close

Enter

Log in using OpenID

いろいろな力

embedDownload
いろいろな力
力を考える時のポイント
(1)重力
・・地球上の物体に働く
大きさ
:
mg
、向き
:
鉛直下向き
(2)垂直抗力・・ 物体が面と接している時働く
大きさ
:
N とおいて、釣合の式を立てて計算する。
いつも N = mg とはならないことに注意すること
はじめからmgとおいてはいけない。
向き
:
面に垂直、物体を押し返す向き
(3)摩擦力・・粗い面で働く。
静止摩擦力・・物体が粗い面上で力を受けて止まっている時
大きさ
:
fとおいて、釣合の式を立てて計算する。
向き
:
物体を動かそうとする力と逆向き
最大静止摩擦力・・物体が動き出す瞬間の摩擦力。
大きさ
:
μ N、ただし、μは静止摩擦係数
動摩擦力・・物体が粗い面上で動いている時
大きさ
:
μ’N、
ただし、μ’は動摩擦係数
向き
:
物体を動かそうとする力と逆向き
(4)張力・・物体が伸びているひもや糸で結ばれている時働く。
大きさ
:
T とおいて、釣合の式を立てて計算する。
糸の両端の張力は同じ。糸が違うと張力も変わる。
向き
(1)
:
止まっている 2kg の物体
N
糸に沿って、糸をもとの長さに戻す向き
(2)滑らかな面上を動く 2kg の物体
5(N)
y
N
y
20(N)
2g
x
2g
x
力の釣合よりNを求める。
なめらかな面なので、摩擦力は働かない
上向きの力=下向きの力の和
y方向は釣り合っているので、
N=5+2g
N=2g=19.8(N)
=24.8(N)
N=2gではないことに注意
-1-
(3)粗い面上を動く 2kg の物体 (摩擦係数μ’= 0.2)
重力
摩擦力
N
y
20(N)
μ’N
垂直抗力
2g
x
y方向: 力が釣り合っているので、上向きの力(抗力)=下向きの力(重力)。
∴
N=2g=19.8(N)
・・①
摩擦力は、μ’N= 0.2・19.8 =3.96(N)
(4)粗い斜面上を滑り降りる 2kg の物体(動摩擦係数μ’= 0.2)
重力
N
f
y
(静止)摩擦力
垂直抗力
2g
θ
x
垂直抗力 N は斜面に垂直な向き(鉛直下向きではない)
動いているので、動摩擦力μ’N
(注意!)物体が動き出す時は、最大静止摩擦力μN
斜面の物体のポイントと解答の順序
(1)
座標軸の取り方
斜面に沿ってx軸、
それに垂直上向きにy軸をとる。
(2) 働く力をすべて、図に書き入れる。必ず図を書くこと。
(3) 力をx、y成分に分解する。
(4) y軸方向は動かないので釣合の式をたて、垂直抗力 N の大きさを求める。
(5) x軸方向は、静止している時は釣合の式を立て、摩擦力を求める
動いている時は、x方向の合力を求め、運動方程式を立てる
重力2gをx、y成分に分解すると、Fg=(2gsin θ、− 2gcos θ)
y成分は負の向きなので、−を付ける。
従って、y方向の釣合の式は、
N= 2gcos θ・・・①
(または、N ー 2gcos θ=0)
物体は滑り降りているので、x軸方向負の向きに動摩擦力が働き、
f=μ’N・・・②
これに①式および、μ’= 0.2、θ=30°を代入すると、
f= 0.2・2gcos30 °= 0.4g ・(1.73 / 2)= 3.4(N)
-2-
(5)糸で結ばれて静止した物体
F
質点が2コ以上ある時のポイント
2g
(1)
2kg
図を書き、力を書き入れる。
どの力が、どの質点に働くかを
T1
同じ
きちんと分かるようにしておくこと
(2)
T1
違う
3g
それぞれの質点について、
3kg
静止している時は、釣合の式、
T2
運動している時は、運動方程式
をたてる。
同じ
→質点の数だけ、釣合の式、または
運動方程式をたてること。
T2
4kg
4g
この問題のポイント
・糸で結ばれているので、糸の両端に張力が働く(1つの糸に計2個の張力)。
・張力はTとおき、計算をして大きさを求める。はじめからmgとしてはいけない。
・糸の両端の張力は同じだが、糸が違うと張力の大きさが変わる。
従って、2kg と 3kg を結ぶ糸の張力を T1 、3kg と 4kg を結ぶ糸の張力を T2 とする。
どちらも同じ T としてはいけない。
・静止しているので、力の釣合の式を立てる。
・3つ質点があるので、釣合の式を3個たてる。
