Partie Mécanique TD 4 Mouvement de particules chargées

Lycée Kerichen
MPSI 2
2013-2014
Partie Mécanique
TD 4 Mouvement de particules chargées
plongées dans des champs ⃗
E et ⃗
B .
Méthode de traitement des exercices:
•
•
Définissez le système sur lequel vous travaillez, identifiez le référentiel dans lequel vous
étudiez le mouvement, faites un bilan des forces s'exerçant sur le système et
représentez-les sur un schéma. Choisissez une base de projection adaptée au système
Attention au produit vectoriel et aux constantes d'intégration
Exercice 1: Déviation d'un faisceau d'électrons:(pour s'approprier le cours)
Jadis, en des temps immémoriaux pour certains, existaient des téléviseurs et des oscilloscopes à
tube cathodique. Si de nos jours, cette technologie est dépassée, il n'en reste pas moins
intéressant de comprendre son fonctionnement.
Dans un écran à tube cathodique, un faisceau d'électrons est émis avec une vitesse quasi nulle en
un point source S et accéléré par une tension U 0 entre les points S et E situés sur un axe (Ox).
v 0 dans une zone limitée par deux
Le faisceau pénètre ensuite au point O avec une vitesse ⃗
plaques entre lesquelles règne un champ électrique ⃗
E supposé uniforme. Les plaques, métalliques
sont parallèles, symétriques par rapport au plan (Oxz), séparées d'une distance d et de longueur
L . Le champ ⃗
E est créée par une tension U qui est appliquée entre les plaques.
Le faisceau sort du dispositif où règne le champ au point A et atteint finalement l'écran en B,
situé à une distance D du milieu des plaques.
1. Faites un schéma du tube cathodique complet en faisant figurer les grandeurs de l'énoncé
ainsi que le système d'axes choisi.
2. a) Indiquez en justifiant le signe de VE -VC.
b) Montrez qu'il est légitime de négliger l'interaction gravitationnelle devant la force
électrostatique.
c) Exprimez en fonction de U 0=∣V E −V S∣ la norme v0 de la vitesse au point O d'un
électron de masse m et de charge -e.
d) Application numérique: Calculez v0 avec : U0 = 1,0.103 V
m = 9,1.10 -31 kg
e=
-19
1,6.10 C
3. Déterminez l'ordonnée yA du point de sortie A.
4. Déterminez (en justifiant) l'équation de la trajectoire de l'électron de A à B et montrez
que l'ordonnée yB du spot est proportionnelle à la tension U appliquée entre les plaques.
Exercice 2: Spectrographe de masse et âge d'une rame:
Une équipe d'archéologues de Marseille vient de découvrir l'épave d'une trière grecque et a
prélevé un morceau de rame afin de déterminer l'époque du naufrage.
L'échantillon est envoyé au Centre de recherche et de restauration des musées de France
(C2RMF) basé au Louvre .
Le laboratoire possède un spectrographe de masse qui permet (entre autres choses) de séparer
les isotopes d'un même élément dans un échantillon afin de déterminer la proportion en chaque
isotope. La datation étant un processus destructif, une analyse par AMS, qui ne réclame que des
quantités infimes (entre 20 et 500 milligrammes suffisent dans la plupart des cas), est la méthode
de prédilection pour les archéologues.
12
13
14
Ici, les isotopes intéressants sont les atomes 6C ,
6C et
6C . En effet, tout être vivant
(ou tout matériau contenant des restes d'êtres vivants) comporte au moment de sa mort une
proportion fixée de l'isotope 14 du carbone, isotope radioactif : cela signifie que les échantillons
possèdent une activité A0 au moment du décès, activité qui ne fait que décroître ensuite.
Comment obtient-on un échantillon exploitable ?
Le mode opératoire est le suivant : après le prétraitement, les échantillons sont convertis en
graphite solide, en vue de leur entrée dans le spectromètre. Cela est réalisé par conversion en
dioxyde de carbone, qui est ensuite transformé en graphite en présence d'un catalyseur
métallique (fer). Cette étape de combustion introduit également d'autres éléments comme l'azote
14 .
Les quelques milligrammes de graphite ainsi obtenus, ainsi que les matériaux de référence, sont
pressés sur des pastilles métalliques, qui seront montées sur l'appareil pour l’analyse.
Des ions de césium bombardent la cible, produisant du carbone ionisé négativement sous forme
12 - 14 C , C et 13C- mais aussi 12CH2- et 13CH- qui passe ensuite à travers les dispositifs de focalisation
et un aimant d'injection, avant d'atteindre l'accélérateur tandem, duquel les ions carbone, animés
d'une vitesse quasi nulle à l'entrée, sont accélérés grâce à une différence de tension de deux
millions de volts (> 0).
Les autres ions négatifs sont instables et ne peuvent atteindre le détecteur. Les atomes de
carbone sont les seuls à atteindre l'éplucheur (gaz ou feuille de métal), où ils perdent des
électrons et apparaissent avec une charge positive triple. Les autres particules, ne pouvant avoir
cette charge, sont éliminées dans le processus.
