Modul 11.
Regresi & Korelasi Ganda
Regresi Berganda
Masalah disini adalah pendugaan atau peramalan
nilai peubah tak bebas Y berdasarkan hasil pengukuran beberapa peubah bebas x1, x2, …, xn
Misalnya : menduga kecepatan angin sebagai fungsi
dari ketinggian tempat diatas muka bumi, suhu dan
tekanan.
Persamaan untuk peramalan dapat diperoleh dengan
menggunakan prosedur kuadrat terkecil terhadap
data hasil pengukuran ketinggian tempat, suhu dan
tekanan untuk menghasilkan koefisien regresinya.
Contoh acak berukuran n dari populasi dapat dituliskan sebagai {x1i, x2i, …, xri, yi ; i = 1, 2 …,n)}
Persamaannya :
y = 0 + 1 x1 + 2 x2 + + r xr
0, 1, , r adalah parameter yang harus diduga
dari data.
Persamaan regresi contohnya adalah :
yˆ b0 b1x1 b2 x2 br xr
1
kita membatasi pada kasus dua peubah x1 dan x2
saja.
Pengetahuan mengenai matriks akan sangat membantu dalam melakukan manipulasi matematika.
Dengan hanya dua peubah bebas, persamaan regresi
contohnya menjadi :
yˆ b0 b1 x1 b2 x2
dan setiap nilai pengamatan memenuhi hubungan
yi b0 b1 x1i b2 x2i
Nilai dugaan kuadrat terkecil b0, b1 dan b2 dapat
diperoleh dengan memecahkan persamaan linear
simultan.
n
n
n
i 1
i 1
i 1
nb0 b1 x1i b2 x zi yi
n
n
n
n
i 1
i 1
b0 x1i b1 x b2 x1i x2i x1i yi
1i
1i
n
n
2
1i
n
n
b0 x2i b1 x1i x2i b2 x x2i yi
i 1
i 1
i 1
2
2i
i 1
Sistem persamaan linier ini dapat diselesaikan untuk
mendapatkan b1 dan b2 dengan beberapa cara yang
tersedia, antara lain kaidah cramer dan kemudian b0
dapat diperoleh dari persamaan pertama :
b0 y b1 x1 b2 x 2
2
Untuk masa kini, tersedia pula paked program
komputer yang dapat memperoleh nilai dengan
dugaan parameter pada regresi linear berganda
beserta analisis yang berhubungan dengan model
tersebut, seperti MINITAB, SAS, SPSS, SYSTAT dan
sebagainya.
Korelasi Ganda dan Partial
Korelasi linear (r) dan koefisien determinasi
diperoleh pada peubah X dan Y. Konsep ini dapat
diperluas pada kasus peubah ganda. Misalkan
hubungan antara nilai-nilai peubah tak bebas Y
dengan peubah bebas X1 dan X2.
Koefisien Determinasi Berganda contoh yang dilambangkan dengan R2y.1z , menunjukkan proporsi
keragaman total nilai-nilai peubah y yang dapat diterangkan oleh model yang digunakan :
R
2
y .12
JKG
1
(n 1) s y2
n
2
JKG yi yˆ i ,
i 1
yˆ merupakan nilai ramalan bagi Y
yang diperoleh dengan cara memasukkan (x1i, x2i),
untuk i = 1, 2, …, n kedalam persamaan regresi
berganda.
3
Rumus lain untuk menghitung JKG :
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
JKG y b0 yi b1 x1i yi b2 x2i yi
i 1
2
i
Untuk contoh acak {(x1i, x2i, yi ; i = 1, 2…,n)}
koefisien determinasi contoh R2y.12 didefinisikan
Ry2.12 1
JKG
n 1s y2
Koefisien Korelasi Partial contoh, dilambangkan
dengan ry2.1 yang mengukur korelasi antara y dan
x2 sementara x1 tetap diperhatikan tetapi dibuat
tetap.
Definisi Koefisien Korelasi Parsial.
