Modul 8
Regresi Linier dan Korelasi
1. Konsep Dasar
Suatu contoh acak ukuran n dengan himpunan
{(xi,yi); I=1,2,…,n}. Harga yi pada pasangan terurut
(xi,yi), merupakan harga dari suatu peubah acak Yi.
= Y/X yaitu peubah acak Y yang berkaitan dengan
suatu nilai tetap x dengan rataan Y/X dan varians
Y2 / X
.
Regresi linear berarti bahwa rataan Y/X berkaitan
linear dengan x dalam bentuk persamaan linear
populasi
μ Y/X β 0 β1x
Parameter:
μ Y/X diduga dengan ŷ
0 diduga dengan b0
1 diduga dengan b1
Persamaan regresi dugaannya:
yˆ b0 b1x
1
2. Metode Kuadrat Terkecil
JKG = Jumlah Kuadrat Galat (sisa) dibuat minimum
n
n
n
JKG e (y i ŷ i ) (y i b 0 b i x i ) 2
i 1
2
i
2
i 1
i 1
n
( JKG)
2 (y i b0 bi x i ) 0
b0
i1
n
(JKG)
2 (y i b0 bi x i )x i 0
b1
i1
Persamaan normal menjadi
n
n
i 1
i 1
nb 0 b1 x i y i
n
n
i 1
i 1
n
b 0 x i b1 x i x i yi
2
i 1
dan diperoleh penduga b1dan b0
n
b
n
n x y ( x )( y )
i
i 1
i
n
i 1
n
2
i 1
i
n
0
i
i 1
n x ( x )
1
b
n
i 1
2
i
n
y b x
i 1
i
i
1
i 1
i
n
2
JKG Jyy b1Jxy
,
n
n
n
( y i ) 2
i 1
i 1
n
J yy (y i y) 2 yi2
i 1
n
n
n
( x i ) 2
i 1
n
J xx (x i x ) x i2
2
i 1
i 1
n
n
i 1
i 1
n
n
( x i )( y i )
i 1
i 1
n
J xy (x i x )(y i y) x i y i
2
JKG Jyy b1Jxy Jyy b1 jxx
S
n2
n2
n2
2
3. Inferensia Mengenai Kuefisien Regresi dan
Ramalan (Prediksi
Selang kepercayaan (1 - ) 100% untuk
parameter 1 dalam persamaan regresi x/y = 0
+ 1 x adalah
b1
t1/2α s
t
s
β1 b1 1/2α
Jxx
Jxx
dimana
t1/2 = nilai sebaran t dengan derajat
bebasan n – 2
3
Statistik uji untuk menguji H0 : 1 = 10
t
b1 10
s / J xx
Selang kepercayaan (1 - ) 100 % untuk
parameter 0 dalam per-samaan garis regresi
x/y = 0 + 1 x adalah
n
t1/ 2α s
b0
xi
t1/ 2α s
2
i 1
β0 b0
n J xx
n
2
x
i
i 1
n J xx
dimana
t1/2 = nilai t dengan derajat bebas n-2 dan
Statistik uji untuk menguji H0 : 0 = 10
b0 β10
t
n
s
x /nJ
2
i
xx
i1
Selang kepercayaan (1 respons
μ y/x0
) 100% untuk rataan
diberikan oleh :
1 (x 0 x)
1 (x 0 x) 2
yˆ 0 t 2 .S
y1x 0 ŷ 0 t 2S
n
J xx
n
J xx
4
Dimana t/2 = nilai sebaran t dengan derajat
bebas n-2.
Selang kepercayaan (1 - )100% untuk respons
y0 yang tunggal diberikan oleh
1 (x 0 x)2
1 (x 0 x)2
ŷ 0 t / 2 s 1
y 0 ŷ 0 t / 2 s 1
n
J xx
n
J xx
dimana t/2 = nilai sebaran t dengan derajat
bebas n-2.
