download

Course Content Template
Matematika Diskrit
Type:ACADEMIC COURSE
Code: K0144
Product Development Center, Bina Nusantara
DC-PDC-4
Ver. 1.0 27/01/01 10:01
Table of Content
Table of Content ............................................................................................................................................................. 1
Course Content ............................................................................................................................................................... 2
Aljabar Proposisi....................................................................................................................................................... 2
2.1. Hukum-hukum Aljabar Proposisi ................................................................................................................... 2
2.2. Pernyataan Bersyarat ....................................................................................................................................... 5
2.3. Argumentasi..................................................................................................................................................... 9
2.4. Kuantor Pernyataan ....................................................................................................................................... 11
Activity ........................................................................................................................................................................... 13
Quiz/Exam/Self-Assess ........................................................................................................................................ 13
Assignments .......................................................................................................................................................... 13
Course Content
1
Part
Aljabar Proposisi.
SASARAN : Setelah mempelajari modul ini anda diharapkan dapat memahami dan menerapkan
hokum-hukum aljabar proposisi, teori pernyataan bersyarat, uji validitas argumen dan teori pernyataan
berkuantor.
POKOK BAHASAN : Untuk mencapai sasaran tersebut pokok bahasan dari modul ini adalah
membahas tentang aljabar proposisi yaitu lebih khusus mengenai hokum-hukum aljabar proposisi,
pernyataan bersyarat, argumen dan kuantor.
2.1. Hukum-hukum Aljabar Proposisi
Suatu bentuk logical equivalence dari proposisi-proposisi yang merupakan hokum-hukum yang dapat
dipakai untuk penyederhanaan suatu bentuk proposisi disebut hukum-hukum aljabar proposisi.
HUKUM-HUKUM ALJABAR PROPOSISI yang sering kita jumpai adalah sebagai berikut:
1) Idempoten
p p  p
p p  p
2) Asosiatif
 p  q   r  p  q  r 
 p  q   r  p  q  r 
3)
Komutatif
pq  q p
pq  q p
4) Distributif
p  q  r    p  q    p  r 
p  q  r    p  q    p  r 
5) Identitas
p f  p
pt  t
p f  f
pt  p
t  true dan f  false
6) Komplemen
p ~ p  t
p ~ p  f
~ t  f
~ f  t
7) Involution
~~ p p
8) De Morgan’s
~  p  q   ~ p ~ q
~  p  q   ~ p ~ q
9) Absorbsi
p  ( p  q)  p
p  ( p  q)  p
CATATAN : Untuk menunjukkan/membuktikan bahwa hokum-hukum 1 sampai 9 di atas benar
silahkan buat table kebenaran dan nyatakan apakah proposisi-proposisi pada hokum-hukum tersebut
logical equivalence. Proposisi t = true merupakan suatu pernyataan yang selalu bernilai benar dan
proposisi f = false merupakan suatu pernyataan yang selalu bernilai salah.
PEMBUKTIAN HK DE’MORGAN dengan table kebenaran sebagai berikut:
~  p  q  ~ p ~ q
p
q
~p
~q
p^q
~(p^q)
~pv~q
+
+
-
-
+
-
-
+
-
-
+
-
+
+
-
+
+
-
-
+
+
-
-
+
+
-
+
+
Pernyataan benar = +, Pernyataan salah = -
Sama
PEMBUKTIAN hokum-hukum yang lain silahkan lakukan sebagai sarana menguji pemahaman.
CONTOH :
1) Jika pernyataan p = Rizal pandai, ~p = Rizal bodoh dan q = Rizal kaya ~q = Rizal
miskin maka proposisi berikut adalah equvalence.
a. Tidak benar Rizal pandai dan kaya = Rizal bodoh atau miskin.
b. Tidak benar Rizal bodoh atau kaya = Rizal pandai tetapi miskin.
2) Jika lawan (negasi) dari lebih dari adalah kurang dari atau sama dengan dan negasi
dari kurang dari adalah lebih dari atau sama dengan maka pernyataan-pernyataan berikut
equivalence.
a. Tidak benar 12 kurang dari 7 = 12 lebih dari atau sama dengan tujuh
b. 13 lebih dari 25 dan kurang dari atau sama dengan 9 = Tidak benar 13 kurang dari
atau sama dengan 25 atau lebih dari 9.
