download

Matakuliah
Tahun
: K0094 / Analisis Real
: Tahun 2008
Perteman 15
KONVERGENSI PER TITIK DAN
KONVERGENSI UNIFORM DARI
BARISAN FUNGSI - FUNGSI
Sasaran
Pengkajian tentang Konvergensi Pertitik
dan Konvergensi Uniform dari Barisan
Fungsi-fungsi.
Pokok Bahasan
Konvergensi Pertitik dan Konvergensi
Uniform dari Barisan Fungsi-fungsi.
Definisi
Diberikan fungsi f:DR dan barisan dari fungsi – fungsi {fn:DR}.
Barisan { fn : D  R } dikatakan konvergen pertitik ke f:DR bila untuk setiap x
dalam D,
Lim f n ( x)  f ( x) 
n
Contoh
Untuk setiap bilangan alam n, ambil
fn(x) = xn untuk 0x1.
Karena {fn(1)} adalah barisan konstan, yang harga konstannya
f n (1)  1 . Sedangkan
adalah 1, Lim
n 
Lim x n  0 bila 0x<1.
n 
Gambar
Y
(1 ,1 )
Y = X2
Y = X
Y = X3
0
x
X
Gambar (Lanjutan)
Jadi barisan dari fungsi – fungsi {fn:[0,1]R} konvergen pertitik
ke fungsi f:[0,1]Ryang didefinisikan dengan
1 bila x  1
f ( x)  
0 bila 0  x  1.
Contoh
Untuk setiap bilangan alam n, definisikan
xk
f n ( x)  
k  0 k!
n
untuk 0  x  1.
Karena
k
x
ex  
k  0 k!
n
Contoh (Lanjutan)
untuk semua x,
barisan dari fungsi – fungsi {fn:[0,1]R} konvergen pertitik ke
fungsi f:[0,1]R dimana f(x)=ex untuk 0  x  1. Dalam notasi
deret tak berhingga, ini berarti
xk
e 
k 0 k!
n
x
untuk 0  x  1.
Definisi
Diberikan fungsi f:DR dan barisan dari fungsi –
fungsi {fn:DR}. Barisan {fn:DR} dikatakan
konvergen uniform ke f:DR bila untuk setiap
bilangan positif  terdapat bilangan alam N
sedemikian sehingga
|f(x) – fn(x)| <  untuk semua nN dan semua titik x
dalam D.
Gambar
Y
Y= f (x)
Y= f (x)+ 
Y= f n (x)
Y= f (x)- 
0
a
b
X
Contoh
Ambil barisan {fn:[0,1]R} dan fungsi f:[0,1]R pada
Contoh di atas Konvergensinya tidak uniform. Untuk  
1
, tidak
2
ada bilangan alam N dengan sifat
|fn(x) – f(x)| <½ untuk semua nN dan semua titik – titik dalam
[0,1], karena dengan mengambil
f N 1 ( x)  f ( x) 
3 1.

4 2
3
x 
4
1
N 1
diperoleh
Contoh
Ambil barisan {fn:[0,1]R} dan fungsi
f:[0,1]R pada Contoh di atas dapat
diperlihatkan bahwa {fn:[0,1]R} konvergen
uniform ke f:[0,1]R.
Definisi
Barisan dari fungsi – fungsi {fn:DR} dikatakan
Cauchy uniform bila untuk setiap bilangan positif 
terdapat bilangan alam N sedemikian sehingga
|fn+k(x) – fn(x)| < 
untuk setiap bilangan alam nN, setiap bilangan
alam k, dan setiap titik x dalam D.
Teorema
(Kriteria Konvergensi Uniform
Weierstrass)
Barisan dari fungsi – fungsi {fn:DR}
konvergen uniform ke fungsi f:DR
bila dan hanya bila barisan {fn:DR}
adalah Cauchy uniform.
Contoh
xk
Ambil barisan {fn:[-1,1]R} dengan f n ( x)   k 2k . Dapat
k 1
n
diperlihatkan bahwa barisan tersebut Cauchy uniform. Menurut
Teorema di atas, terdapat fungsi f:[-1,1]Rdi mana barisan
{fn:[-1,1]R} konvergen uniform ke f.

Download Report