Ukuran hubungan linear antara peubah-peubah y
dari x2, dengan x1 dibuat tetap, diduga dengan
koefisien korelasi parsial. Contoh : ry2.1, yang didefinisikan sebagai :
ry 2.1
ry 2 ry1r12
1 r 1 r
2
y1
2
12
ry2 = koefisien korelasi contoh biasa antara y dan x2
ry1 = koefisien korelasi contoh biasa antara y dan x1
r12 = koefisien korelasi contoh biasa antara x1 dan x2
4
Regresi Ganda Dengan Peubah Bebas X1 dan X2
yˆ b0 b1 X1 b2 X 2
Model dugaannya :
persamaan normalnya :
dan
b0n + b1X1 + b2X2 = Y
b0X1 + b1X12 + b2X1X2 = X1Y
b0X2 + b1X1X2 + b2X2 = X2Y
Peubah
X1,
X2
dan
Y
ditransformasikan
ke
x1 X1 X1 , x2 X 2 X 2 dan y Y Y
Sehingga persamaan normalnya berubah menjadi :
b1 x12 b2 x1 x2 x1 y atau
b1 x1 x2 b2 x22 x2 y
x1 x1x2
x x x2
12 2
2
b1 x1 y
dimana
b x y
2 2
2
2
X
X
1
2
x2 X 2
; x2 X 2
1
1
x1 x2 X 1 X 2
2
n
2
n
2
X 1 X 2
Y
2
2
; y Y
n
n
5
x1 y X 1Y
X 1 Y ; x
2 y X 2Y
n
X 2 Y
n
Dengan metode Cramer persamaan tersebut dapat
diselesaikan.
x1 y x1x2
x2 y
x22
x2
x1x2
x1x2
x22
x12
x1 y
b1
x1x2 x2 y
b1
x12
x1x2
x1x2
x22
x1 y x22 x2 y x1 x2
x12 x22 x1 x2 2
x x y x x x y
x x x x
2
1
2
2
1
1 2
2
2
1
2
1 2
Y
X1
X2
b1
b
2
atau
n
n
n
b 0 Y b1 X 1 b2 X 2
b0
Koefisien determinasi :
R2
b1 x1 y b2 x2 y
y2
6
V (b1 )
S e2 x22
2
x22 x1 x2
x
2
1
S b1 v(b1 )
V (b2 )
S b2 v(b2 )
t
b1
Sb1
x
2
1
S e2 x12
2
x22 x1 x2
x
2
1
S e2 x22
x22 x1 x2
S e2 x12
2
x22 x1 x2
x
2
1
merupakan statistik uji H0 : 1 = 0
H1 : 1 0
Demikian juga
b
t 2 merupakan statistik uji H : = 0
0
2
S b2
H1 : 2 0
Untuk menguji b1, b2 secara serentak dapat dibuat
KTRe g
F
sidik ragam untuk mencari statistik uji
KTgalat
7
SK
Reg.(b1,b2|b0)
db
k-1
JK
R2y2
KT
Galat
n-k
(1 – R2)y2
total
n-1
y2
R y
k 1
1 R2 y2
KTg .
nk
KTRe g
2
2
Fhit.
KTReg/KTg.
-
-
-
Data berikut berasal dari 8 runtunan percobaan yang
diukur pada dua peubah bebas dan satu respons Y :
Y
2
12
9
4
3
7
5
10
X1
1
7
5
3
4
6
2
8
X2
3
15
7
11
9
12
6
5
a. Tentukan persamaan regresi ganda Y = b0 + b1 X1
+ b2X2.
b. Hitung koefisien determinasi R2
c. Ujilah pengaruh X1, X2 terhadap Y dengan uji F
(sidik ragam)
d. Ujilah hipotesis H0 : 1 = 0 lawan H1 : 1 0 dan
H0 : 2 = 0 lawan H1 : 2 0
8
Jawab :
Lembaran olahan data
Y
X1
X2
X1X2
X12
X22
X 1Y
X 2Y
Y2
2
1
3
3
1
9
2
6
4
12
7
15
105
49
225
84
63
81
9
5
7
35
25
49
45
63
81
4
3
11
33
9
121
12
44
16
3
4
9
28
16
81
12
27
9
7
6
12
72
36
144
42
84
49
5
2
6
12
4
36
10
30
25
10
8
5
40
64
25
80
50
100
52
36
68
328
204
690
287
484
420
Penghitungan elemen matriks
reduksi pada persamaan normal
X1X dan X1y ter-
362
522
2
x 204
42
y 420
82
8
8
682
(36)(52)
2
x2 690
112
x1y 287
42
8
8
(36)(68)
(68)(52)
x1 x2 328
22
x2 y 484
42
8
8
2
1
42
persamaan normal
22
b1 53
112 b2
42
22
9
Dengan metode Cramer b1 dan b2 dihitung kemudian
dilanjutkan menghitung b0.