4. Pendekatan Melalui Analisis Varians
Baik tidaknya taksiran (dugaan) persamaan
regresi dapat diperiksa dengan analisis varian
Jy y b1Jxy JKG atau
n
(y
i1
n
i
n
y ) (yˆ i y ) (y i yˆ i )2
2
2
i1
i1
JKT JKR JKG
JKT = Jumlah Kuadrat Total
JKR = Jumlah Kuadrat Regresi
JKG = Jumlah Kuadrat Galat
5
Statistik uji untuk H0 :
tandingannya :
F
1 = 0 dan hipotesis
JKR/1
JKR
2
JKG/(n 2)
S
Keputusan menolak H0 bila
F > f(1,n-2)
Analisis varians pengujian 1 = 0
Sumber
Variansi
Regresi
Galat
Total
Jumlah
Kuadrat
JKR
JKG
Derajat
Bebas
1
n-2
JKT
n-1
Rataan
Kuadrat
JKR
S2
JKG
n2
-
F hitung
JKR/S2
-
5. Korelasi
Analisis korelasi berusaha mengukur eratnya
hubungan antara dua peubah dengan menggunakan suatu bilangan yang disebut koefisien korelasi.
Koefisien kolerasi populasi antara dua peubah
X dan Y ditaksir dengan koefisien korelasi contoh
(sampel) r dengan
6
r b1
r2
J xy
J xx
J yy
J xx J xy
J 2xy
J xx J yy
JKR
J yy
r2 = R2 disebut koefisien determinasi. Untuk data
bebas sebaran koefisien kolerasi ditaksir dengan
koefisien korelasi Spearman = rs
n
rs 1
6 d i2
i 1
2
dimana
n (n 1)
di = selisih peringkat (rank) x dan y
6. Inferensia Tentang Koefisien Korelasi
Pengujian H0 : = 0 dapat digunakan statistik uji
t
r n2
1 r2
Wilayah kritiknya :
t < - t ( = n – 2) bila H1 : < 0
t > - t ( = n – 2) bila H1 : > 0
t < - t/2 ( = n – 2) atau
t > t/2 (=n-2)
7
Pengujian H0 :
uji Z.
= 0 dapat digunakan statistik
Z
n 3 (1 r )(1 0 )
n
2
(1 r )(1 0 )
Keputusan menolak H0 :
= 0 bila
Z < - Z untuk H1 : < 0
Z > - Z untuk H1 : > 0
Z < - Z/2 atau Z > Z/2 untuk H1 :
0
TUGAS / LATIHAN :
1. Perhatikan data berikut :
X
10.0
10.5
11.0
11.5
Y
18.7
21.5
18.5
19.6
X
13.5
14.0
14.5
15.0
Y
22.4
23.3
19.6
23.8
12.0
12.5
13.0
18.2
20.8
21.6
15.5
16.0
21.7
23.2
a) Taksirlah garis regresi linear
b) Gambarlah garis itu pada diagram pencar
c) Hitunglah suatu titik taksiran Y / 12
8
2. Dilakukan suatu penelitian mengenai banyak gula
yang dihasilkan dalam suatu proses pada suhu
yang berlainan. Data (setelah disandi) adalah
sebagai berikut :
X, temperatur
1.0
1.1
Y, gula dihasilkan
8.1
7.8
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
8.5
9.8
9.5
8.9
8.6
1.7
1.8
1.9
2.0
10.2
9.3
9.2
10.5
a) Taksirlah garis regresi linear
b) Taksirlah banyak gula yang dihasilkan bila
suhu (setelah disandi) 1.75
3. Dalam suatu pengujian sejenis bahan, tekanan
normal atas bahan tersebut diketahui berkaitan
secara fungsional dengan tahanan. Berikut ini
adalah data percobaan mengenai kedua peubah
itu setelah disandi.
