download

Modul 3. (Pendukung Pert 4)
Peubah Acak Diskrit dan Sebaran
Peluang
1. Konsep Dasar
 Peubah Acak: suatu fungsi yang mengaitkan
suatu bilangan real pada setiap unsur dalam
ruang contoh
 Jika suatu ruang contoh mengandung titik
yang berhingga banyaknya atau sederetan
anggota yang banyaknya sebanyak bilangan
bulat maka ruang contoh itu dinamakan
ruang contoh diskrit.
 Bila ruang contoh mengandung titik contoh
yang tak berhingga banyaknya dan
banyaknya sebanyak titik pada sepotong
garis, maka ruang contoh itu disebut ruang
contoh kontinu.
Sebaran Peluang Diskrit
Hasil eksperimen pelemparan sekeping mata uang
seimbang sebanyak 3 kali diperoleh ruang contoh.
S = {BBB,BBM,BMB,MBB,BMM,MBM,MMB,MMM}
X = {0, 1, 2, 3}
X = banyaknya sisi muka = M muncul
P {
1 3 3 1
, , , }
8 8 8 8
1
Sebaran peluangnya menjadi:
X=x
0
f(x)=P(X=x) 1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
1/8, untuk x = 0,3
3/8, untuk x =1,2
0 , untuk x lainnya
f(x) =
Grafik balok (garis) nya:
f(x)
3
8
2
8
1
8
0
1
2
3
2
Himpunan pasangan terurut ( x , f(x)) merupakan
suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang atau
sebaran peluang peubah acak X bila, untuk setiap
kemungkinan hasil X :
 f(x)  0
  f(x)  1
x
 P(X  x)  f(x)
Sebaran kumulatif atau fungsi sebaran F(x) suatu
peubah acak X dengan sebaran peluang f(x)
dinyatakan oleh:
F(x)  P(X  x)   f(t) untuk    x  
t x
Dari pelemparan mata uang seimbang 3 kali:
F(x) =
0, x < 0
1/8, 0  x < 1
4/8, 1  x < 2
7/8, 2  x < 3
1, x  3
3
F(x)
1
6
8
4
8
2
8
.. . .
..
.. .
.
1
2
X
3
Sebaran kumulatif peubah acak diskrit
2. Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak
 Nilai harapan peubah acak X dengan fungsi
peluang f(x)= E(x)= 
E ( x)   xP( X  x)   xf ( x)
x
x
4
Pada sebaran peluang:
X
f(x)
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
1
 3
 3
1
E(X)  0    1    2    3    1,5
8
8
8
8
 Momen peubah acak X = k
μ k  E(x k ), dengan k  1,2,...
μ k  E(x k )   x k f(x)
x
μ 2  E(x 2 )   x 2 f(x)
x
1
 3
 3
1
μ 2  E(x 2 )  0 2     12    2 2    32    3
8
8
8
8
 Ragam dan Simpangan Baku Peubah Acak X

  X
V(x)  σ 2  E (x  μ)2 
1 j 
σ  σ2 
 X
1 j 
j
 μ  f(x j )
2
j
 μ  f(x j )
V(x) = 2 = ragam peubah acak X
 = simpangan baku peubah acak X
5
3. Fungsi Peluang Sebaran Hipergeometrik
 D  N  D 
 

x  n  k 

h( x ) 
N
 
n
maks (0,n – (N-D))  x  min (n,D)
Contoh soal:
Suatu kotak berisi 40 suku cadang dikatakan memenuhi syarat penerimaan bila berisi tidak lebih
dari 3 yang cacat. Cara pengambilan contoh
(sampel) acak ialah dengan memilih 5 suku
cadang secara acak dari dalamnya dan menolak
kotak tersebut bila diantaranya ada yang cacat.
Berapakah peluang mendapatkan tepat satu
yang cacat dalam contoh acak berukuran 5. Bila
kotak tersebut berisi 3 yang cacat.
Petunjuk: N = 40, n = 5, D = 3, dan
x=1
Nilai tengah =  dan ragam = 2 dari peubah
acak X yang menyebar secara Hipergeometrik:

