Modul 3.
Peubah Acak Diskrit dan Sebaran Peluang
1. Konsep Dasar
 Peubah Acak: suatu fungsi yang mengaitkan
suatu bilangan real pada setiap unsur dalam
ruang contoh
 Jika suatu ruang contoh mengandung titik yang
berhingga banyaknya atau sederetan anggota
yang banyaknya sebanyak bilangan bulat
maka ruang contoh itu dinamakan ruang
contoh diskrit.
 Bila ruang contoh mengandung titik contoh
yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya
sebanyak titik pada sepotong garis, maka
ruang contoh itu disebut ruang contoh kontinu.
Sebaran Peluang Diskrit
Hasil eksperimen pelemparan sekeping mata uang
seimbang sebanyak 3 kali diperoleh ruang contoh.
S = {BBB,BBM,BMB,MBB,BMM,MBM,MMB,MMM}
X = {0, 1, 2, 3}
X = banyaknya sisi muka = M muncul
P {
1 3 3 1
, , , }
8 8 8 8
1
Sebaran peluangnya menjadi:
X=x
0
f(x)=P(X=x) 1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
1/8, untuk x = 0,3
3/8, untuk x =1,2
0 , untuk x lainnya
f(x) =
Grafik balok (garis) nya:
f(x)
3
8
2
8
1
8
0
1
2
3
X
2
Himpunan pasangan terurut ( x , f(x)) merupakan suatu
fungsi peluang, fungsi massa peluang atau sebaran
peluang peubah acak X bila, untuk setiap kemungkinan
hasil X :
 f(x)  0
  f(x)  1
x
 P(X  x)  f(x)
Sebaran kumulatif atau fungsi sebaran F(x) suatu
peubah acak X dengan sebaran peluang f(x) dinyatakan
oleh:
F(x)  P(X  x)   f(t) untuk    x  
t x
Dari pelemparan mata uang seimbang 3 kali:
F(x) =
0, x < 0
1/8, 0  x < 1
4/8, 1  x < 2
7/8, 2  x < 3
1, x  3
3
F(x)
1
6
8
4
8
2
8
.. . .
..
.. .
.
1
2
X
3
Sebaran kumulatif peubah acak diskrit
2. Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak
 Nilai harapan peubah acak X dengan fungsi
peluang f(x)= E(x)= 
E ( x)   xP( X  x)   xf ( x)
x
x
4
Pada sebaran peluang:
X
f(x)
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
1
 3
 3
1
E(X)  0    1    2    3    1,5
8
8
8
8
 Momen peubah acak X = k
μk  E(x k ), dengan k  1,2,...
μk  E(x k )   x k f(x)
x
μ2  E(x 2 )   x 2 f(x)
x
1
3
3
1
μ2  E(x 2 )  0 2     12    2 2    3 2    3
8
8
8
8
 Ragam dan Simpangan Baku Peubah Acak X

  X
V(x)  σ  E (x  μ) 
2
2
1 j 
σ  σ2 
 X
1 j 
j
 μ  f(x j )
2
j
 μ  f(x j )
V(x) = 2 = ragam peubah acak X
 = simpangan baku peubah acak X
5
3. Fungsi Peluang Sebaran Hipergeometrik
 D  N  D 
 

x  n  k 

h( x ) 
N
 
n
maks (0,n – (N-D)  x  min (n,D)
Contoh soal:
Suatu kotak berisi 40 suku cadang dikatakan
memenuhi syarat penerimaan bila berisi tidak lebih
dari 3 yg cacat. Cara pengambilan contoh (sampel)
acak ialah dengan memilih 5 suku cadang secara
acak dari dalamnya dan menolak kotak tersebut bila
diantaranya ada yang cacat. Berapakah peluang
mendapatkan tepat satu yang cacat dalam contoh
acak berukuran 5. Bila kotak tersebut berisi 3 yang
cacat.
Petunjuk: N = 40, n = 5, D = 3, dan x = 1
Nilai tengah =  dan ragam = 2 dari peubah acak X
yang menyebar secara Hipergeometrik:

nD
N
D  N  n 
 D 
; σ 2  n  1  

N  N  1 
 N 
6
Pada soal di atas:
5(3) 15 3

 .,
40 40 8
3  40  5  3885
 3 
 2  5 1  
 0,311

 40  40  40  1  12480
μ
4. Fungsi Peluang Sebaran Binom



b x; n, p  
n x
n x
 p 1  p  , x  0,1,...., n
 x
Contoh soal:
Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan
tertentu dengan peluang ¾. Hitunglah peluang
bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak
akan rusak:
Petunjuk : p = ¾ , n = 4, x = 2
Contoh soal: (dapat menggunakan tabel Binom)
Peluang untuk sembuh seorang penderita penyakit
darah yang jarang adalah 0,4. Bila diketahui 15
orang yang telah mengidap penyakit tersebut,
berapakah peluangnya:
(a) paling sedikit 10 akan sembuh
(b) antara sama dengan 3 sampai sama dengan 8
akan sembuh
(c) tepat lima yang sembuh
7
Petunjuk:
9
(a ) P x  10  1  P x  10  1   bx; 15 , 0,4
x 0
8
2
x 0
x 0
(b) P(3  x  8)   bx; 15 , 0,4   bx; 15 , 0,4 
 Nilai tengah peubah acak X yg menyebar secara
Binom =  = np dan ragamnya 2 = np(1-p)
5. Fungsi Peluang Sebaran Poisson
e   x
P ( x ; ) 
, x  0, 1, ...
x!
0
Contoh soal:
Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yg meliputi
suatu penghitung selama 1 milidetik dalam suatu
percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah
peluang 6 partikel melewati penghitung dalam 1
milidetik tertentu?
Petunjuk : x = 6,  = 4
8
Contoh soal: (dapat menggunakan tabel Poisson)
Rata-rata banyaknya tangker minyak yang tiba tiap
hari di suatu pelabuhan adalah 10. Pelabuhan
tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15
tangker sehari. Berapakah peluang pada suatu hari
tertentu tangker terpaksa ditolak karena pelabuhan
tak mampu melayaninya?
Petunjuk :
 = 10, P(x >15) = 1 – P(x  15)
 Nilai tengah peubah acak X yang menyebar
secara Poisson =  dan ragamnya 2 = .
6. Sebaran (Fungsi) Peluang Gabungan (Bivariat)
Fungsi f(x,y) merupakan sebaran peluang gabungan
atau fungsi massa peluang gabungan dari peubah
acak diskrit X dan Y bila
 f(x,y)  0 untuk semua (x, y)

  f(x, y)  1
x
y
 P(X = x, Y = y) = f(x, y)
Untuk setiap daerah A pada bidang datar xy,
P(( x, y )  A   A f(x, y)
9
Contoh soal:
Dua isi pallpoint dipilih secara acak dari sebuah
kotak yang berisi 3 isi warna biru, 2 merah, dan 3
hijau. Bila X menyatakan banyaknya yang berwarna
biru dan Y warna merah yang terpilih. Hitunglah:
a. Peluang gabungan (f(x,y)
b. P[(x,y)  A], bila A adalah daerah {(x,y)| x+y ≤ 1}
Jawab :
a). f(x,y) yang mungkin adalah f(0,0), f(0,1), f(1,0),
f(1,1), f(0,2) dan f(2,0)
    dengan x  0, 1, 2
f ( x, y ) 

3
x
2
y
3
2 x  y
8
2
y  0, 1, 2
0x  y2
b). P[(x,y)
 A] = P(x + y ≤ 1)
= f(0,0) + f(0,1) + f(1,0)
3
6
9 18 9


= 28 28 28  28  14
Sebaran marginal dari X saja adalah
g(x) =
 f(x, y) dan h(y)   f(x, y)
y
x
10
untuk peubah acak diskrit
2
P x  1  g (0) 
 f(0, y) 
10
28
y 0
5
14
2
P x  1  g (1) 
 f(1, y) 
15
28
y 0
P  x  2   g ( 2) 
2
 f(2, y) 
y 0
P  y  0   h ( 0) 
3
28
2
 f(x,0) 
x 0
P y  1  h(1) 

