download

Matakuliah : K0094 – Analisis Real
Tahun
: 2008/2009
Kontinuitas dan Teorema Harga Ekstrim
Pertemuan 04
Sasaran
Pengkajian mengenai Kontinuitas dan Teorema Harga
Ekstrim. Juga dikaji cotoh-contoh dan latihan soalsoal yang berbobot dan menarik.
Bina Nusantara
Pokok Bahasan
KONTINUITAS DAN
TEOREMA HARGA EKSTRIM
Bina Nusantara
Definisi
Suatu fungsi f: D  R dengan D  R disebut kontinu
pada titik x0 dalam D bila untuk setiap barisan {xn}
dalam D yang konvergen ke x0, barisan {f(xn)}
konvergen ke f(x0). Fungsi f: D  R disebut kontinu
bila f kontinu di setiap titik dalam D.
Bina Nusantara
Gambar
y
y=f(x)
f(x n)
f(x 0)
0
Bina Nusantara
x
x0 xn
Contoh
Ambil fungsi f: R  R dengan f(x)= x2 - 2x + 4. Ambil
sebarang titik x0 dalam R. Misalkan {xn} adalah
barisan yang konvergen ke x0. Menggunakan sifatsifat dari barisan yang konvergen,


Lim
Lim
2
2
f x n  
x n  2  x n  4  x 0  2  x 0  4  f x 0 
n
n
Jadi f kontinu di x0.
Bina Nusantara
Definisi
Diberikan dua fungsi f: D  R dan g:D  R. Yang
dimaksud dengan jumlah f+g, selisih f-g, dan hasil
kali f.g adalah fungsi – fungsi dari D ke R di mana
(f+g)(x) = f(x) + g(x), (f-g)(x) = f(x) – g(x), (f.g)(x) =
f(x).g(x) untuk setiap x dalam D. Bila g(x)  0 untuk
setiap x dalam D, yang dimaksud dengan hasil bagi
f/g adalah fungsi dari D ke R di mana
(f/g)(x) = f(x) / g(x)
untuk setiap x dalam D.
Bina Nusantara
Teorema
Diberikan fungsi–fungsi f: D  R dan g: D  R yang kontinu
di x0 dalam D. Maka, jumlah
f+g : D  R kontinu di x0,
Selisih
f-g : D  R kontinu di x0,
Hasil kali
f.g : D  R kontinu di x0.
Bila g(x)  0 untuk setiap x dalam D, maka hasil bagi
f/g : D  R kontinu di x0.
Bina Nusantara
Definisi
Untuk setiap bilangan cacah k dan bilangan–bilangan
c0, c1,… , ck, fungsi p: R  R di mana
k
untuk
semua
x
dalam
R
p ( x )   ci x i
i0
disebut polinom. Bila ck  0, p: R  R dikatakan
punya derajat k.
Bina Nusantara
Akibat
Misalkan p: R  R adalah polinom. Maka p kontinu.
Bila q: R  R juga polinomial dan himpunan D={ x
dalam R: q(x)  0}, maka hasil bagi p/q: D  R juga
kontinu.
Bina Nusantara
Definisi
Untuk fungsi-fungsi f: D  R dan g: U  R
sedemikian sehingga f(D)  U, maka yang dimaksud
dengan fungsi komposisi dari f dan g, ditulis
g o f : D  R,
didefinisikan dengan (gof)(x)=g(f(x)) untuk semua
dalam D.
Bina Nusantara
Teorema
Untuk fungsi-fungsi f: D  R dan g: U  R
sedemikian sehingga f(D)  U, misalkan f kontinu di
x0 dalam D dan g kontinu di f(x0). Maka fungsi
komposisi gof kontinu di x0.
Bina Nusantara
Contoh
Diberikan fungsi h( x)  1  x 2 dari [-1,1] ke R. Karena
polinom-polinom dan fungsi akar adalah kontinu dan berdasar
pada teorema di atas maka fungsi h juga kontinu.
Bina Nusantara
Teorema
(Teorema Harga Ekstrim)
Misalkan fungsi f:[a,b]  R adalah kontinu. Maka
terdapat x1 dan x2 dalam [a,b] sedemikian sehingga
f(x1)  f(x)  f(x2) untuk semua x dalam [a,b].
Bina Nusantara
Gambar
y
y=f(x)
0
Bina Nusantara
a
x1
x2
b
x
Lemma
Misalkan f:[a,b]  R kontinu. Maka terdapat bilangan
positif M sedemikian sehingga
f(x)  M untuk semua x dalam [a,b].
Bina Nusantara
Definisi
Himpunan K dari bilangan–bilangan real disebut
kompak bila setiap barisan dalam K punya barisan
bagian yang konvergen ke suatu titik dalam K.
Bina Nusantara
Teorema
Misalkan K adalah kompak dan tidak kosong dan
fungsi f: K  R adalah kontinu. Maka f mencapai
maksimum dan minimumnya dalam K, yaitu terdapat
x1 dan x2 dalam K sedemikian sehingga
f(x1)f(x)f(x2) untuk semua x dalam K.
Bina Nusantara

Download Report