nD
N
D  N  n 
 D 
; σ 2  n  1  

N  N  1 
 N 
6
Pada soal di atas:
5(3) 15 3

 .,
40 40 8
3  40  5  3885
 3 
 2  5 1  
 0,311

 40  40  40  1  12480
μ
4. Fungsi Peluang Sebaran Binom
 n x
n x
bx; n, p     p 1  p  , x  0,1,...., n
 x
Contoh soal:
Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan
tertentu dengan peluang ¾. Hitunglah peluang
bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak
akan rusak:
Petunjuk : p = ¾ , n = 4, x = 2
Contoh soal: (dapat menggunakan tabel Binom)
Peluang untuk sembuh seorang penderita
penyakit darah yang jarang adalah 0,4. Bila diketahui 15 orang yang telah mengidap penyakit
tersebut, berapakah peluangnya:
(a) paling sedikit 10 akan sembuh
(b) antara sama dengan 3 sampai sama dengan 8
akan sembuh
(c) tepat lima yang sembuh
7
Petunjuk:
9
(a ) P x  10  1  P x  10  1   bx; 15 , 0,4
x 0
8
2
x 0
x 0
(b) P(3  x  8)   bx; 15 , 0,4   bx; 15 , 0,4 
 Nilai tengah peubah acak X yang menyebar
secara Binom ==np dan ragamnya 2=np(1-p)
5. Fungsi Peluang Sebaran Poisson
e   x
P ( x ; ) 
, x  0, 1, ...
x!
0
Contoh soal:
Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang
meliputi suatu penghitung selama 1 milidetik
dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4.
Berapakah peluang 6 partikel melewati penghitung dalam 1 milidetik tertentu?
Petunjuk : x = 6,  = 4
8
Contoh soal: (dapat menggunakan tabel Poisson)
Rata-rata banyaknya tangker minyak yang tiba
tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10.
Pelabuhan tersebut hanya mampu menerima
paling banyak 15 tangker sehari. Berapakah
peluang pada suatu hari tertentu tangker terpaksa ditolak karena pelabuhan tak mampu
melayaninya?
Petunjuk :
 = 10, P(x >15) = 1 – P(x  15)
 Nilai tengah peubah acak X yang menyebar
secara Poisson =  dan ragamnya 2 = .
Tugas/latihan
1. Dari 5 mobil yang dikirim dari pabrik 2 tiba
terkena goresan. Bila suatu toko menerima 3
mobil ini secara acak, tuliskan unsur ruang
contoh T menggunakan huruf C dan B untuk
masing-masing yang kena goresan dan yang
baik, kemudian setiap titik contoh diberi nilai x
dari peubah acak X yang menyatakan banyaknya
mobil yang dibeli toko tadi yang kena goresan.
2.
Tentukan nilai C sedemikian sehingga suatu
fungsi berikut dapat berfungsi sebagai suatu
sebaran peluang dari peubah acak X.
9
a.
b.
f(x) = c (x2 + 4) untuk x = 0, 1, 2, 3
f(x) = c
 2
 
 
 x
 3 




 3 x 
untuk x= 0, 1, 2
3.
Dari suatu kotak yang berisi 4 uang logam
ratusan dan dua lima puluha, seorang mengambil
3 uang secara acak tanpa pengembalian. Cari
distribusi peluang jumlah nilai dari tiga mata
uang. Nyatakan distribusi peluang banyaknya
peluang dengan grafik sebagai histogram
peluang.
4.
Dari suatu kotak yang berisi 4 bola hitam dan 2
bola hijau. Tiga bola diambil secara berturutan,
tiap bola dikembalikan sebelum pengembilan
berikutnya. Carilah distribusi peluang banyaknya
bola hijau yang terambil.
5.
Peubah acak X mempunyai fungsi peluang
5 x2
f (x) 
, x  2,  1, 0, 1, 2 ; f (x)  0,
15
untuk x lainnya hitunglah :
(a) P( x ≤ 0 )
(d) P( x ≤ 1,5 )
(b) P( x < 0 )
(e) P(1x1 ≤ 1)
(c) P( x ≤ 1 )
(f) P(1x1 < 1)
10
6.
Acak X mempunyai fungsi peluang
f(x) = c (6-x), x –2, -1, 0, 1, 2;
f(x) = 0 untuk x lainnya. Hitunglah
(a) C
(b) F(x) = P (X ≤ x); x = -2,5; -0,5; 0; 1,5; 1,7; 3
7.
Fungsi sebaran (kumulatif) peubah acak Y
adalah:
F (y) =
0
0,2
0,5
0,8
1
;
;
;
;
;
y < -1
-1 ≤ y < 0
0≤y<1
1≤y<3
y≥3
a. Gambarkan grafik f (y)
b. Tentukan fungsi peluang y
c. Hitung P ( 0 ≤ y ≤ 2 )
8.
Distribusi peluang X, banyaknya cacat per-10m
serat sintetis dalam gulungan yang lebarnya
seragam diberikan oleh:
X
F(x)
0
0,41
1
0,37
2
0,16
3
0,05
4
0,01
Buatlah distribusi peluang kumulatif X
11
9.
Suatu
bank
menawarkan
obligasi
bagi
langganannya dengan tahun tebusan (jatuh
tempo) yang berlainan. Bila distribusi peluang
kumulatifnya T diketahui, lamanya dalam tahun
sampai jatuh tempo, diberikan oleh:
F (t) =
0
0,25
0,50
0,75
1
;
;
;
;
;
t < -1
1<t<3
3≤t<1
5≤t<7
t≥7
Carilah :
a. P( T = 5 )
b. P( T > 3 )
c. P( 1,4 < T <6 )
10. Peubah acak X mempunyai fungsi peluang f(x) =
cx, untuk X = 1, 2,…….., n
2