4 kg の物体について、力の釣合を立てる。働いている力は張力 T
2
と重力 4g なので、
T 2 =4g・・・①
3kgの物体について、力の釣合の式を立てる。
図より、張力 T 1(上向き)、T 2(下向き)、重力3gが働いているので、
T 1 = T 2+3g・・・②
これに①式を代入すると、 T 1 =7g ・・・②’
2kgの物体について、力の釣合の式を立てる。
図より、力 F(上向き)、張力 T 1(下向き)
、重力4gが働いているので、
F= T 1+2g・・・③
これに②’を代入すると、F=9g
-3-
(6)糸で結ばれている物体(面との動摩擦係数μ’=0.2)
N
T
5kg
f
重力
5g
摩擦力
垂直抗力
張力
T
20g
①
物体が静止しているとき
各質点について、
x、y方向の力の釣合を考える
摩擦力は、力の釣合より求める。
20 kg の物体について
T=20g
10kgの物体について
鉛直方向
: N=5g
水平方向
: T=f
以上より、張力
②
←
止まっているので、摩擦力をfと置く。
T=20g、静止摩擦力f=20g
物体が運動しているとき
運動方程式を立てる。
運動方程式の立て方のポイント
・質点の数だけ、運動方程式を立てる。
各質点の 動く向きを正の方向とし、
動く向きには運動方程式
それに垂直な向きはつりあいの式
・糸でつながれているので、
質点は同じ加速度aをもつ。
・動いているので、摩擦力はμ’N
③
物体が動き出す瞬間
最大静止摩擦力が働く。
物体に働く摩擦力は、最大静止摩擦力
μNとなる。
ここでμは静止摩擦係数で、動摩擦係数μ’より大きな値を取る。
-4-
運動方程式
(1)
演習問題
質量 2.0kg の物体が軽い糸でつるしてある。次のそれぞれの場合について、糸の
張力 T の大きさを求めなさい。
(a) 物体が静止しているとき
働いているのは重力 2g と張力 T
静止しているので力がつり合うので、
T
T=2g=19.6(N)
2g
(b) 物体が等加速度 3.0 m/s2 で加速しながら上昇しているとき
正の向き
働いているのは重力 2g と張力 T
上昇しているので、上向きを正とし
加速度を上向きにaとすると、運動方程式は、
T
a
2a = T - 2 g
従って、張力Tは、
2g
T = 2a + 2 g
・・・①
題意より、a = 3.0 (m/s2 )を代入すると、張力は
T = 2.0 ´ 3.0 + 2 ´ 9.8 = 25.6(N)
静止している場合と、張力の大きさは違ってくる。
(c) 物体が一定の速度 2.0m/s で上昇しているとき
一定の速度なので、加速度a=0
よって、張力は①式より、T=2×9.8=19.6(N)
(d) 物体が等加速度 4.0m/s2 で減速しながら上昇しているとき
加速度
a=−4 m/s2
これを①式に代入して、
T = 2.0 ´ (-4.0) + 2 ´ 9.8 = 11.6( N)
すなわち、運動状態(加速度)によって、張力の値は異なる。
-5-
(2)右向きに動くので、右方向をx軸、鉛直上向きにy軸をとる。
y
働く力は、重力
N
μN
F= 2.0(N)
x
2g
mg
垂直抗力
N
引く力
F(= 2.0(N))
動摩擦力
μN
(動摩擦力なので、μNでよい)
y方向には動かないので、合力が0となり、釣り合っているので、
N−mg=0・・・①
x方向には、加速度をaとして運動方程式を立てる。
右向きが正なので、右向きの力を+、左向きを−とすると、x方向の合力F x は
Fx = F −μ’N
よって運動方程式は、
ma= F −μ’N・・・②
ここで①より、垂直抗力Nは、
N=mg
これを②に代入すると、
ma= F −μ’ mg
∴
a=
F
- mg
m
・・・①
題意より、m=2,F=2.0,μ=0.2を代入して計算すると、
a=−0.96(m/s2)
加速度が一定なので、等加速度運動の公式を使い、t秒後の速度と位置を求める。
問題に、
「物体ははじめ原点にあり、初速度20 m/s で動いているとする」とあるので、
最初の位置x0=0,初速度vo=20となる。
また、加速度aは、運動方程式より①式のように得られているので、
これらを(a)、(b)に代入すると、t秒後の速度と位置が得られる。
∴
v(t) = 20 − 0.96 t