PENJELASAN CONTOH :
1) Pada contoh a proposisi dapat ditulis dalam bentuk: Tidak benar Rizal pandai dan
kaya = ~(pq) = ~p~q = Rizal bodoh atau miskin, ini merupakan aplikasi dari hukum
de’Morgan jadi keduanya equvalence. Pada contoh b dapat ditulis dalam bentuk
Tidak benar Rizal bodoh atau kaya = ~(~pq), maka dengan hukum de’Morgan dan
Involisi kita dapatkan ~(~pq) = ~~p~q = p~q = Rizal pandai tetapi miskin.
2) Pada contoh a bila p = 12 < 7 maka ~p = 12  7, sehingga kalimat Tidak benar 12
kurang dari 7 = ~p = 12  7 = 12 lebih dari atau sama dengan tujuh. Pada contoh b,
bila r = 13 > 25 dan q = 13  9, maka ~r = 13  25 dan q = 13 > 9. Sehingga kalimat
13 lebih dari 25 dan kurang dari atau sama dengan 9 = r  q =~(~r~q) = tidak benar
13  25 atau 13 > 9 = Tidak benar 13 kurang dari atau sama dengan 25 atau lebih
dari 9.
CONTOH : Bentuk permasalahan lain dari aljabar proposisi adalah menyederhanakan suatu
pernyataan majemuk sehingga ekivalen dengan suatu bentuk pernyataan majemuk yang sederhana.
1) Sederhanakan aljabar proposisi [p~(p~q)]q.
2) Buktikan bahwa ~(~pq)(pr) = p(~qr)
PENJELASAN CONTOH :
1) Dengan memakai hukum-hukum aljabar maka bentuk sederhana dari [p~(p~q)]q
adalah
 p  ~  p ~ q  q
jawab :  p  ~  p  ~ q   q   p  ~ p  ~~ q   q  de Morgan' s
  p  ~ p  q   q  involution
  p  ~ p   q   q  asosiatif
  f  q   q  komplemen
 f  q  identitas
 q  identitas
2) Pembuktian equivalensi dari contoh dua dapat dipakai table kebenaran atau dengan
hokum-hukum aljabar proposisi sebagai berikut:
~(~pq)(pr)
= (p~q)(pr), hk De’Morgan dan involusi
= [(p~q)p][(p~q)r], hk distributive
= p(~qp)(pr)(~qr), hk distributive
= p(~qr), hk absorbsi.
2.2. Pernyataan Bersyarat
BENTUK PROPOSISI yang lainselain konjungsi, disjungsi dan negasi adalah pernyataan bersyarat
(conditional statement). Pernyataan bersyarat sering di sebut implikasi dengan bentuk kalimat yang
standard yaitu Jika p maka q, dengan notasi p  q, dan p, q adalah suatu proposisi atau pernyataan.
Nilai kebenaran suatu implikasi dinyatakan dalam table berikut:
p
q
p
q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
CONTOH IMPLIKASI :
1) Jika 2 bilangan genap maka 3 bilangan ganjil.
2) Jika 3 faktor dari 8 maka 5 kuadrat sama dengan 25.
3) Jika x2 - 2x + 1 = 0 mempunyai tepat satu solusi maka 3 bilangan prima.
PENJELASAN CONTOH :
1) Misalkan pernyataan p = 2 bilangan genap dan q = 3 bilangan ganjil, maka contoh 1
merupakan bentuk implikasi jika p maka q. Karena p bernilai benar dan q bernilai
benar maka implikasi bernilai benar (sesuai table implikasi baris empat).
2) Misalkan pernyataan p = 3 faktor dari 8 dan q = 5 kuadarat sama dengan 25, maka
contoh 2 merupakan bentuk implikasi jika p maka q. Karena p bernilai salah dan q
bernilai benar maka implikasi bernilai benar (sesuai table implikasi baris dua).
3) Misalkan pernyataan p = x2 - 2x + 1 = 0 mempunyai tepat satu solusi dan q = 3
bilangan prima, maka contoh 3 merupakan bentuk implikasi jika p maka q. Karena p
bernilai benar dan q bernilai salah maka implikasi bernilai salah (sesuai table implikasi
baris 3).
