Composizione di isometrie Nel piano riferito ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali xOy si considerino le due parabole di equazioni 1 : x 1 2 y , 2 1 2 1 8 2 : y x2 2x . Riconoscere che le due parabole sono isometriche provando che esiste un’ isometria che trasforma 1 in 2. Elaborazioni Osserviamo preliminarmente che la forma geometrica di una parabola avente asse di simmetria parallelo ad uno degli assi coordinati, e quindi la cui equazione sia di una delle due forme y ax 2 bx c , x a ' y 2 b ' y c ' , è determinata dal valore assoluto del coefficiente del termine di secondo grado; pertanto, ad equazioni come quelle indicate nelle quali detti coefficienti hanno uguale valore assoluto corrispondono parabole congruenti e quindi per esse è possibile determinare un’isometria nel piano cartesiano che permette di passare dal diagramma di una a quello dell’altra. Proveremo il quesito posto costruendo un’isometria tramite una rotazione ed una traslazione. Rotazione Consideriamo la rotazione di 90° intorno all’origine degli assi in senso orario. Ricordiamo che le equazioni della rotazione nel verso antiorario dell’angolo intorno all’origine degli assi sono x ' x cos y sen , y ' x sen y cos : (1) nel senso che il punto P(x;y) viene trasformato nel punto P(x;y) , con (x;y) espresse dalle equazioni (1). Nel nostro caso la rotazione deve avvenire nel verso orario, dunque =-90°, pertanto le equazioni della trasformazione sono Figura 1 x ' x cos 90 y sen 90 x ' y sen 90 y 90 : y ' x sen 90 y cos 90 y ' x sen 90 x 90 : La rotazione in oggetto trasforma la parabola 1 nella parabola 1 la cui equazione nel sistema di riferimento xOy si ottiene da quella di 1 sostituendo y con x , x con -y e successivamente eliminando gli apici. Riportiamo i passaggi Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it Pagina 1 1 : x 1 2 90 1 1 2 y 1 ' : y ' x ' 1 ' : y x 2 2 2 2 La parabola 1 ottenuta ha il vertice nell’origine degli assi, asse di simmetria coincidente con l’asse y e concavità rivolta verso il basso. Applichiamo alla nuova parabola la traslazione che porta il suo vertice nel vertice della parabola 2 che è il punto V2 2; 17 . La traslazione ha equazioni 8 x ' x xV2 y ' y yV2 : (2) quindi trasforma il punto (x;y) nel punto x ' x 2; y ' y 17 . Per ottenere l’equazione della 8 parabola traslata 1 '' 1 ' basta sostituire nell’equazione di 1 ' la variabile x con x+2 e la variabile y con y ' 17 , quindi eliminare gli apici. 8 1 2 1 ' : y x 2 1 '' : y ' 17 1 1 17 2 x ' 2 1 '' : y x 2 4 x 4 8 2 2 8 e riducendo i termini simili si ottiene 1 2 1 '' : y x 2 2 x 1 8 Dal confronto dell’equazione di 1 '' con quella di 2 si conclude che 1 '' e 2 sono la stessa curva. Osservazione Si possono ottenere le equazioni dell’isometria risultante dall’applicazione successiva della rotazione -90° e della Figura 2-In figura sono rappresentati con colore rosso la parabola 1 traslazione da applicare direttamente alla ottenuta con la rotazione ed il vettore che determina la traslazione. parabola 1 per ottenere la parabola 2. Riportiamo di seguito le operazioni necessarie. 90 17 17 P x; y P ' x ' y; y ' x P '' x '' x ' 2; y '' y ' x '' y 2; y '' x 8 8 La trasformazione composta 90 è definita dalle seguenti equazioni Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it Pagina 2 x '' y 2 90 : 17 y '' x 8 (3) Applichiamo la trasformazione ottenuta alla parabola 1; si devono sostituire x con y '' 17 , y con 8 x '' 2 ed eliminare gli apici. 1 : x 17 1 1 17 1 2 90 2 2 y 1 '' : y '' x '' 2 1 '' : y x 2 8 2 2 8 2 Da cui 1 '' : y 1 2 17 1 1 x 2 x 2 1 '' : y x 2 2 x 2 8 2 8 Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it Pagina 3
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