Diferensial(2)
• Diff pembagian fungsi y = u/v
– y’ = (v u’ + u v’) / v²
• Diff fungsi berpangkat y = u^n, u=f(x)
– u’ = n u^n-1. u’
• Diff fungsi logaritmik y = ªlog x
– y’ = 1/ (x ln a)
• Diff fungsi komposit logaritmik
– y = ªlog u  y’ = (ªlog e)/u. u’
Kaidah Diferensial(3)
• Diff fungsi kompleks y = u^v ; u,v=f(x)
– y’ = v.u^v-1. u’ + u^v . lnu. v’
• Diff fungsi balikan
– y = f(x) dan x = g(y) 
dy/dx =
1/(dx/dy)
A. Hakekat Derivatif & Diferensial
Kasus 1 :
Y = C + S, bila pendapatan nasional
naikmaka konsumsi dan tabungan
akan naik, sehingga :
DY = (1)C + (1)S  diferensial
Karena C + S = dY  dY/dY = C/dy +
S/dY  derivasi
C/dY = MPC,S/dY = MPS, terbukti
bahwa MPC + MPS = 1
Kasus 2 :
C = f(Y)
C= Co + cY, bila pendapatan nasional
naik maka konsumsi akan naik,
sehingga : C + C = Co + c(Y + Y) 
diferensial
 C = Co + cY + cY – C
 C = cY  C/Y = c  derivasi
c  MPC
untuk
kasus
diferensiasi
ini
dijelaskan bahwa bila perubahan Y
sangat kecil sekali hingga batasnya
(limit) mendekati 0, maka C/Y =
MPC, berbeda halnya bila Y = 5
atau 6, jadi bila y = f(x), untuk x
mendekati 0, maka berlaku : y +
f(x) = f(x + x)
y = f(x + x) – f(x)
Ingatlah :
Bila x mendekati 0, maka :
dy/dx = y/x
deferensiasi x = dx = x,
diferensiasi y = dy = y
jadi bisa ditulis
diferensial y = dy = dy/dx (x)
Kasus :Bila diketahui x = 0.0001
untuk kedudukan x = 2, tentukan
apakah dy = y dari fungsi y = 3x2 –
4x + 5
Jawab : y = 3x2 – 4x + 5
dy/dx = 6x – 4  x = 2 maka
dy/dx = 6 (2) – 4 = 8
Ingat: dy = dy/dx (x) 
dy = 8 (0.0001) = 0.0008
y = f(x) = 3x2 – 4x + 5  x = 2 
f(x) = 12 – 8 + 5 = 9
y = f (x + x) – f (x)
y = 3 (x + x)2 – 4(x + x) + 5 – f (x)
y = 3 (2 + 0.0001)2 –4 (2 + 0.0001) + 5
–9
y = 3 (2 + 0.0001)2 –4 (2 + 0.0001) + 5
–9
y = 12.0012 – 8.0004 + 5 – 9 = 0.0008
y = 0.0008 padahal dy = 0.0008
jadi bisa dibuktikan bahwa bila x mendekati
0, maka y = dy dengan demikian dalam
pengertian selanjutnya : dy adalah
merupakan taksiran dari y.
Gambar 1. “Under estimated”
dy   y
y  dy
ditaksir
Penaksir
Gambar 2. “Over estimated”
Δy  dy
Δy  dy
 y  dy
Penaksir
ditaksir
Contoh
z = 2xy + 10y2 – 12x + 2000,
Diferensial x dan y (total) adalah :
Dz = 2yx + 2xy + 20yy - 12x
Derivasi terhadap x,  z/x = 2y – 12
Derivasi terhadap y,  z/y = 2x + 20y

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download