学籍番号名前応用数理 C (複素関数論) 演習問題 1 (10 月 2 日予備知識に関する調査) 問題 1. α = 2 + i, β = 3 − i とおきます. 以下の複素数を計算してください. (1) αβ (2) α (3) αα (4) β α 問題 2. γ = √ 3 + i について考えよう. (1) γ の絶対値と偏角を求めてください. 偏角の単位には弧度法 ( ラジアン ) を用いてください. (2) γ 2 の絶対値と偏角を求めてください. (3) γ n が実数となるような整数 n のうち 0 以上 20 以下のものをすべて挙げてください. 問題 3. α = 2 + i, β = 3 − i とおきます. (1) 下の空欄に複素数平面 ( ガウス平面 ) を描き, α と β の位置を図示してください. (2) 下の空欄に複素数平面を描き, iα と iβ の位置を図示してください. 次回: 絶対値と偏角学籍番号名前応用数理 C (複素関数論) 演習問題 2 (10 月 9 日複素数平面絶対値と偏角) • 提出期限は次回授業の冒頭です. 遅れた場合は受け取らないことにしています. • 複素数平面は大きく描いてほしいです. 計算の過程を書く必要はありません. 問題 4. z1 = 2 + 2i, z2 = 1 + 3i, z3 = 2i, z4 = −1 + 3i, z5 = −2 + 2i とおきます. また, α は 1 + i をさすものとします. (1) 複素数平面を描いてください. 0, z1 , z2 , z3 , z4 , z5 , 0 を順に線分でつないでください. (2) 複素数平面を描いてください. 0, αz1 , αz2 , αz3 , αz4 , αz5 , 0 を順に線分でつないでください. (3) 複素数 α = 1 + i による掛け算は複素数平面を原点中心にだけ回転し, 角度倍に相似拡大する. (4) 空欄を整数 n の式であらわそう. arg(αn ) = , |αn | = . (5) 複素数平面を描き, α−1 = 1 α = , α αα α0 = 1, α, α2 , α3 , α4 に対応する点に × 印を書き込もう. (きれいに並びます. ジグザグになった人は間違いです.) (6) 偏角が π の整数倍であることは, 実数であるための必要十分条件である. (各自納得がいくまで考えて, 確かめてほしい). この事実を用いて, 複素数 αn が実数となるような整数 n のうち, 0 以上 20 以下のものをすべて求めよう. 次回: n 乗根. だんだん難しくなっていきますから教科書を読んで予習しておいてください. 学籍番号名前応用数理 C (複素関数論) 演習問題 3 (10 月 16 日 n 乗根) 問題 5. √ (1) 複素数平面を描いてください. −2 + 2 3i の位置を指し示してください. √ (2) −2 + 2 3i の絶対値と偏角を求めてください. ( √ ) √ , arg −2 + 2 3i = −2 + 2 3i = . √ (3) −2 + 2 3i の平方根を求めましょう. 2 つある平方根のうち片方を z1 , もう片方を z2 とおきます. それぞれの絶対値と偏角はなんだろう. (解答する順番は気にしなくてよいです.) |z1 | = , arg(z1 ) = , |z2 | = , arg(z2 ) = . (4) 上に描いた複素平面内に z1 と z2 の位置を書き込もう. (5) z1 と z2 を (実部)+(虚部) i の形で表記しよう. z1 = , z2 = . (平方根を求める問題では検算ができる. 計算用紙を使って答えをそれぞれ 2 乗してみよう.) 問題 6. z 3 = 8i の 3 つの解を同一の複素数平面に図示してください. • 解を図示するために, 実部と虚部を明記してもよいし, 絶対値と偏角を明記してもよいです. • 大きく図を描くように心がけてください. 見やすいほうが復習の助けになると思います. • 答えだけを書いてもいいのですが, 途中過程も書くと後で役に立つかもしれません. 提出期限は次回授業の冒頭です. 遅れた場合は受け取らないことにしています. 次回の予定: オイラーの公式対数関数学籍番号名前応用数理 C (複素関数論) 演習問題 4 (10 月 23 日オイラーの公式, 対数関数) 問題 7. e の − 2π π π 2π i 乗, e の − i 乗, e の i 乗, e の i 乗を一つの複素数平面に描いてください. 3 3 3 3 問題 8. e の 2 + 2π √ i 乗を求めてください. 必要とあれば e や 3 を使って解答してください. 