a. Tunjukan bahwa c n (n  1)
x(x  1)

b. Tunjukan bahwa f(x) n (n  1) untuk x = 1, 2,
………n
11. Suatu pengiriman 7 TV mengandung 2 yang
cacat, suatu hotel membeli secara acak 3 dari
padanya. Bila x menyatakan banyaknya yang
cacat yang dibeli oleh hotel, carilah rataan yang
ragam x?
12
12. Fungsi peluang peubah acak x adalah
 3
 
f (x)   
 
 x
x
1  3
   
 4  4
hitunglah E (x) dan
3x
, x  0, 1, 2 , 3
σ2  σ x 2
13. Sebuah kotak berisi 3 uang logam ratusan dan 2
uang logam puluhan, tiga uang diambil secara
acak tanpa pengembalian. Carilah sebaran
peluang jumlah nilai ketiga mata uang yang
mungkin terambil. Berapa rataan dan ragamnya.
14. Sebuah uang logam yg tak setangkup, peluang
sisi muka munculnya 3 kali peluang munculnya
sisi belakang. Carilah nilai harapan banyak sisi
belakang muncul jika uang ini dilantunkan tiga
kali? Cari pula ragamnya?
15. Tukang cuci mobil dibayar berdasarkan
banyaknya mobil yang mereka cuci. Misalkan
bahwa penerimaannya sehari dalam ribuan
rupiah 7, 8, 11, 13, 15 atau 17 dengan peluang
masing-masing 1/12, 1/12,1/4, 1/4, 1/6 dan 1/6.
carilah nilai harapan dan ragam penghasilannya?
16. Dengan membeli sejenis saham tertentu seorang
dapat memperoleh keuntungan setahun sebesar
$ 4.000 dengan peluang 0,3 atau rugi $ 1.000
dengan peluang 0,7. Berapakah harapan penghasilannya?
13
17. Misalkan penjual barang antik ingin membeli
sebuah patung yang peluangnya 0,22 0,36 0,28
dan 0,1. Bahwa ia dapat menjualnya lagi masingmasing, dalam ribuan rupiah, dengan keuntungan Rp.250, keuntungan Rp.150 sama dengan
pembelian, dan rugi Rp.150. Berapa harapan
keuntungannya?
18. Dalam suatu permainan judi di AS seseorang
dibayar $3 bila dia menarik jack dan queen dan
$5 bila dia menarik king atau As dari sekotak
berisi 25 kartu bidge. Bila dia menarik kartu lain,
dia kalah. Berapa banyak dia harus membayar
untuk main agar permainan tadi adil?
19. Suatu kantong berisi 5 gulungan kertas yang
tidak dapat dibedakan. Tiga dari padanya bertanda $2 dan kedua sisanya bertanda $4.
seorang pemain mengambil 2 gulungan secara
acak tanpa pengembalian dan dia dibayar sama
dengan jumlah nilai pada kedua gulungan. Bila
pemain membayar $5,60 sebelumnya, apakah ini
permainan yang adil?
20. Misalkan X peubah acak
peluang berikut:
X
F(x)
-3
1/6
dengan sebaran
6
1/2
9
1/3
Carilah g(x), bila g(x) = (2x + 1)2
14
21. Tentukanlah sebaran seragam (uniform) bagi
contoh acak panitia yang terdiri dari 4 orang yang
dipilih secara acak dari 6 orang.
22. Suatu ujian terdiri atas 15 pertanyaan pilihan berganda, masing-masing dengan 4 kemungkinan
jawaban dan hanya satu yang benar. Berapa
peluang seseorang yang menjawab secara
menebak-nebak saja memperoleh 5 sampai 10
jawaban benar?
23. Peluang seorang pasien selamat dari auatu
operasi jantung yang sulit adalah 0,9. Berapakah
peluang tepat 5 dari 7 orang yang mengalami
operasi berikutnya selamat.