・・・②
x(t) = 20 t − 0.48 t
2
・・・③
物体が止まる時は速さが0となるので、止まるまでの時間は②式に v(t)=0を代入し、
0 = 20 − 0.96 t
∴
t=20.8(s)・・・④
止まるまでに動いた距離は、④式を③に代入して、
x= 20・20.8 − 0.48・20.82 = 208(m)
または、はじめの速度vo、最後の速度v、加速度aが分かっているので、
(c)式に、vo=20、v=0,a=ー0.96を代入しても求められる。
-6-
(3)右向きに動くので、右方向をx軸、鉛直上向きにy軸をとる。
y
働く力は、重力
a
N
mg
F
垂直抗力
N
θ
動摩擦力
μN
(動摩擦力なので、μNでよい)
μ’N
mg
x
また、力Fをx、y成分に分解すると、
F=(F cos θ、Fsin θ)
y方向には釣り合っているので
N+ Fsin θ=mg・・・①
x方向には、加速度をaとして運動方程式を立てる。
右向きが正なので、右向きの力を+、左向きを−とすると、x方向の合力F x は
Fx = Fcos θ−μ’N
よって運動方程式は、
ma= Fcos θ−μ’N・・・②
ここで①より、垂直抗力Nは、
N=mg−F sin θ
←
この場合、N=mgとならないことに注意
これを②に代入すると、
ma= Fcos θ−μ’
( mg−F sin θ)
a=
F (cosq + m¢ sinq )
- m¢g
m
(4)∼(6)
軽い糸でつながれた物体の運動のポイント
○
質点ごとに、運動方程式を立てる。
○
動く向きを正の方向とし、
動く向きには運動方程式
それに垂直な向きは釣合の式
○
糸でつながれているので、 同じ加速度aをもつ。
○
張力は糸を縮める向き、糸の両端での張力の大きさは等しい。
○
面がなめらかなときは、摩擦力は働かない。
面が粗く、物体が動いているとき、摩擦力はμ’N
物体が動きだす瞬間は、摩擦力はμN
-7-
(4)物体に働く力は、以下のようになる。
B
A
NB
T
T
ここで、垂直抗力 N A N Bについて、
NA
=mAg= 1.0・g
NB
=m B g= 2.0・g
動いているので動摩擦力は、
NA
F
FA =μA’NA
FB =μB’NB
FB
FA
2g
1g
x方向の加速度をaとして、A,Bそれぞれに運動方程式を立てると、
Aについて
:
1.0・a=F−T−μA’NA
・・・⑦
Bについて
:
2.0・a=T−μB’NB
・・・⑧
⑦+⑧より、
3 a=F−μA’NA−μB’NB
これに N A 、N BおよびμA’、μB’、Fの値を代入すると、
3 a=20− 0.2 g− 0.3・2g =20− 0.8 g
∴
a=(20− 0.8 g)/3、
(5)
T=2a+ 0.6 g=(40+ 0.2 g)/3
a
N
T
5kg
μ’N
ポイント
5g
質点の数だけ、運動方程式を立てる。
質点の動く向きを正の方向とし、
動く向きには運動方程式
T
それに垂直な向きは釣合の式
20kg
a
糸でつながれているので、同じ加速度
動いているので、摩擦力はμ’N
20g
20 kg の物体について
物体は下に動くので、下向きを正とし、加速度をaとおくと、運動方程式は、
20a=20gーT ・・・①
5 kg の物体について
上下方向は釣り合っているので、
N=5g・・・②
物体は右に動くので、右方向の加速度をaとすると、運動方程式は、
5a=T−μ’N・・・③
②を③に代入すると、動摩擦力はμ’N=μ’・5g= 0.2・5g =gなので、
5a=T−g・・・③’
-8-
①+③’式より、
25a=19g
∴a= 19/25 g
これを③’式に代入して、T=g+5a= 24/5 g
(6)(a)
斜面がなめらかななので、摩擦力が働かない。働く力は、下図のようになる。
静止してとき、それぞれの物体について力がつり合っているので、
Mについて
T=Mg
・・①
T
mについて
N
m
斜面方向
: T=mg sin θ
・・②
垂直方向
:
・・③
N =mg cos θ
mg sin θ
T
M
mg
mgcos θ
Mg
θ
①、②より、Mg = mgsin θ
∴
(b)
M =m sin θ
斜面が粗く、物体が動いているので、摩擦力は動摩擦力μ N