問題 9. ln(2i) を求めてください. (方程式 ex+iy = 2i の解 x + iy を列挙してくださいということ.) x + iy = 次回: 極限複素関数の微分 (ただし n は整数) 学籍番号名前応用数理 C (複素関数論) 演習問題 5 (10 月 30 日極限複素関数の微分) i 問題 10. 複素数列 zn = 1 + + 2 ( )2 ( )n i i + ··· + について考える. 2 2 (1) 複素数平面を一つ描いて, 1, z1 , z2 , z3 の位置を書き込もう. わかりやすく図示することは思いのほか難しいので下書きしてから取り組むといいと思う. (2) 極限 lim zn を計算してみよう. 答えを (実部)+(虚部)i の形で表記しよう. n→∞ 問題 11. 以下の空欄を埋めることにより, 関数 f (z) = z 3 が z で微分可能であることを証明しよう. [証明] z が微小に変化して z + ∆z になるときの平均変化率は z と ∆z の式でとあらわせる. ∆z を 0 に近づけると, 平均変化率はに近づく. f が z において微分可能であることがわかった. 次回授業の冒頭で集めます. 次回: コーシー · リーマンの方程式学籍番号名前応用数理 C (複素関数論) 演習問題 6 (11 月 13 日コーシー · リーマンの方程式) 問題 12. 複素関数 w = f (z) が次の二つの条件を満たしているとします. • f (i) = −i. • f ′ (i) = 3i. ここから次の二つの事実がわかります. (1) f は点 i のまわりの小円板をのまわりの小円板にうつす. (2) 小円板の半径はほぼ倍になる, 反時計回りにの角度だけ回転する. 問題 13. x, y, u, v を実変数とする. 複素数 z = x + iy を複素数 w = u + iv に変換する関数 w = ez について考える. (1) u, v を x と y の式で表してください. (ノートや教科書を見返して ez = ex+iy を x と y で表す方法を思い出そう. ez の実部が u で虚部が v です.) u= , v= (2) f は平面上の点を平面上の点に移します. その偏微分係数を求めてみましょう. ∂u = ∂x , ∂u = ∂y , ∂v = ∂x , ∂v = ∂y . f (z) = ez についてコーシー · リーマンの方程式が成り立つことがわかると思います. (ノートや教科書を見返してコーシー · リーマン方程式とは何かを思い出しましょう.) 次回: 複素積分その 1 学籍番号名前応用数理 C (複素関数論) 演習問題 7 (11 月 20 日複素積分その 1) 問題 14. パラメータ表示された曲線 z(t) = 3 − t2 + i(t3 − 3t), −2 ≤ t ≤ 2 の概形を図示してください. 曲線の向きを矢印で表示してください. 問題 15. パラメータ表示された曲線 z(t) = 3 − t2 + i(t3 − 3t) について考えよう. 位置の微小変化 dz を t と dt で表してみよう. 次回: 複素積分その 2 大切なお知らせ: 次回の授業は総合教育研究棟 B255 で行います. 学籍番号名前応用数理 C (複素関数論) 演習問題 8 (11 月 27 日複素積分その 2) このプリントは宿題ではありません. 授業中に取り組みましょう. 問題 16. 複素数平面内の曲線 ∫C は放物線の一部で, 実軸を軸とし, 0 を頂点とし, 4 − 2i を始点とし, 4 + 2i を終点とする. 積分 z dz を計算してください. C Step1 曲線 C は z(t) = t2 + it, −2 ≤ t ≤ 2 とパラメータ表示できる. (曲線をパラメータ表示する方法はほかにもいろいろある. とりあえずこれで計算してみよう.) Step2 位置の微小変化 dz を t と dt の式で表すと Step3 zdz を t と dt の式で表すと ∫ Step4 求める積分 z dz を t と dt で書き換えると C 次回 (12 月 4 日): 複素積分その 3. 元の教室に戻ります. 中間テスト (12 月 11 日): 授業をちゃんと復習した学生が 8 割以上解答できるように作問します. これまで配布した教材は http://www1.hinocatv.ne.jp/sako-h/niigata/201410thu3/201410thu3.html にあります. 学籍番号名前応用数理 C (複素関数論) 演習問題 9 (12 月 4 日複素積分その 3) このプリントは宿題ではありません. 