24. Suatu survei terhadap penduduk kota menunjukan bahasa 20% lebih menyukai telepon
berwarna putih dari warna lainnya. Berapa
peluang dari 20 telepon yang dipasang berikutnya lebih dari separuhnya berwarna putih?
25. Misalkan bahwa mesin pesawat terbang bekerja
tidak tergantung satu dengan yang lainnya dan
peluang mesin itu rusak adalah 2 = 1/5. Seandainya pesawat terbang selamat bila sekurangkurangnya separuh dari jumlah mesinnya bekerja
dengan baik. Tentukan mana yang berpeluang
selamat lebih tinggi pesawat bermesin 4 atau
bermesin 2?
15
26. Untuk mengelabui petugas pabean, seorang
pelancong menaruh 6 tablet narkotik dalam
sebuah botol yang berisi 9 pil vitamin yang sama
bentuk dan warnanya. Bila petugas pabean
memeriksa tablet secara acak untuk dianalisis,
berapa peluang pelancong tersebut akan ditahan
karena membawa narkotik ?
27. Seseorang menanam 6 bibit dipekarangan, yang
diambil secara acak dari sebuah kotak berisi 5
bibit gladiol dan 4 bibit daffodil. Berapa peluang
dia menanam 2 bibit daffodil dan 4 bibit gladiol.
28. Suatu panitia beranggota 3 orang dipilih secara
acak dari 4 dokter dan 2 perawat. Tuliskan rumus
distribusi peluang yang peubah acak x yang
menyatakan banyaknya dokter dalam panitia
tersebut. Hitunglah peluang (2 ≤ x ≤ 3)
29. Perusahaan telepon melaporkan bahwa diantara
5000 pemasang telepon baru 4000 menggunakan telepon tombol. Bila 10 diantara
pemasang baru tersebut diambil secara acak,
berapa peluang tepat ada 3 orang menggunakan
telepon putar?
30. Misalkan peluang seorang mempercayai suatu
cerita mengenai hidup setelah mati adalah 0,8.
Berapakan peluang bahwa
a. Orang keenam mendengar cerita itu adalah
yang keempat mempercayainya
16
b. Orang ketiga yang mendengar cerita itu orang
yang mempercayainya
31. Peluang bahwa seorang lulus ujian praktek
mengendarai modbil adalah 0,7. Carilah peluang
seorang lulus :
a. Pada ujian ketiga
b. Sebelum ujian keempat
32. Seorang tukang ketik rata-rata melakukan dua
kesalahan per halaman. Berapakah peluang dia
melakukan :
a. 4 atau lebih kesalahan pada halaman berikut
yang dia ketik.
b. Tidak ada kesalahan
33. Dalam suatu penelitian inventori (persediaan
barang) diketahui bahwa permintaan rata-rata
dari gudang terhadap suatu bahan tertentu 5 kali
sehari. Berapakah peluang suatu hari tertentu
bahan tersebut :
a. Diminta lebih dari 5 kali
b. Tidak diminta sama sekali
34. Peluang seorang meninggal karena infeksi
pernafasan adalah 0,002. Carilah peluang bahwa
kurang dari 5 diantara 2000 orang yang terinfeksi
akan meninggal. Carilah rataan dan variansnya
17
35. Misalkan rata-rata, dari tiap 1000 orang melakukan salah perhitungan dalam perhitungan
pajaknya. Bila 10.000 isian pajak diambil secara
acak dan diperiksa, hitunglah peluangnya bahwa
6,8 atau 8 isian tersebut akan salah hitung.
Carilah rataan dan varians peubah acak X yang
menyatakan banyaknya orang yang melakukan
kesalahan dari 10.000 isian pajak.
18

Download Report