53 22
b1
42 112
42 22
53112 4222 5936 924 5012
42112 2222 4704 484 4220
4242 2253 1764 1166 598
42112 2222 4704 484 4220
22 112
b1 1,188
42 53
b2
22 42
42 22
22 112
b2 0,142
b0 Y b1 X 1 b2 X 2
b0 = 6,5 – 1,188 (4,5) – 0,142 (8,5)
= 6,5 – 5 , 346 – 1,207 = -0,053
persamaan regresi dugaan : Y = - 0,053 + 1,188X1 +
0,142X2
10
Jawaban
a). Y = - 0,053 + 1,188X1 + 0,142X2
b). Koefisien Determinasi R2 =
b1 x1 y b2 x 2 y
y2
1,188(53) 0,142(42) 62,964 5,964
R2
82
82
68,928
R2
0,841
82
R2
c). Analisis ragam
SK
db
JK
KT
Fhit.
Reg.(b1,b2|b0)
2
68,928
34,4640
13,182
Galat
5
13,072
2,6144
-
Total
7
82,000
-
-
Fhit. = 13,182 > F0,05(2;5) = 5,79 tolak H0.
d).
Sb1
2,6144112 0,263
4220
1,188
4,517 t0, 025 (v 5) 2,571
0,263
maka tolak H 0 pada taraf nyata 0,05
t
11
S b2
2,614442 0,161
4220
0,142
0,882 t0, 025 (v 5) 2,571
0,161
terima H 0 : 2 0
t
Tugas/ Latihan
1.
Diberikan data
y
2
5
7
8
5
x1
8
8
6
5
3
x2
0
1
1
3
4
Taksirlah persamaan regresi linier darab Y x1 . x2
= 0 + 1.x1 + 2.x2
2.
Kesepuluh pasangan data berikut berasal dari
suatu percobaan dengan dua peubah bebas x1
dan x2 dikendalikan sedangkan respon y diamati.
y
x1
X2
61.5
2400
54.5
61.2
2450
56.4
32.0
2500
43.2
52.5
2700
65.2
12
31.5
2750
45.5
22.5
2800
47.5
53.0
2900
65.0
56.8
3000
66.5
34.8
3100
57.3
52.7
3200
68.0
Taksirlah persamaan regresi linier darab Y x1 . x2
= 0 + 1.x1 + 2.x2
3.
Serentetan data percobaan diambil untuk menentukan cara memprediksikan waktu pembuatan
kokas (sejenis arang) y pada beberapa taraf lebar
tungku xi dan suhu corong x2. Data yang disandi
tercatat seperti berikut :
y
x1
X2
6.40
1.32
1.15
15.05
2.69
3.40
18.75
3.56
4.10
30.25
4.41
8.75
44.85
5.35
14.82
48.94
6.20
15.15
51.55
7.12
15.32
61.50
8.87
18.18
100.44
9.80
35.19
111.42
10.65
40.40
Taksirlah persamaan degresi darab Y x1 . x2 = 0
+ 1.x1 + 2.x2
13
4.
Diberikan data berikut :
X
0
1
2
3
4
5
6
7
Y
4.6
4.2
6.5
8.7
9.0
7.3
5.5
3.2
a). Cocokanlah kurva regresi berbentuk Y x1 . x2
= 0 + 1.x + 2.x2
b). Taksirlah Y bila x = 5
5.
Suatu percobaan diadakan untuk menentukan
apakah darah yang beredar diotak manusia dapat
diprediksikan dari tekanan oksigen pada arteri
(dalam milimeter air raksa). Limabelas penderita
digunakan dalam penelitian tersebut dan data
berikut diamati.
Darah yang
beredar
Tekanan
oksigen pada
arteri
Darah yang
beredar
Tekanan
oksigen pada
arteri
Y
x
Y
x
84.33
603.140
75.22
404.00
87.80
582.50
76.58
484.00
52.20
556.20
77.90
452.40
78.21
594.60
78.80
448.40
78.44
558.90
80.67
334.80
83.53
580.10
86.60
320.30
79.46
451.20
78.20
350.30
Taksirlah persamaan bentuk kuadrat Y x = 0 +
1.x + 2.x2
14
6.
Data percobaan yang disandi berikut ini mengenai
kempa sejenis logam campuran pada berbagai
konsentrasi sejenis zat tambahan.
Konsentrasi
Tekanan kempa
x
y
10.0
25.2
27.3
28.7
15.0
29.8
31.1
27.8
20.0
31.2
32.6
29.7
25.0
31.7
30.1
32.3
30.0
29.4
30.8
32.8
a). Taksirlah persamaan regresi bentuk kuadrat
Y x = 0 + 1.x + 2.x2
b). Ujilah kekurangcocokan model tersebut.
7.
Diberikan data
X
0
1
2
3
4
5
6
Y
1
4
5
3
2
3
4
a). Cocokanlah model pangkat tiga Y x = 0 +
1.x + 2.x2 + 3.x3
b). Prediksikan Y bila x = 2
15
© Copyright 2024 Paperzz