SYARAT CUKUP DAN SYARAT PERLU:
Misalkan suatu proposisi berbentuk implikasi p  q, maka pernyataan p disebut syarat cukup untuk q
dan pernyataan q disebut syarat perlu untuk p. Sebab jika implikasi bernilai benar dan p benar maka q
pasti benar (ini menunjukkan p syarat cukup untuk q), dilain pihak bila implikasi benar q salah maka p
pasti salah (ini menunjukkan q syarat perlu untuk p).
BENTUK-BENTUK IMPLIKASI: Suatu bentuk implikasi dari dua pernyataan jika p maka q yang ditulis
dengan notasi p  q mempunyai bentuk-bentuk lain yang disebut konvers, invers dan kontra positif.
Bentuk-bentuk tersebut adalah:
1) Implikasi
:p
q
2) Konvers
:q
q
3) Kontrapositif
: ~q
 ~p
Dengan skema dapat digambarkan sebagai berikut:
Konvers
p q
Ko
ntr
a
Invers
~ p ~ q
q p
f
siti
Po
Po
siti
f
a
ntr
Ko
Konvers
Invers
~ q ~ p
CONTOH :
1) Implikasi
: Jika rajin maka lulus
: jika lulus maka rajin
: jika tidak rajin maka tidak lulus
: jika tidak lulus maka tidak rajin
konversnya
inversnya
kontrapositifnya
2) Implikasi
: Jika dapat melihat maka mempunyai mata
: jika mempunyai mata maka dapat melihat.
: jika tidak dapat melihat maka tidak mempunyai mata.
: jika tidak mempunyai mata maka tidak dapat melihat.
konversnya
inversnya
Kontrapositifnya
KONTRAPOSITIF dari suatu implikasi dan IMPLIKASI keduanya logial equivalence. Ini merupakan
suatu sifat yang banyak berguna untuk beberapa aplikasi dari logika pernyataan bersyarat. Kebenaran
logical equivalence dapat ditunjukkan dengan table berikut:
p
q
~p
~q
pq
~q~p
+
+
-
-
+
+
+
-
-
+
-
-
-
+
+
-
+
+
-
-
+
+
+
+
sama
CATATAN : Teori tersebut sangat penting untuk membuktikan kebenaran suatu sifat / dalil, jika
dibuktikan langsung sulit maka dapat dibuktikan dengan kontrapositifnya (bukti tak langsung).
Contoh :
jika hasil kali 2 bilangan adalah ganjil, maka kedua bilangan tersebut adalah ganjil. Buktikan !
Bukti :
Untuk membuktikan secara langsung adalah sulit, maka dibuktikan secara tak langsung
(kontrapositifnya).
Demikian :
yang harus dibuktikan
xy ganjil  x ganjil dan y ganjil
kontrapositifnya : x genap atau y genap  xy genap
misal x genap maka x = 2n (n bilangan asli sembarang)
maka xy = 2ny
= 2(ny)  ini adalah genap benar, / karena kelipatan 2
 Karena kontrapositifnya benar,maka implikasinya juga benar  terbukti
BIIMPLIKASI atau implikasi dua arah dari dua buah pernyataan p dan q adalah jika p maka q dan jika q
maka p atau p jika dan hanya jika q, yang ditulis dengan notasi p  q. Tabel kebenaran dari
biimplikasi adalah sebagai berikut:
p
q
pq
pq
qp
(p  q)  (q  p)
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
+
-
-
+
-
+
-
-
-
-
+
+
+
+
sama
Dari table terlihat bahwa proposisi p
 q logical ekivalen dengan p  q dan q  p.
 q:
CONTOH BIIMPLIKASI p
1) Dua garis sejajar jika dan hanya jika berada di satu bidang dan tidak berpotongan.
2) Suatu barisan bilangan mempunyai limit jika dan hanya jika barisan konvergen.
3) Suatu segitiga sama sisi jika dan hanya jika memiliki tiga sisi yang sama panjang.
PENJELASAN CONTOH:
Ketiga contoh tersebut adalah teorema-teorema yang ada di matematika yang telah dibuktikan
kebenarannya. Karena ketiga contoh biimplikasi benar maka bila pernyataan p benar maka q benar,
bila pernyataan p salah maka q juga salah.