Le faisceau est émis par une source S avec une vitesse quasi nulle, puis accéléré par une tension U
B =B ⃗
u z uniforme,
négative puis pénètre alors en O dans une zone de champ magnétique ⃗
orthogonal au faisceau incident.
Données : masse d'un nucléon : mn = 1,67.10-27 kg ; ∣U∣=10 kV ; B = 0,10 T ; e = 1,6.10-19 C ; demivie du carbone 14 = 5730 ans
1.
Grâce à un rayonnement de neutrons cosmiques, l'azote mène à la formation de carbone 14,
instable qui se désintègre .
a) Écrivez la réaction de formation du carbone 14 à partir de l'azote.
b) Écrivez la réaction de désintégration du carbone 14 et donnez le type de réaction
nucléaire dont il s'agit.
13
14
2. Exprimez les vitesses v1 et v2 acquises respectivement par les isotopes 6C et 6C
suite à l'accélération par la tension U.
3. a) Déterminez la trajectoire des ions dans la zone de champ magnétique.
13
14
b) Exprimez les rayons R1 et R2 des trajectoires des isotopes 6C et 6C .
c) On recueille les particules: de quelle distance les isotopes 14C et 13C sont-ils séparés ?
4. On recueille une proportion de 72% d'ions 14C par rapport à la quantité usuellement
présente dans la matière vivante.
Déterminez l'âge de la rame.
Exercice 3: Effet Zeeman :
Un atome d'hydrogène comporte un proton de charge +e supposé immobile en O et un électron de
charge -e. La force exercée par le proton sur l'électron situé au point M est modélisée par une
force de rappel élastique ⃗
F =−k ⃗
OM (modèle de l'électron élastiquement lié) où k est une
constante.
1. On suppose que la trajectoire de l'électron est contenue dans le plan z = 0. Déterminez les
équations différentielles satisfaites par les coordonnées x(t) et y(t).
2. Quelle est la pulsation ω0 du mouvement et sa nature géométrique?
B =B0 ⃗
uz
3. On soumet l'atome au champ magnétique uniforme et stationnaire ⃗
a) Rappelez la signification des termes « uniforme » et « stationnaire ».
b) Écrivez les nouvelles équations du mouvement et résolvez-les en utilisant « l'astuce » :
u(t) = x(t) + i y(t)
c) Montrez que le mouvement est désormais caractérisé par deux pulsations ω 1 et ω2.
4. On considère qu'il est possible d'adopter un raisonnement analogue à celui effectué sur
l'atome d'hydrogène à l'atome de cadmium. Proposez une explication au phénomène
expérimental observé ci-après.
Document 1 : Diffraction par
un trou source du rayonnement
émis par une lampe spectrale
au cadmium.
Document 2: Diagramme énergétique des
atomes de cadmium
Exercice 4 : Cyclotron :
Un cyclotron est formé de deux enceintes demi-cylindriques D 1 (région 1) et D3 (région 3),
B = B⃗
ez . Entre ces
appelées dees en anglais dans lesquelles règne un champ magnétique uniforme ⃗
deux dees, une bande étroite de largeur d (région (2)) est plongée dans un champ électrique
alternatif de module E, mais qui change de sens.
On introduit au point O (0, 0, 0) une particule de charge q>0 sans vitesse initiale. La tension U D1D3
est alors positive.
1. Quelle est la nature du mouvement de la particule dans la région (2), avant qu'elle ne
pénètre dans la région (3) où règne le champ magnétique ? Calculez la vitesse v 1 de la
particule lorsqu'elle pénètre dans la région (3).
2. La particule est déviée dans la région (3).
a)Quelle est la nature du mouvement de la particule dans la région (3) ?
b)Déterminez la trajectoire parcourue ainsi que ses caractéristiques.
c) Quelle est la vitesse de la particule lorsqu'elle sort de la région (3) ?
3. Pendant que la particule était dans la région (2), le signe de la tension U D1D3 a changé. Quelle
est la nature du mouvement de la particule dans la région (2), avant qu'elle ne pénètre la
région (1) ? Calculez la vitesse v2 de la particule avant qu'elle ne pénètre lorsqu'elle
pénètre dans la région (1).
4. La particule est à nouveau déviée dans la région (1).
a) Quelle est la nature de sa trajectoire ?
b) Exprimez la durée τ de cette trajectoire.
c) Montrez que la durée τ a le même valeur à chaque passage dans la zone (1), et permet de
calculer le rapport q/m.
d) Déduisez-en la fréquence fc de la tension alternative nécessaire pour accélérer la
particule à chacun de ses passages entre les dees, en négligeant le temps de passage de la
particule dans la région (2).
5. Augmentation de la vitesse de la particule
a) Après n passages dans la région (2), quelle est la vitesse v n de la particule ?
b) Quel est l'intérêt du passage de la particule dans la région (2) ?
6. Le cyclotron a un diamètre maximal utile de 52 cm.
a) Calculez en joules, puis en MeV, l'énergie cinétique maximale des protons accélérés par
ce cyclotron lorsque la fréquence de l'oscillateur électrique qui accélère les protons entre
les dees est de 12 MHz. Quelle est alors la valeur du champ magnétique ?
b) L'amplitude de la tension alternative appliquée entre les deux dees est de 200 kV.
