Materi Pokok 07
NILAI HARAPAN DAN MOMEN

Nilai harapan peubah acak X
Ambil X sebagai sebuah peubah acak dengan fungsi peluang
(kepekatan) f (x) maka nilai tengah atau nilai harapan X adalah
μ  E (x)   x f (x) , bila X diskrit dan
x

μ  E (x)   x f (x) dx , bila X kontinu


Nilai harapan peubah acak g (x)
Ambil g (x) sebagai fungsi dari peubah acak X dengan fungsi
peluang (kepekatan) f (x) maka nilai tengah atau nilai harapan g
(x) adalah
μ g (x)  E [g (x)]   g (x) f (x) , bila X diskrit dan
x

μ g (x)  E [g (x)]   g (x) f (x) dx , bila X kontinu


Aplikasi Nilai Harapan Peubah Acak Diskrit
x
 Ambil fungsi peluang peubah acak X = f (x) dengan f (x) = ,
6
untuk x = 1, 2, 3 maka
1
 2
 3
μ  E (x)   x f (x)  1    2    3  
x
 6
 6
 6
1 4 9 14
1
    2
6 6 6 6
3

Untuk g (x) = x2 maka nilai harapan
Fungsi g (x) = E (g (x)) = E (x2),
2
2
2 1
2  2
2  3
μ  E (x )   x f (x)  1    2    3  
x
 6
 6
 6
1 8 27 36
    6
6 6 6
6

1 2
Untuk g (x) = (x (x - 2 ) maka
3
2
2

1 
1

E  x  2      x - 2  f (x)
3  x 
3

2
2
2
1  1 
1  2 
1  3

 1 - 2      2 - 2      3 - 2   
3  6  
3  6  
3  6 

)2 =
 16   1   1   2   4   3 
      
 9   6 9  6  9  6
16 2 12 30 5
    
54 54 54 54 9

E [(x - )2] = E (x2) - 2 = 2
2 = ragam X = varians X

Aplikasi Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu
 Ambil fungsi kepekatan peubah acak X = f (x) dengan
 1
x, 0  x  2
f (x)   2
0 , x Lainnya

2

0
μ  E (x)   x f (x) dx  

1
2
1 3 2 8 4
x dx  x ] 0  
6
6 3
2
Untuk g (x) = x2 maka E [g (x)] = E (x2)
2
2
1 4 2
2
2 1 
1 3
E (x )   x  x  dx   2 x dx  x ] 0  2
0
0
8
2 
E (x2) = 2
2

4
Untuk g (x) = (x - )2 =  x - 
 3
 4  2  2  4  2  1 
E g (x   E  x -      x -   x  dx
 3   0  3   2 
2


  1 x 3 - 4 x 2  8 x dx
3
9
0 2
2
 1 4 4 3 4 2 
  x - x  x 
9
9  0
8
 32 16  2
  2 -     σ2
9 9 9

2 = ragam x = varians x

Momen Peubah Acak
 Momen ke r peubah acak x disekitar nilai tengah = r


μ r  E x - μ  dengan r  0, 1, 2, .....
r
μ 0  1, μ1  0, μ 2  σ 2



Definisi r 

x j - μ
j 1
n

r
f (x) untuk x yang kontinu
Momen ke r peubah acak x di sekitar titik asal = 1r = E (xr)
dengan r = 0, 1, 2, …….
Hubungan antara ke dua macam momen diberikan sebagai
berikut:
1 r 1
1 r
j r 1
j
r
μ r  μ -   μ - 1  ....  (-1)   μ - j μ  ....  (-1) μ μ
r  1 r
0
 j r
Untuk kasus tertentu:
1
1
μ  μ dan μ  1
1
0
1
μ2  μ - μ2
2
1
1
1
1
μ3  μ - 3 μ  2 μ3
3
2
1
μ4  μ - 4 μ  6 μ μ2 - 3 μ4
4
3
2

Beberapa Teori Nilai Harapan:
1) Jika C adalah konstan, maka E (c X) = C E (X)
2) Jika X dan Y merupakan peubah acak, maka
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
3) Jika peubah acak X dan Y bebas maka
E (XY) = E (X) E (Y)
4) Varians 2 = E [(x - )2] = E (x2) - 2
= E (x2) – [E (x)]2 dengan,  = E (x)
5) Jika c konstan maka Var (cX) = c2 var (X)
6) E [(x – a)2] adalah minimum bila a =  = E (x)
7) Jika peubah acak X dan Y bebas
2
2
2
σ

σ

σ
 Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) atau
XY
X
Y
2
2
2
 Var (X - Y) = Var (X) + Var (Y) atau σ X  Y  σ X  σ Y

Peragam (Kovarians) Dua Peubah Acak
X dan Y adalah dua peubah acak dengan fungsi bersama
(gabungan) f (x, y) maka peragam (kovarians) dan Y adalah
XY = E [(X - X) (Y - Y)]
   [(X - μ X ) (Y - μ Y )] f (x, y) untuk X, Y diskrit
x y

 

 (X - μ X ) (Y - μ Y ) f
- -
(x, y) dx dy untuk X, Y kontinu

Peragam (kovarians) dari dua peubah acak X dan Y dengan nilai
tengah masing-masing X dan Y diberikan oleh
xy = E (XY) - X Y

Koefisien Korelasi Peubah Acak X dan Y
Misalkan X dan Y merupakan peubah acak dengan peragam
(kovarians) xy dan simpangan baku masing-masing X dan Y,
maka koefisien korelasi X dan Y adalah
σ XY
f XY 
σX σY

Jika X dan Y adalah peubah acak dengan fungsi peluang
(kepekatan) f (x, y) maka
2
2 2
2 2
σ aX

a
σ

b
σ Y  2 ab σ XY
 bY
X

Teorema Chebyshev
Peluang bahwa setiap peubah acak X akan mengambil suatu nilai
di dalam k simpangan baku dari nilai tengah paling sedikit
2
adalah 1 - 1
k
2
1
P μ - kσ  x  μ  k σ   1 k
μ  kσ
 μ - kσ

1
f (x) dx  1 - 2
k
Memperkirakan rataan dan Varians
Jika fungsi peubah acak H (x) diuraikan dengan bentuk deret
Taylor:
H (x) = H() + H1() (x - ) + ½ H11() (x - )2 H1(x), H11(x) ….
Adalah turunan pertama, kedua, ….., dari fungsi H(x)
E [H(x)] = H() +½ H11() 2 dimana 2 = Var (x)

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download