Materi Pokok 13
MOMEN DAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

Momen ke r Peubah Acak X di sekitar titik asal, dengan
r = 0,1,2,…
 
1
μ r  E Xr

Untuk X diskrit dengan f peluang f(x)
r
r
r
E (X )  X 1 f (X1 )  X 2 f (X 2 )  ...  X n f (X n )
r
n
r
  X J f (X J )
J 1

Untuk X kontinu dengan f kepekatan f (x)

E(X )   X r f(x) dx
r
-

Untuk r = 2,
E (X 2 )   X 2 f(x), x diskrit
x

  X 2 f(x) dx
-

Momen Pusat ke r di sekitar Rataan
μ r  E [ (x - μ) r ]

Untuk r = 2
E [(X - μ) 2 ]  σ 2  varians X

Untuk r = 3
E [(X - μ)3 ]   [(X  μ)3 ] f(X)
x
Untuk p.a x diskrit

E [(x - μ) ]   (x - μ)3 f(x) dx
3
-
Untuk p.a x kontinu
E [(x - μ)3 ] μ 3
α3 
 3
3
σ
σ
α 3  koefisien kemonconga n (skewness)
α 3  0, kurva f(x) simetri

Untuk r = 4
E [(x - μ) 4 ]   (x - μ) 4 f(x), bila peubah acak X diskrit.
x

E [(x - μ) 4 ]   (x - μ) 4 f(x) dx untuk peubah acak X kontinu
α4 
-
4
E [(x - μ) ] μ 4

4
σ4
σ
α 4  koefisien kurtosis
α 4  3, sebaran peubah acak X adalah normal (simetri)

Simpangan Rata-rata = MD
MD (X)  E [| x  μ |]   | x  μ | f(x), X diskrit
x

MD (X)  E [ | x  μ | ]   | x  μ | f(x) dx, X kontinu


Fungsi pembangkit momen = Mx(t) = M (t)
 Definisi
Fungsi pembangkit momen peubah acak X diberikan oleh
E (etx) dan ditandai dengan Mx(t) = M (t)
  e tx f(x), X diskrit
x
tx
M x (t)  E (e )   
tx
  e f(x) dx, X kontinu
 

Dengan deret Taylor
1 tr
t2
M x (t)  1  t  μ
 ...  μ r  ...
2 2!
r!
1

Turunan ke r dari Mx(t) terhadap peubah t menjadi:
d r M x (t)
 μ1r
dt r
t0
  x r e tx f(x), bila x diskrit
d r M x (t)  x
 
r
r tx
dt
  x e f(x) dx, bila x kontinu
- 

Beberapa Teorema Fungsi Pembangkit Momen
 Jika Mx(t) adalah fungsi pembangkit momen peubah acak X
dan a dan b (b  0) adalah konstanta maka:
1) Mx + a (t) = eat Mx (t)
2) Max (t) = Mx (at)
3) M(x + a) / b (t) = eat/b Mx (t/b)

Jika X1, X2, ….., Xn merupakan peubah acak bebas dengan
fungsi pembangkit momen MX1 (t), MX2 (t), ….., MXn (t) dan
Y = X1 + X2 + ….. + Xn, maka MY (t) = MX1 (t). MX2 (t) …..
MXn (t)

Jika X1, X2, ….., Xn merupakan peubah acak normal bebas
yang mempunyai sebaran normal dengan nilai tengah 1, 2,
….., n dan ragam σ12 , σ 22 , ..., σ 2n , maka peubah acak
Y = a1 X1 + a2 X2 + ….. + an Xn mempunyai sebaran normal
dengan nilai tengah Y = a1 1 + a2 2 + ….. + an n

Untuk n = 2
Y = a1 X1 + a2 X2
My (t) = Ma1 X1 (t). Ma2 X2 (t), Y = normal
M y (t)  exp [ (a1 μ1 t  a12 σ12 t 2 /2)  (a 2 μ 2 t  a 22 σ 22 t /2) ]
Merupakan sebaran normal dengan nilai tengah a1 1 + a2 2
dan ragam a12 σ12  a 22 σ 22

Fungsi karakteristik = x () = Mx (i)
i = bilangan imaginer
x (i) = Mx (i) = E (e iX)
  eiwx f(x), X diskrit

E(eiwx )    iwx
  e f(x) dx, X kontinu
 
Deret Taylor
2
r
1 2 
r 1 
 x ()  1  i  μ 2 i
 ...  i u r
 ...
2!
r!
r
dr
1
r r d
1
r
r
μ r  (1) i
 () μ r  (1) i
 x ()   0
r x
d
dr
Teorema
1) Jika x() adalah fungsi kharakteristik peubah acak X
dan a dan b (b  0) konstan, maka fungsi karakteristik
dari (x + a) /b adalah

ai

 e x ( )
(

)
x  a  /b
b
2) Jika X dan Y bebas dengan fungsi kharakteristik x()
dan y(), maka x + y() = x() y()
3) Keunikan :
Ambil X dan Y peubah acak dengan fungsi kharakteristik
x() dan y(), maka X dan Y mempunyai fungsi
peluang yang sama jika dan hanya jika x() = y()

Fungsi kharakteristik merupakan transformasi Fourier dari
fungsi kepekatan f(x):
1  ix
f(x) 
 x () d
e
π  
disebut inversi transformasi Fourier.

Rumus Euler:
e i = cos  + i sin 
e -i = cos  - i sin 
Cos  = 1 (ei + e -i)
2

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download