また、m<Mなので、質点 M は下向きに動き、mは斜面に添って上向きに動く。
よって、M,mの質点について運動方程式は、
T
Mについて(下向きに加速度a)
Ma=Mg−T
m
・・④
T
mについて(斜面上向きに加速度a)
ma=T− mgsin θ−μ N
a
・・⑤
mg
斜面に垂直な方向は③式が成立するので、
これを⑤に代入すると、
・・⑤’
よって、④+⑤’より、
(M+m)a=Mg−mg(sin θ+μ cos θ)
a=
M - m (s inq + m ¢ c osq )
g
M +m
張力Tは、このaを④式に代入して、
M - m (sin q + m cos q ) ü
ì
T = M (g - a ) = M í1 ýg
M
+
m
î
þ
Mm (1 + sin q + m cos q )
g
=
M +m
-9-
N
f=μ N
M
Mg
ma=T− mgsin θ−μ・mg cos θ
a
θ
(7)斜面上を動いている時
a
x
ポイント
滑り上がるので運動方向は斜面に沿って上向
→斜面に沿って上向きにx軸をとる
N
動いているので、動摩擦力はμ N
y
μN
mg
重力 2g をx、y成分に分解すること
θ
y方向は釣合の式
x方向は運動方程式を立てる。
まず、運動方程式を立てて加速度aを求める。
重力をx、y成分に分解すると、(− mgsin θ、− mgcos θ)
(運動方向(斜面に沿って上向き)を正としているので、x、y成分どちらも−がつく)
よって、y方向の釣合の式は、
N = m g cos θ・・・①
x方向は、加速度をaとして、運動方程式を立てると、
m a=− mgsin θ−μ N・・・②
ここで①を②に代入すると、
m a=− mgsin θ−μ m g cos θ=− m(sin θ+μ cos θ)g
∴
a=−(sin θ+μ cos θ)g・・・③
斜面を上がるにつれて減速していくので、加速度は負になる。
次に、t秒後の速度と位置を求め、物体が斜面に沿って上がりうる距離を求めるために、
等加速度直線運動の公式
(a)∼(c)を使う。
③で求めたaを公式に代入すると、t秒後の速度と位置は、
v = v0 - (sin J + m cosq ) gt
x = v0 t -
1
(sin q + m cosq ) gt 2
2
・・④
・・⑤
④式より、加速度がマイナスなので、物体の速さは初速からだんだん遅くなっていく。
速さが0となった時が最高点となり、その時の時刻は、
v = v 0 - (sin J + m cosq ) gt = 0
t=
v0
(sin q + m cos q ) g
より、
・・・⑥
上がりうる距離は、④を(b)に代入して、
x=
v02
2(sin q + m cosq ) g
・・・⑦
- 10 -
(別法)上がりうる距離sを求める時、等加速度直線運動の公式
v 2 - v 02 = 2 as
・・・(c)
を使っても良い。
最高点ではv=0,加速度は③式で与えられるので、これを(c)に代入すると、
s=
v 2 - v 02
0 - v02
v02
=
=
2a
2 × {- (sin q + m cosq ) g } 2(sin q + m cosq ) g
ここまでは、一般的に
m、θ、v o、μを使って問題を解いたが、
この問題では、m= 2(kg)、θ=30°、最初の位置x o =0,初速度v o =20なので、
これらの値を③∼⑦に代入して、
加速度
a=−6.6(m/s2)
t秒後の速度
v(t)=20−6.6t
t秒後の位置
x(t)=20t−3.3t2
止まるまでの時間
t=3.0(s)
登りうる距離
x=30.3(m)
<運動量保存則>
問題のポイント
衝突前後の運動量の和が保存されるので、運動量保存則を使う。
運動量保存則
mAvA +
mBvB =
m A v A’ +
m B v B’
で、
題意より、mA=1 kg、m B =2 kg、
衝突前の A, B の速度及び、衝突後の A の速度が与えられているので、
衝突後の B の速度v'B
が未知数であり、運動量保存則を使ってv'B を求める。
速度の符号に気を付けることがポイント
衝突前の A の進行方向(右向き)を正とするので、左向きの速度には−がつく
(1)(a)
図を書くと、
A
B
6 m/s
4 m/s
3 m/s
v'B?