NEGASI PERNYATAAN BERSYARAT ~(p  q) : Suatu pernyataan bersyarat (implikasi) berbentu
jika p maka q memiliki nilai kebenaran yang sama dengan bukan p atau q, sehingga ini menunjukkan
bahwa p  q = ~pq.
p
q
0
0
0
q
~p
~pq
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
p
sama
Jadi ~(p
 q) = ~(~pq)
= ~~p  ~q, hk De’Morgan
= p  ~q, Hk involusi
CONTOH :
1) Tentukan negasi dari Jika hari ini hujan maka saya akan belajar di rumah.
2) Tentukan negasi dari jika saya sehat dan hari tidak hujan maka saya pergi kuliah atau
main bola.
3) Tentukan negasi dari Bilangan bulat a genap jika dan hanya jika a habis dibagi dua.
PENJELASAN CONTOH :

 q) = p 
1) Kalimat Jika hari ini hujan maka saya akan belajar di rumah merupakan bentuk p
q, dengan p = hari ini hujan dan q = saya akan belajar dirumah. Jadi ~(p
~q = Hari ini hujan dan saya tidak belajar di rumah.
2) Kalimat contoh 2, jika saya sehat dan hari tidak hujan maka saya pergi kuliah atau
main bola merupakan bentuk implikasi p  q, dengan p = saya sehat dan hari tidak
hujan , q = saya pergi kuliah atau main bola. Jadi ~(p  q) = p  ~q = saya sehat
dan hari tidak hujan tetapi saya tidak kuliah dan tidak main bola.
3) Kalimat Bilangan bulat a genap jika dan hanya jika a habis dibagi dua merupakan
kalimat biimplikasi p
dua.
Karena p
 q, dengan p = Bilangan bulat a genap, q = a habis dibagi
 q = (p  q)  (q  p) maka
~(p
 q)
= ~[(p
 q)  (q  p)]
= ~[(p  ~q)  (q  ~p)]
= ~(p  ~q)  ~(q  ~p)
= (~p  q)  (~q  p)
= ~p  q  ~q  p
Jadi ~(p  q) = Bilangan bulat a ganjil atau bilangan bulat a genap atau a habis dibagi dua atau a
tidak habis dibagi dua.
2.3. Argumentasi.
ARGUMENTASI : Argumentasi merupakan cara/alasan dalam pengambilan keputusan. Suatu
argumentasi bias benar (valid) atau tidak benar (tidak valid). Teori logika pernyataan memberikan
suatu metode bagaimana menentukan suatu argumen valid atau tidak valid. Argumen terdiri dari
pernyataan-pernyataan yang merupakan premis (dasar pendapat) dan pernyataan yang merupakan
konklusi (kesimpulan).
NOTASI ARGUMEN : untuk memudahkan memahami logika dari validitas argumentasi dituliskan
dengan notasi berikut:
Notasi :
P(p,q,...), Q(p,q,...), .....
Z(p,q,...)
atau :
P(p,q,...)

Q(p,q,...)
 .....
Z(p,q,...)
ditulis kebawah :
P(p,q,...)
P(p,q,...)
.
.
.
.

singkatnya :
Z(p,q,...)
A
B
C
.
.
.
Z
A,B,C,.... bersama-sama disebut hipotesis
A,B,C,.... masing-masing disebut premis
Z disebut kesimpulan
ARGUMEN VALID atau TIDAK VALID : Suatu argumen adalah valid (sah/benar) apabila seluruh
premis benar maka konklusi benar. Sebaliknya bila semua premis benar tetapi konklusi tidak benar
maka argumen tidak valid (tidak sah/tidak benar).
CONTOH :
1) Bila premis-premis argumen adalah A = p
adalah Z = p
 r maka argumen valid.
 q, B = q  r dan konklusi argumen
2) Bila premis-premis argumen adalah A = pq
 p, B = ~q dan konklusi argumen
adalah Z = ~p maka argumen tidak valid.