授業中に取り組みましょう. 問題 17. 複素数平面内で 0 を中心とする半径 1 の円を反時計まわりにまわる閉曲線を C とする. (1) 曲線 C を変数 t でパラメータ表示せよ. 位置の微小変化 dz を t と dt で表記しよう. ∫ z dz を求めよう. (2) C ∫ (3) C 1 dz を求めよう. z 次回: 中間テスト (12 月 11 日): 授業をちゃんと復習した学生が 8 割以上解答できるように作問します. これまで配布した教材は http://www1.hinocatv.ne.jp/sako-h/niigata/201410thu3/201410thu3.html にあります. クライツィグの教科書では 2.1 節までが試験範囲です. 1.7 節, 1.9 節, 1.10 節を扱うことはできませんでした. 試験には出しません. 学籍番号名前応用数理 C (複素関数論) 演習問題 11 (12 月 18 日 Green の定理) 問題 18. Green の定理を次の具体例でみてみよう. x-y 平面上のベクトル場 V (x, y) = (S(x, y), T (x, y)) を S(x, y) = −2y, T (x, y) = x で定める. (1) 回転 rotV を計算してください. ∫∫ (2) (0, 0) を中心とする半径 1 の円の内部を Ω とする. 重積分 rotV dxdy を求めてください. Ω 定数関数 1 の重積分が領域の面積と一致するという事実を用いてよいです. (3) (0, 0) を中心とする半径 1 の円周を C とおく. 向きを反時計回りとして定める. C を (x, y) = (cos t, sin t), −π ≤ t ≤ π とパラメータ表示することができる. 微小な内積 Sdx + T dy = −2ydx + xdy を t と dt で表してください. ∫ (4) C 上の流量 (Sdx + T dy) を計算してください. Green の定理によって, (2) と答えが同じで C あるとすぐにわかりますが, 練習のために線積分を計算するといいと思います. 提出: 次回授業 (1/8) の冒頭に提出してください. 次回: 留数の計算その 1 学籍番号名前応用数理 C (複素関数論) 演習問題 12 (1 月 8 日留数の計算その 1) 問題 19. 解析関数 f (z) = z2 1 について考えよう. + 2i (1) z 2 + 2i = 0 の解を答えてみよう. (必要があれば中間テスト問題 2 を復習してください). (2) 因数定理を用いると z 2 + 2i を一次式の積に因数分解できる. 因数分解を答えてください. (3) 2 つの特異点それぞれについて留数を求めてみよう. 提出: 次回授業の冒頭に提出してください. 次回: 留数の計算その 2 学籍番号名前応用数理 C (複素関数論) 演習問題 13 (1 月 15 日留数の計算その 2 訂正版) 問題 20. (例) に書かれたテイラー展開を用いることにより (1) 以降のテイラー展開を求めてください. 定数項, z の項, z 2 の項, z 3 の項を書いて, そのあとは · · · と書いてしまってよいです. (例) (1) (2) 1 = 1 + z + z2 + z3 + · · · 1−z 1 = 1 + 2z + (2z)2 + (2z)3 + · · · = 1 − 2z + z+ z2 + z3 + · · · 1 1 1 ( z) = = 2+z 2 1− − 2 問題 21. 以下の留数を求めてください. ) ( 1 1 , (先週の方法でも今週の方法でも解ける.) (1) Res z 2 (1 − 2z) 2 ( ) 1 (2) Res ,0 (先週の方法では解けない. 0 を中心とするローラン展開を用いよう. z 2 (1 − 2z) 問題 20 の結果も用いてよい.) 提出: 次回授業 (1 月 29 日) の冒頭に提出してください. 次回: 留数定理期末試験 (2 月 12 日): この学期に授業中で扱ったことすべてが試験範囲です. 学籍番号名前応用数理 C (複素関数論) 演習問題 14 (1 月 29 日留数定理) 1 の特異点を複素数平面にえがいてください. つづいて 1 を中心と + 2i する半径 2 の円 C を同一の複素数平面にえがいてください. 問題 22. (1) 解析関数 z2 ∫ (2) 曲線 C の向きを反時計回りとして定めます. 積分 C 次回: 留数定理その 2 このプリントを提出する必要はありません z2 1 dz を求めてください. + 2i