正の向き(衝突前の A の進行方向が正)
衝突前の速度:vA=6 m/s、v B =−4 m/s(左向きなので−がつく)
、
衝突後の速度:v'A=−3 m/s、v'B
が未知数である。
これを運動量保存則に代入して、
- 11 -
1.6+2・
(−4)=1・
(−3)+2・v'B
∴
2・v'B
=1
よって、v'B
=0.5(m/s)
よって B は衝突後、速度0.5(m/s)、またv'B>0なので、右向きに動く。
(b)
30 m/s
6 m/s
v'B?
2 m/s
正の向き(衝突前の A の進行方向が正)
衝突前の速度:vA=30 m/s、v B =6 m/s、
衝突後の速度:v'A=−2 m/s(左向きなので−がつく)、v'B
が未知数である。
これを運動量保存則に代入して、
1.30+2・6=1・
(−2)+2・v'B
∴
2・v'B
=44
よって、v'B
=22(m/s)
よって B は衝突後、速度22(m/s)で右向きに動く。
(2)
v’
e=-
v'
v
Þ 0.6 = -
v'
\ v' = -6.0
10
v
上向きに 6.0 m/s
(3)
下向きを正に取ると、v=20, v’=−16
∴
e=-
v'
- 16
== 0.8
v
20
(4)(a)
30 m/s
6 m/s
2 m/s
10 m/s
正
右向きを正とすると、vA=30,vB=6, vA’=−2,vB’=10より、
e=-
v 'B - v' A
10 - ( - 2 ) 12
==
= 0 .5
vB - v A
6 - 30
24
(b)
A
B
6 m/s
4 m/s
3 m/s
5 m/s
右向きを正とすると、vA=6,vB=−4, vA’=−3,vB’=5より、
e=-
v' B - v' A
5 - ( - 3)
8
==
= 0 .8
vB - vA
-4-6
10
- 12 -
(5)衝突後の速度を右向きにvA,vB とし、右向きを正の向きとして図を書くと、
v1=3,
v2=−2
A
vA,
vB
B
0.10 kg
衝突後、どちらも正の向きに進むとする。
0.20 kg
正の向き
①
m1= 0.10 kg 、m2= 0.20 kg,v1=3,v2=−2,vA,vB が未知数。
運動量保存則
m1v1 +m2・v2=m1vA+m2 vB、
に代入すると、
0.1・3 + 0.2 ・(− 2)= 0.1 vA+ 0.2 vB
∴− 0.1
=
両辺を 10 倍して、
②
−1=vA+ 2 vB
・・・①
反発係数が0.8なので、
0 .8 = ③
0.1 vA+ 0.2 vB
vB - v A
v - vA
= B
( -2) - 3
5
∴
4= −vA+vB・・・②
以上より、①+②より、vA を消去して、
3=3vB
∴
vB=1、vB>0より右向きに 1.0 m/s
これを②に代入して、
vA=vB−4=−3 、 vA<0より左向きに 3.0 m/s
(6)
分裂の問題。運動量保存則を立てると、
MV=m(V−u)+(M−m)v
\ v=
( M - m )V + m u
m
=V +
u
M -m
M -m
(7)
- 13 -
衝突前後で運動量が保存されるので、
m 1 u 1 + m 2 u 2 = m1 v1 + m 2 v 2
・・①
反発係数が1なので、
e=-
v 2 - v1
=1
u 2 - u1
\
v 2 - v1 = - u 2 + u 1
①+m1×②より、
( m 1 + m 2 ) v 2 = ( m 2 - m 1 )u 2 + 2 m 1u 1
2 m1
m - m1
\ v2 = 2
u2 +
u1
m1 + m 2
m1 + m 2
同様にして、
v1 =
m1 - m 2
2m 2
u1 +
u2
m1 + m 2
m1 + m 2
- 14 -
・・②
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
1
File Size
465 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content