Fungsi Pembangkit Momen Dua Peubah Acak Misalkan X1 , X2 dua peubah acak, maka fungsi pembangkit momennya: t1X1 + t 2 X 2 Mx1x2 ( t1, t 2 ) = E ( e ) dan r s E( X1 X2 ) = (r+s) r t1 t s 2 Mx x 1 2 ( t1, t 2 ) t1 t 2 0 Dan untuk peubah acak X1 dan X2 yang bebas satu sama lain, maka: Mx1x2 ( t1, t 2 ) = e t1x1 + t2x2 f1( x1 ) f2 ( x2 ) dx2 dx1 - = e t1x1 f1( x1 ) dx1 - = Mx1 ( t1 ) Mx2 ( t 2 ) - e t2x2 f2 ( x2 ) dx2 p1(x1) b<x1 a P (b < x1 a) = b f1(x1) dx1 a , untuk diskrit , untuk kontinu sehingga didapat : p1( x1) = p1,2 (x1, x2 ) dan f1( x1) = f1,2 (x1, x2 ) dx2 x2 - Dapat dilihat bahwa fungsi peluang atau kepekatan untuk satu peubah acak dapat diperoleh dari fungsi peluang atau kepekatan ganda dengan cara penjumlahan atau pengintegralan terhadap seluruh ruang sampel (contoh) peubah acak lainnya. Contoh : Misalkan bahwa x1 x2 , untuk x1 1, 2, 3 dan 36 p12 ( x , x ) = x2 = 2, 4 , 1 2 0 , untuk lainnya Maka untuk setiap susunan (x1,x2), nilai p1,2(x1,x2) dapat dibuat sebagai p1,2(x1,x2) x2 x1 1 2 3 p2(x2) 2 2/36 4/36 6/36 12/36 4 4/36 8/36 12/36 24/36 p1(x1) 6/36 12/36 18/36 36/36 dapat dilihat bahwa p1(x1) untuk x1 = 1, 2, 3 serta nilai p2(x2) untuk x2 = 2, 4, tercantum sebagai jumlah semua p1,2 (x1,x2). Contoh : Jika x1 dan x2 berdistribusi menurut 9x 2 x 2 , 0 < x 1 , 0 < x 1 1 2 1 2 f12 , (x1, x2 ) 0 , untuk lainnya Maka : 1 f1( x1) = 9x 2 1 x 2 dx 2 = 3x1 , 0 < x1 1dan 2 2 0 f1 ( x1) = 0 , untuk lainnya f 2 ( x 2 ) = 3x 2 , 0 < x 2 1 dan 0 untuk x 2 2 lainnya Contoh : Jika x1 dan x2 berdistribusi sebagai 2 (x1 x2 ) , 0 < x1 x2 1 f12 , (x1, x2 ) , untuk lainnya 0 maka 1 f1(x1) = 2 (x1 x2 ) dx2 1 2x1 3x12 , 0 < x2 1 x1 dan x1 f2 (x2 ) = 2 (x1 x2 ) dx1 3x2 2 , 0 < x2 1 0 dan nol untuk x1, x2 lainnya. Dalil : Suatu himpunan terhingga vektor acak, yang mempunyai pembangkit momen bersama, dikatakan saling bebas, jika dan hanya jika fungsi pembangkit momen bersama itu dapat dinyatakan sebagai hasil kali masingmasing fungsi pembangkit momen. Bukti: Untuk dua vektor acak, selengkapnya dapat diselesaikan dengan induksi Misalkan vektor acak X = Y X1, X 2 ,, Xm ; = Y1, Y2 ,, Yn Mx, y t1 tm , u1un = E e t1X 1 t m X m u1Y1 un Yn dan seterusnya. Korolari 1 : Jika X1 , X2 ….Xn saling bebas dengan f.p.,m Mx1(t), …… Mxn(t), serta jika S = X1 + X2+ ….. + Xn , maka Ms(t) = Mx1(t) Mx2(t) ……. Mxn(t) Fungsi pembangkit momen jumlah peubah acak yang saling bebas yang banyaknya terhingga sama dengan hasil kali fungsi pembangkit momen masing-masing. Bukti : Untuk penyederhanaan hanya akan menggunakan dua peubah acak yang saling bebas. Misal S = X + Y jumlah dua peubah acak dengan fungsi pembangkit momen Mx t , My t dan MS t jadi MS t = t X+Y E e = M x t M y t = M x,y t, t Korolari 2 : Misalkan X1,, Xm adalah peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi normal dengan E Xi = i dan var ians X i = i2 , i = 1,2,,m , maka fungsi pembangkit momen dari X = X1,, Xm : Mx t 1,, t m = Exp m i=1 1 ti i + 2 m i=1 t i2 i2 Catatan : Xi ~ normal Korolari 3 : Jumlah terhingga banyak peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi normal adalah normal. juga berdistribusi S' X1 X 2 .... X n M s ( t ) M xi ( t ) e t t 2 i 2 i 1 2 Korolari 4 : X1,, Xn sampel (contoh) Misalkan acak dari populasi berdistribusi normal dengan rata-rata dan varians 2 , maka x berdistribusi normal dengan 2 mean = dan variansi . n Bukti: _ Akan dihitung fpm dari mengingat fpm S x S adalah n dengan MS t = Exp t n i + i=1 t2 2 n i=1 t2 n 2 = Exp t n + 2 Dan MS t n t = MS n 2 t2 = Exp t + 2 n 2 i
© Copyright 2024 Paperzz