9
X, tekanan normal
26.8
25.4
Y, tahanan
26.5
27.3
28.9
23.6
27.7
24.2
27.1
23.6
23.9
24.7
25.9
26.3
28.1
26.9
22.5
21.7
27.4
22.6
21.4
25.8
25.6
24.9
a) Taksirlah garis regresi Y / X = x
b) Taksir tahanan bila tekanan normal 24.5 kg /
cm2
4. Data berikut menyatakan banyak zat yang tidak
bersenyawa ( ŷ ) dari enam reaksi kimia yang
sejenis sesudah X menit :
X (menit)
1
2
2
3
5
5
Y (mg)
23.5
16.9
17.5
14.0
9.8
8.9
10
a) Cocokkanlah kurva berbentuk Y / X = x
dengan menggunakan persamaan regresi non
linear sampel ŷ = cdx
Petunjuk : tulis
log ŷ = log c + (log d) x
= a + bx
dengan a = log c dan b = log d, kemudian
taksir a dan b dengan rumus pada pasal 8.2
menggunakan titik-titik sampel (xi,, log yi)
b) Taksirlah jumlah zat yang tidak bersenyawa
dalam reaksi seperti ini sesudah 4 menit
5. Tekanan (P) dari gas menurut isi (V) yang
berlainan adalah sebagai berikut :
V (cm3)
P (kg cm2)
50
60
70
90
100
64.7
51.3
40.5
25.9
7.8
Hukum gas ideal diberikan oleh persamaan PV=
C, dengan dan C tetapan
a) Dengan mengikuti cara kerja seperti pada soal
4, hitunglah taksiran kuadrat terkecil dari dan
C dari data di atas
b) Taksir bila V = 80 cm3
11
6. Buatlah selang kepercayaan 95% untuk banyaknya gula yang dihasilkan pada nilai x = 1.6 dalam
soal 2
7. (a) Hitunglah taksiran kuadrat terkecil untuk
parameter dalam persamaan linear Y / X = x
(b) Taksirlah garis regresi yang melalui titik asal
untuk data berikut.
x
0.5
1.5
3.2
4.2
5.1
6.5
y
1.3
3.4
6.7
8.0
10.0
13.2
8. Misalkan pada soal 7 tidak diketahui apakah garis
regresi sesungguhnya melalui titik asal atau tidak.
Taksirlah model regresi linear umum Y / X =
x dan ujilah hipotesis bahwa = 0 pada
taraf keberartian 0.10 lawan alternatif bahwa
0.
9. Gunakanlah pendekatan analisis variansi untuk
menguji bahwa = 0 lawan alternatif 0 pada
soal 2 gunakan taraf keberhasilan 0.05 sebelumnya telah dihitung.
10. Banyaknya suatu senyawa kimia y yang larut
dalam 100gr air pada suhu yang berlainan dicatat
seperti pada tabel berikut :
12
X (C)
Y (gram)
0
8
6
8
15
12
10
14
30
25
21
24
45
1
33
28
60
44
39
42
75
48
51
44
a) Carilah persamaan garis regresi.
b) Taksirlah banyaknya senyawa yang larut
dalam 100gr air pada 500 C.
c) Ujilah kesesuaian model linear.
11. Berat yang berkurang bila suatu bahan dikeringkan pada jangka waktu yang berlainan adalah
sebagai berikut :
X (jam)
4.4
4.5
4.8
5.5
5.7
5.9
6.3
6.9
7.5
7.8
Y (gram)
13.1
9.0
10.4
13.8
12.7
9.9
13.8
16.4
17.6
18.3
14.2
11.5
11.5
14.8
15.1
12.7
16.5
15.7
16.9
17.2
13
a) Taksirlah persamaan garis regresi
b) Ujilah kesesuaian model linear
c) Buatlah selang kepercayaan 90%
koefisien
untuk
12. Hitung dan tafsirkan koefisien korelasi untuk data
berikut :
x
y
4
16
5
22
9
11
14
16
18
7
22
3
24
17
13. Hitung dan tafsirkan koefisien korelasi untuk nilai
enam siswa yang dipilih secara acak sebagai
berikut :
Nilai Matematika
70
92
80
74
65
83
Nilai Sejarah
74
84
63
87
78
90
14. Hitunglah koefisien korelasi untuk peubah acak
pada soal no 7 dan ujilah hipotesis bahwa = 0
lawan alternatif 0. Gunakan taraf keberartian
0.05.
14
© Copyright 2024 Paperzz
