Matakuliah : K0094 – Analisis Real
Tahun
: 2008/2009
Teorema Nilai Menengah Lagrange dan
Cauchy
Pertemuan 11
Sasaran
Pengkajian mengenai Teorema Nilai Menengah
Lagrange. Juga dikaji contoh-contoh dan latihan
soal-soal yang berbobot dan menarik.
Bina Nusantara
Lemma
Misalkan I suatu interval terbuka yang memuat titik
x0 dan fungsi f: I  R diferensiabel di x0. Bila di x0
terjadi maksimum atau minimum dari fungsi f, maka
f (x0 )=0.
Bina Nusantara
Gambar
y
f(x0)=0
y = f(x)
f(x0)=0
0
Bina Nusantara
x0
x0
x
Teorema
(Teorema Rolle)
Misalkan fungsi f: [a,b]  R kontinu dan f: (a,b)  R
diferensiabel dan f(a)=f(b)=0. Maka terdapat titik x0
dalam interval terbuka (a,b) di mana f (x0)=0.
Bina Nusantara
Gambar
y
f(x0)=0
y = f(x)
0
Bina Nusantara
a
x0
b
x
Teorema
(Teorema Nilai Menengah
Lagrange)
Misalkan fungsi f: [a,b]  R kontinu dan fungsi f: (a,b)  R diferensiabel. Maka
terdapat titik x0 dalam interval terbuka (a,b) dimana
f ' ( x0 ) 
Bina Nusantara
f (b)  f (a)
ba
Gambar
y
(x0,f(x0))
f(b) – f(a)
y = f(x)
b–a
0
a
x0
b
f (b )  f ( a )
 f ' ( x0 )
ba
Bina Nusantara
x
Lemma
Misalkan I suatu interval terbuka dan fungsi f: I  R
diferensiabel. Maka f adalah konstan bila dan
hanya bila f (x)=0 untuk semua x dalam I.
Bina Nusantara
Proposisi
(Kriteria Identitas)
Misalkan I suatu interval terbuka dan fungsi – fungsi g: I  R
dan h: I  R adalah diferensiabel. Maka fungsi – fungsi g dan
h selisihnya hanyalah konstan bila dan hanya bila
g(x) dan h(x) untuk semua x dalam I.
Khususnya, g  h bila dan hanya bila g(x) dan h(x) untuk
semua x dalam I dan g(x0) = h(x0) untuk suatu titik dalam I.
Bina Nusantara
Akibat
Misalkan I suatu interval terbuka dan fungsi f: I  R
diferensiabel. Bila f(x) > 0 untuk semua x dalam I,
maka fungsi x naik tajam dalam I.
Bina Nusantara
Definsi
Titik x0 dalam domain D dari fungsi f: D  R disebut penghasil
maksimum lokal dari f bila terdapat  > 0 sedemikian sehingga
f(x)  f(x0) untuk semua x dalam D dimana |x - x0| < , dan
disebut penghasil minimum lokal dari f bila terdapat  > 0
sedemikian sehingga f(x)  f(x0) untuk semua x dalam D di
mana |x - x0| < .
Misalkan I suatu open Interval dan fungsi f: I  R
diferensiabel. Maka fungsi f: I  R dikatakan punya derivatif
tingkat satu, ditulis f atau f(1) . Bila fungsi f : I  R
diferensiabel, maka dikatakan f punya derivatif tingkat dua,
ditulis f atau f(2) dan seterusnya.
Bina Nusantara
Teorema
Misalkan I suatu interval terbuka yang memuat titik
x0 dan fungsi f: I  R punya derivatif tingkat dua.
Misalkan f(x0) = 0. Bila f (x0) > 0 maka x0 adalah
penghasil minimum lokal dari f. Bila f (x0) < 0
maka x0 adalah penghasil maksimum lokal dari f.
Bina Nusantara
Contoh
Diberikan f: R  R, di mana
 x  x 2 bila x adalah ter ukur,
f ( x)  
 x  x 2 bila x adalah tid ak terukur .
Maka
f ( x )  f ( 0)
 1 | x | bila x0,
x0
Sehingga
f ' (0)  Lim
x0
Bina Nusantara
f ( x )  f ( 0)
 1.
x0
Teorema
(Teorema Nilai Menengah Cauchy)
Misalkan fungsi – fungsi f: [a,b]  R dan g: [a,b]  R kontinu, dan f: (a,b)  R
dan g: (a,b)  R diferensiabel. Misalkan juga g(x)0 untuk semua x dalam
(a,b).
Maka terdapat titik x0 dalam interval terbuka (a, b) di mana
f (b)  f (a) f ' ( x0 )
 '
.
g (b)  g (a) g ( x0 )
Bina Nusantara
Teorema (Aturan L’Hopital)
Misalkan x0 adalah titik ujung dari interval terbukan I. Misalkan fungsi –
fungsi f: I  R dan g: I  R differensiabel dan
Limf (x)  0  Limg(x).
xx0
xx0
Bila g(x)0 untuk semua x dalam I dan
f ' ( x)
Lim '
 l,
x  x0 g ( x)
maka
Lim
x  x0
Bina Nusantara
f ( x)
 l.
g ( x)
Contoh
Lim
x  0, x  0
Bina Nusantara
x  1 x 1
xx
3
2
3
 .
2
Teorema
Misalkan I suatu interval terbuka dan n bilangan cacah, dan misalkan fungsi f: I
 R punya derivatif tingkat ke n. Misalkan juga di titik x 0 dalam I, f(k)(x0) = 0
untuk 0  k  n – 1. Maka untuk setiap titik x x0 dalam I, terdapat titik z, x < z
< x0 di mana
f (n) ( z)
f ( x) 
( x  x0 ) n
n!
Bina Nusantara

download

download soal

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download