Calculez le nombre de tours effectués par les protons pour atteindre leur énergie
cinétique maximale.
Exercice 5 : Mouvements de particules avec prise en compte des effets
relativistes (d'après concours ESIGETEL 2000)
Partie 1 : Mouvement dans un champ électrique :
Deux plans conducteurs parfaits infinis d'équation respective x = 0 et x = a sont portés aux
potentiels respectifs V(x=0) = 0 et V(x=a) = U. L'espace interconducteur est le vide.
1. a) Montrer que le champ électrique ⃗
E , dans le vide, est uniforme. Calculer ⃗
E et V(x)
dans le vide interconducteur.
b) A.N. Calculer E avec U = 10 kV et a =1 m.
2. Un électron de charge -e et de masse m entre à l'instant initial en x = 0 avec une vitesse
v 0 =v 0 ⃗
e y avec v0 > 0 .
initiale ⃗
Montrer que son poids est négligeable devant la force électrique.
3. Calculer sa vitesse à tout instant et déterminer sa trajectoire. A quelle condition sur U son
mouvement s'effectue-t-il dans l'espace interconducteur ?
v 1 et sa
4. À quelle date sort-il de l'espace interconducteur ? Exprimer alors sa vitesse ⃗
position.
5. On place en y = y0 et x = a une fente très fine. Montrer que ce dispositif permet de
sélectionner des électrons de vitesse v0 donnée. Relier v0 à y0.
Partie 2 : Mouvement dans un champ magnétique :
A l'instant initial, l'électron est cette fois introduit à l'origine O du repère avec une vitesse
v 0 =v 0 ⃗
e y dans une région où règne un champ magnétique uniforme ⃗
B= B ⃗
e z .On supposera
⃗
toujours son poids négligeable.
1.
Calculer la puissance de la force magnétique. En déduire que le champ magnétique ne peut
modifier la norme de la vitesse de l'électron.
2. Déterminer les équations différentielles vérifiées par les coordonnées de l'électron.
3. Montrer que l'électron reste dans le plan z = 0.
4. Déterminer x(t) et y(t). On posera
ω=
eB
m
.
5. Montrer que la trajectoire est circulaire et déterminer son rayon R.
6. On montre que toute particule accélérée rayonne une puissance proportionnelle à la
moyenne du carré de son accélération : P = K < a2 >. Calculer P sur la trajectoire de rayon R,
en fonction de ω et v0.
7. Dans les anneaux de stockage des accélérateurs de particules, on conserve des particules
accélérées en les maintenant sur des trajectoires circulaires. Suffit-il d'un champ
magnétique uniforme et constant pour ce stockage ? Quelle solution proposeriez-vous ?
8. Dans les accélérateurs de particules, les électrons ont en général des vitesses v
relativistes. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit dans ces conditions :
d ⃗p
=q ⃗
v ∧⃗
B avec
dt
⃗p =γ m ⃗v et
γ=
1
√ 1−α
où
α=
v2
2 c étant la vitesse de la
c
lumière.
a) Vérifier qu'on retrouve le principe fondamental de la dynamique classique si la vitesse v
est négligeable devant c.
b) Montrer que, même pour une particule relativiste, la norme v de la vitesse n'est pas
modifiée par le champ magnétique.
c) Déduire des calculs précédents le rayon de la trajectoire pour la particule relativiste de
v 0 =v 0 ⃗
e y dans une région où règne un champ magnétique uniforme
vitesse initiale ⃗
⃗
B= B ⃗
ez .
d) A.N. Calculer le rayon de la trajectoire pour γ = 105 et B = 1 T. Commentaire.
9. Comment peut-on utiliser un champ magnétique pour sélectionner, dans un faisceau
d'électrons de vitesses initiales toutes parallèles à Oy, ceux de vitesse v donnée ? On
précisera la réponse.
10. Dans le cas non relativiste, on tient compte du frottement exercé par le milieu sur
l'électron : l'électron subit la force v r λ − où λ est une constante positive et où v r est sa
vitesse.
a) Écrire les équations différentielles vérifiées par x, y et z.
b) En déduire l'équation de la trajectoire. Tracer son allure.
c) Déterminer les coordonnées du point asymptotique P.
Partie 3 : Mouvement dans des champs électrique et magnétique :
L'électron est introduit à l'instant initial, à l'origine
v 0 =v 0 ⃗
ey .
O du repère, avec une vitesse initiale ⃗
On revient à un mouvement non relativiste.
Il pénètre dans une zone où règnent un champ
E =E e⃗x et un champ magnétique
électrique ⃗
⃗
B= B ⃗
ez .
1. Calculer la puissance de la force électromagnétique.
2. Montrer que le mouvement est plan.
3. Déterminer l'équation de la trajectoire. On posera toujours ω=
eB
m
4. Pour quelle valeur vm de v0, la trajectoire est-elle rectiligne ? Où faut-il placer une fente
pour sélectionner les électrons ayant cette vitesse v m ?

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