15
28
2
 f(x,1) 
x 0
P  y  2   h ( 2) 
12
28

3
7
2
 f(x,2) 
x 0
1
28
Ambil X dan Y sebagai dua peubah acak diskrit
maupun kontinu. Sebaran peluang bersyarat
peubah acak X, bila Y = y diketahui dinyatakan
dengan
f(x | y) 
f(x, y)
dan g(x)  0
g(x)
P(a  x  b | Y  y)   f(x | y)
x
11
Tugas/latihan
1.
Sebuah peubah acak diskrit X mempunyai 5
kemungkinan nilai = 2, 3, 5, 8 dan 10. Sebaran
peluangnya sebagai berikut:
X
P(x)
2
0,15
3
0,10
5
8
0,25
10
0,25
a. Tentukanlah P(5)
b. Berapakah peluang bahwa x sama dengan atau
sepuluh?
c. Hitunglah peluang P(x ≤ 8)
(soal no.4.7, Buku 2)
2.
Peubah acak X mengikuti sebaran peubah acak
diskrit sebagai berikut:
X
10
0,2
11
0,3
12
0,2
13
0,1
14
0,2
Nilai X mempunyai nilai yang tidak menenggang
sesamanya (mutually exclusive event) maka
tentukan:
a. P(X ≤ 12)
b. P(X > 12)
c. P(X ≤ 14)
d. P(X = 14)
e. P(X ≤ 11 atau X > 12)
(Soal no.4.9, Buku 2)
12
3.
Tentukan nilai C sedemikian sehingga fungsi
berikut merupakan fungsi peluang diskrit peubah
acak X:
a. f(x) = c (x2 + 4) untuk x = 0,1, 2, 3
b. f(x) =
4.
c
   , untuk x = 0,1, 2
2
x
Sebuah perusahaan investasi menawarkan kepada
para pelanggan obligasi pemda yang jatuh tempo
pada jumlah tahun yang berbeda dengan sebaran
kumulatif T, jumlah tahun jatuh tempo untuk sebuah
obligasi yang dipilih secara acak adalah:
F (t) =
Carilah:
a. P(T = 5)
5.
3
3- x
0
1/4
1/2
3/4
1
,
,
,
,
,
t<1
1≤t<3
3≤t<5
5≤t<7
t≥7
b. P(T > 3)
c. P(1,4 < T < 6)
Sebaran peluang peubah acak X, jumlah ketidak
sempurnaan per 10 meter kain tenun sintesis
dalam gulungan kontinu dengan lebar seragam
diberikan oleh
X
P(x)
0
0,41
1
0,37
2
0,16
3
0,05
4
0,01
Buatlah fungsi sebaran kumulatif p.a.X
13
6.
Suatu pengiriman 7 set TV berisi 2 set cacat.
Sebuah hotel melakukan pembelian secara acak
3pct TV dari semua set TV yang ada. Bila X adalah
jumlah set TV yang cacat yang dibeli oleh hotel
tersebut
a. Carilah sebaran peluang peubah acak X
b. Nyatakan hasilnya secara grafis sebagai
sebuah histogram peluang
c. Tentukan fungsi sebaran peluang kumulatif =
F(x)
d. Berdasarkan hasil (c) hitunglah P(X = 1) dan
P(0 < X ≤ 2)
e. Buatlah grafik dari sebaran kumulatifnya.
7.
Tentukan nilai e sehingga fungsi-fungsi berikut
mewakili sebaran peluang gabungan dari peubah
acak X dan Y.
a. f(x,y) = cxy, untuk x = 1, 2, 3; y = 1, 2, 3
b f(x,y) = c |x – y|, untuk x = -2, 0, 2; y = -2, 3
8.
Bila sebaran peluang gabungan X dan Y diberikan
oleh:

x  y
f(x, y) 
, untuk x
30
Carilah :
a. P(X ≤ 2, Y = 1)
c. P(X > Y)
 0, 1, 2, 3; y  0, 1, 2
b. P(X > 2, Y ≤ 1)
d. P(X + Y = 4)
14
9.
Misalkan X menunjukan jumlah waktu sebuah
mesin kendali numerik tertentu akan mengalami
kerusakan = 1, 2, atau 3 kali pada setiap hari. Y
menunjukan beberapa kali seorang teknisi dipanggil pada suatu panggilan darurat.
Sebaran peluang gabungan mereka adalah:
F(x,y)
Y
x
2
0,05
0,10
0,20
1
0,05
0,05
0
1
2
3
3
0,10
0,35
0,10
a. Tentukan sebaran marginal dari X
b. Tentukan sebaran marginal dari Y
10. Sebaran peluang peubah acak diskrit X adalah
f(x) 
    
3
x
1 x
4
1
4
3-x
, x  0, 1, 2, 3,
Carilah nilai tengah X
11. Carilah jumlah rata-rata ketidaksempurnaan per 10
meter tenunan pada soal no.5.
12. Seorang petugas sebuah pencucian mobil dibayar
sesuai dengan jumlah mobil yang lewat. Andaikan
1
1
1
1
1
1
peluangnya adalah 12 , 12 , 4 , 4 , 6 dan 5 . Bahwa
petugas tersebut memperoleh masing-masing $7,
$9, $11, $13, $15 dan $17 antara jam 4.00 sore
dan 5.00 sore pada setiap hari jum’at, carilah
15
pendapatan yang diharapkan petugas tersebut
untuk hari khusus ini.
13. Berdasarkan pengalaman dari 1000 pekerja di
suatu perusahaan, 400 adalah laki-laki. Jika suatu
saat tertentu ada 5 orang yg mengajukan lamaran
ke perusahaan tersebut, hitunglah peluang bahwa
jumlah pelamar laki-laki ada:
a. 3 orang
b. Kurang dari 2 orang
c. Paling sedikirt 4 orang
14. Peluang bahwa seorang pasien sembuh dari
sebuah operasi jantung yang sulit adalah 0,9.
Berapakah peluang bahwa kurang dari 4 pasien
dari 7 pasien berikutnya yang mengalami operasi
ini adalah selamat.
15. Seorang ahli teknik lalulintas melaporkan bahwa
75% dari kendaraan yang melintas berasal dari
suatu kabupaten tertentu. Berapakah peluang
bahwa kurang dari 5 kendaraan untuk 9 kendaraan
berikutnya yang melintas berasal dari kabupaten
yang dimaksud.
16. Dalam sebuah keranjang terdapat 8 butir telur asin
dan tidak diketahui bahwa ada tiga diantaranya
rusak. Seorang pembeli mengambil 4 telur asin
tersebut secara acak. Jika peubah acak X adalah
banyaknya telur yang rusak terambil oleh pembeli:
16
a. Tentukan nilai-nilai peubah acak X yang mungkin
b. Tentukan pula sebaran peluangnya
c. Hitunglah nilai harapan dan ragam p – a – X
17. Untuk menghindari deteksi oleh bea cukai, seorang
penumpang menempatkan 6 tablet narkotik didalam sebuah botol yang berisi 9 pil vitamin yang
penampakannya sama. Bila petugas bea cukai tersebut memilih 3 tablet secara acak untuk dianalisis.
Berapakah peluang penumpang tersebut akan di
tangkap karena memiliki narkotik secara tidak sah?
18. Dari 10 tumpukan peluru, 4 dipilih secara acak dan
ditembakan. Bila tumpukan itu berisi 3 peluru cacat
yg tidak dapat meledak, berapakah peluang bahwa:
a. Keempat peluru itu akan meledak
b. Paling banyak 2 peluru yang akan meledak
19. Peluang seorang akan mati karena SARS adalah
0,002. carilah peluang kurang dari 5 untuk 2000
berikutnya yang terinfeksi SARS akan mati.
20. Andaikan bahwa rata-rata 1 orang dalam 1000 melakukan kesalahan historis didalam menyiapkan
pengembalian formulir pajak penghasilannya. Bila
10.000 formulir dipilih secara acak dan diperiksa,
carilah peluang 6, 7 atau 8 formulir tersebut berisi
suatu kesalahan.
17

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download