Matakuliah : K0094 – Analisis Real
Tahun
: 2008/2009
Barisan dari Bilangan-Bilangan Real
Pertemuan 02
Sasaran
Pengkajian yang lebih mendalam tentang barisan dari
bilangan–bilangan real.
Pokok Bahasan
Barisan dari bilangan–bilangan real.
Konvergensi dari barisan.
Bina Nusantara
Definisi-definisi
• Barisan dari bilangan–bilangan real adalah fungsi bernilai real
yang domainnya adalah himpunan dari semua bilangan alam.
• Barisan {an} disebut konvergen ke bilangan a bila untuk setiap
bilangan positif  terdapat bilangan alam N sedemikian sehingga
| an – a | < untuk semua n  N.
Bila barisan {an} konvergen ke bilangan a , bilangan a disebut
limit dari barisan {an}, dan ditulis
lim an  a
n 
Bina Nusantara
Proposisi-proposisi
• Barisan {1/n} konvergen ke 0 , yaitu
1
lim  0
n  n
• Limit dari barisan yang konvergen adalah tunggal.
Bina Nusantara
Contoh
Barisan { ( -1 )n } tidak konvergen.
Bina Nusantara
Proposisi
• Untuk setiap bilangan c dengan |c|<1, barisan { c n
} konvergen ke 0, yaitu :
Lim c
n 
Bina Nusantara
n
0
Definisi
Barisan {an} disebut terbatas bila terdapat bilangan
positif M sedemikian sehingga
|an|  M untuk setiap bilangan alam n.
Bina Nusantara
Lemma-lemma
• Setiap barisan yang konvergen adalah terbatas.
• Misalkan barisan {bn} konvergen ke bilangan b0.
Maka terdapat bilangan alam N sedemikian
sehingga
|bn| >
Bina Nusantara
b
2
untuk semua n  N .
Teorema
(Jumlah, Selisih, Hasil Kali, dan Hasil Bagi dari Barisan–Barisan)
Misalkan barisan { an } konvergen ke bilangan a, dan barisan {bn}
konvergen ke bilangan b. Maka :
Lim ( an  bn )  a  b ;
i. Barisan {an + bn} konvergen dan
n 
ii. Barisan {an - bn} konvergen dan
iii. Barisan { an bn } konvergen dan
Lim ( an  bn )  a  b
n 
;
Lim ( an bn )  ab ;
n 
iv. Bila bn0 untuk setiap n dan b0, maka barisan {an / bn} konvergen dan
Lim ( an bn )  a b
n 
Bina Nusantara
Lemma
• Misalkan barisan {dn} konvergen ke bilangan d dan
dn  0 untuk semua bilangan alam n. Maka d  0.
Bina Nusantara
Teorema-teorema
• Misalkan barisan {an} konvergen ke bilangan a, barisan
{bn} konvergen ke bilangan b dan barisan {cn}
konvergen ke bilangan c. Bila an  cn  bn untuk setiap
n , maka a  c  b.
• (Prinsip Tekan Kiri – Kanan)
Misalkan {an}, {bn}, dan {cn} adalah barisan – barisan
dengan an  cn  bn untuk setiap n.
• Bila {an} dan {bn} konvergen ke limit yang sama l, maka
{cn} juga konvergen ke l.
Bina Nusantara

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download