PENJELASAN CONTOH :
1) Dengan table berikut kita tentukan validitas argumen contoh 1 sebagai berikut :
p
q
r
+
+
+
+
+
+
pq
qr
pr
-
+
-
-
-
+
-
+
+
+
-
-
-
+
-
-
+
+
-
+
-
+
-
+
-
-
+
-
-
-
Arg Valid
Jadi karena kesimpulan dapat benar / salah maka argumen tersebut tidak valid
SILOGISMA. MODUS TOLLENS dan MODUS PONENS : Beberapa argumen valid yang sering
dipakai sebagai suatu argumentasi didalam matematika atau pada bidang-bidang lain yaitu silogisma,
modus tollens dan modus ponen.
pq
qr
 pr
Silogisma
P  q
~q
 ~p
Modus Tollens
p  q
p
q
Modus Ponens
2.4. Kuantor Pernyataan
KUANTOR : Untuk menyatakan kuantitas/banyaknya obyek didalam logika dipakai 2 macam kuantor,
yitu kuantor universal, kuantor eksistensial. Kuantor universal dipakai untuk menyatakan seluruh obyek
sehingga sering dipakai kata-kata semua, setiap, seluruh. Kuantor eksistensial dipakai untuk
menyatakan ada beberapa obyek sehingga sering dipakai kata-kata ada, beberapa, terdapat, ada
tepat satu.
NOTASI KUANTOR : Kuantor universal memakai notasi “  ”, dan notasi kuantor eksistensial adalah
“  ”. Khusus kuantor eksistensial yang menyatakan ada tepat satu dipakai notasi “  !”.
CONTOH PERNYATAAN BERKUANTOR :
1) Setiap hari matahari terbit dari timur dan tenggelam di barat.
2) Bilangan 2 merupakan factor dari semua bilangan genap
3) Beberapa matriks persegi tidak mempunyai invers.
PENJELASAN CONTOH : Pada contoh 1, 2 dan 3 semuanya mengandung kata yang merupakan
suatu kuantor, yaitu pada contoh 1 terdapat kata setiap, pada contoh 2 terdapat kata semua dan pada
contoh 3 terdapat kata beberapa. Jadi ketiganya merupakan pernyataan berkuantor.
NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR : Negasi dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial
dan negasi kuantor eksistensial adalah kuantor universal.
Misalkan untuk seluruh obyek x bersifat P dapat ditulis dengan notasi
x p (x ) . Negasi dari kalimat
ini adalah ~[ x p (x ) ] = x ~[ p (x ) ]. Sebaliknya beberapa obyek y bersifat q dapat ditulis dengan
notasi y q ( y ) . Negasi dari kalimat ini adalah ~[ y q ( y ) ] = y ~[ q ( y ) ]. Situasi ini dapat dituliskan
dengan formula berikut:
x, p ( x) = x, p( x)
y , p ( y ) = y, p( y )
Lebih lanjut dapat dibuktikan bahwa :
xP x   Q x   x P x   Q x   xP x   Q x 
xP x   Q x   x P x   Q x   xP x   Q x 
CONTOH :
1) Negasi dari kalimat : Untuk beberapa x, jika x2 < y2 maka x < y adalah kalimat : Untuk
semua x, x2 < y2 dan x > y.
x  R, y  R, xy  1
P( x)  yQ( x, y ) sehingga
2) Kalimat
berbentuk
xP( x, y ) ,
~( x  R, y  R, xy  1 ) = xP( x, y ) = x P ( x, y ) = xyQ ( x, y )
= xy Q ( x, y ) = x  R, y  R, xy  1
dengan
Activity
2
Part
Quiz/Exam/Self-Assess
Assignments
1. a. Dengan memakai aljabar proposisi, sederhanakan proposisi berikut.
[p~(p~q)]q
b. Uji apakah argumen-argumen berikut valid.
2. . a. Dengan memakai aljabar proposisi, sederhanakan proposisi berikut.
~[ ~ (~p  ~q) v q ) ^ ~p
b. Uji apakah argumen-argumen berikut valid p  r, r  ~q, q  ~p |--- p
Tuliskan argumen yg diberikan dengan kata-kata dan nyatakan apakah argumen tersebut valid ?
Bila
p : 64 K lebih baik daripada tidak ada memori sama sekali
q : Kami akan membeli lebih banyak memori
r : Kami akan membeli sebuah komputer baru.
3. p  ( r v q )
r  ~q
--------------------------pr
4. (p  q) ^ ( r  s)
pvr
-------------------------qvs