download

Matakuliah
Tahun
: Dinamika Struktur & Teknik Gempa
: S0774
GENERALIZED SOF SYSTEM
Pertemuan 14 - 15
Suatu struktur sederhana seperti balok kontilever atau balok diatas 2 tumpuan
Sebenarnya mempunyai infinite DOF (derajat kebebasan yang tak hingga).
Struktur / sistem tersebut tidak dapat disederhanakan menjadi suatu sistim
SDOF dengan menggunakan Shape Function = Fungsi Bentuk =  (x).
Fungsi bentuk  (x) menyatakan bentuk deformasi dari struktur yang bergetar,
sehingga jika nilai suatu deformasi di suatu lokasi tertentu diketahui, maka
dengan menggunakan fungsi bentuk tersebut dapat dicari nilai deformasi ditiap
lokasi pada struktur.
Dengan kata lain cukup 1 nilai deformasi yang harus dicari. Penyederhanaan
seperti ini disebut generalized SDOF
MDOF  SDOF

Shape Function / fungsi bentuk  (x)
Nilai massa m, kekakuan k, redaman c dan gaya luar p yang didapat dengan
memasukkan fungsi bentuk disebut :
Generalized Massa
m*
Generalized Spring Constant
k*
Generalized Damping Coefisien
c*
Generalized Force
p*
Ada 2 cara untuk memodelkan struktur MDOF menjadi SDOF dengan GSDOF :
Model kontinyu / distributed
Model tergumpal / diskrit
Fungsi Bentuk/Shape Function yang dipilih harus memenuhi syarat
batas untuk kasus struktur kontilever, ada banyak sekali kemungkinan
bentuk deformasi akibat gaya dinamik dan sebagainya.
Tetapi untuk GSDOF diambil bentuk deformasi yang paling “dasar” atau
fundamental yaitu
Sehingga dapat ditentukan syarat batasnya.
Misalnya pada x = 0   (x = 0) = 0
Berdasarkan syarat batas tersebut, masih banyak kemungkinan
persamaan yang bisa memenuhi untuk digunakan sebagai Fungsi Bentuk
/ Shape Factor
Diantaranya
 1 x   1 - cos
 2 x  
2
x
2L
x
L2
dan sebagainya
Untuk kasus balok dengan 2 tumpuan sebagai berikut
x



x

sin
1

L
 2  .....
Pada analisi GDOF, diasumsikan bahwa struktur berdeformasi dalam 1
bentuk tertentu atau mengkuti suatu Shape Function tertentu. Shape
Function sendiri ditentukan sebagai suatu pendekatan sehingga hasil
analisa juga merupakan suatu hasil pendekatan.
 tinggal dipilih 1(x) atau 2(x) yang akan digunakan sebagai Shape
function.
Setelah shape function ditentukan,
menghitung :
- Generalized m = m*
- Generalized k = k*
- Generalized c = c*
- Generalized p(t) = p(t)*
langkah
berikutnya
adalah
Model Kontinyu / distributed
L
m *   A  2 x  dx   m i  i
(3.1)
2
O
  2
k *   EI  2
 x
O
L
2

 dx   k i 1 2 dalam arah lentur

(3.2)
L
c *   cx  2 x  dx   c1 i
(3.4)
2
O
  
k *   EA 
 dx
 x 
O
2
L
dalam arah aksial
(3.3)
L
p * t    px 1 t  x  dx   p i 1
O
(3.5)
Contoh soal
Tentukan persamaan keseimbangan dinamik dalam generalized single
degree of freedom koordinat dari struktur dibawah ini
W1
F(t)
K1
L
/4
L
A : luas penampang balok
E : model elastisitas
I : momen inersia
ρ
/2
3
/4L
L

g
: = massa jenis
a.
Menentukan Shape Function
M1 
A
B
W1
g
U(x)
F(t)
misalkan U di c = z
U (x) =  (x).z
ZD
C
E
K1
Syarat batas yang harus dipenuhi
U(x = 0) = 0
  (0) = 0
L
U(x = /2) = z
 (L/2) = 1
U(x = L) = 0
 (L) = 0
x
  x   sin
memenuhi syarat batas tersebut.
L
a.
Menghitung m*
 
L
m *   ρ.A  2 x  dx  mi  x  L
O
L
 ρ.A  sin2
O
AL
b.
2

2
x
 L
dx  mi sin 2 

L
 h L
L
1

 ρA .  m1 
2
2
2



4
2
m1
2
Menghitung k*

  x  
k *   EI   2
dx  k 1  x  L
2 
4

x


O
2
L
L
  EI
O
4
2
 x 
 3L 
sin 2   dx  k 1 sin 2 

L
L
 4L 
4
4 L
1

 EI . 4
 k1 
2
L 2
2



EI  4 k 1

2 3
2
L
2
a.
Menghitung p*
p* = F(t) .  (x = L/2) = F(t)
b.
Persamaan dinamik
  k * Z  p *
m*Ζ
Adalah persamaan SDOF sesuai Bab II
Model Tergumpal
M* =  T M 
K* = T K 
P* = T F(t)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
dimana
M
: matrik massa
K
: matrik kekakuan
F
: matrik gaya luar dinamik

: fungís bentuk diskrit (berupa angka-angka / bukan persamaan)
Contoh soal : Portal geser
F3(t)
h
F2(t)
h
F1(t)
dimodelkan sebagai
h
m3
F3(t)
M3
K3
M2
F2(t)
K3
M2
K2
M1
K1
F1(t)
1
2/3
K1
1/3
Misalkan perpindahan paling atas = 1
a.
Menentukan Shape Function
1 /3 
 
   2 /3 
1 
 
b.
Menentukan matrik massa dan kekakuan
m 1 0 0 
M  0 m 2 0 
0 0 m 3 
k 1  k 2
K  - k 2

c.
- k2
k2  k3
- k3

- k 3 
k 3 
Menghitung m*
m1


T
m *  Ψ M  Ψ  1 2 1  m2 
3 3

m3

 m1 9  4m 2 9  m 3

1 
 3
2 
 3
1 
 
a.
Menghitung k*
k1  k 2 - k 2
K*  Ψ T KΨ  1 2 1 - k 2
k2  k3
3 3

- k2
1 
 3
 k1 k2 k2 k3 k3   3 
 3 3
3   3 
3 3
1 
 


= 1/9 (k1 – k2 + 2k2 – 2k3) + k3/3
= 1/9 [k1 + k2 + k3]
b.
Menghitung p*
F1 
p *  Ψ F  1 3 2 3 1 F2 
F3 
1
2
= F /3 + /3 F2 + F3
T
c.
Persamaan dinamik
m * z  k * z  p * t 
1 
  3
- k 2   2 
 3
k 3  1 
 
Thank You

Download Report