Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
1
HIMPUNAN BILANGAN
Diagram Garis Himpunan bilangan
 Buatlah juga diagram Venn untuk himpunan bilangan.
BILANGAN ASLI
N = {1, 2, 3, ….} adalah himpunan bilangan asli atau himpunan
bilangan bulat positif.
Aksioma Peano:
1. Bilangan “1” adalah bilangan asli, atau 1N.
2. Jika n bilangan asli, maka n+1 yang dinotasikan dengan n+
juga bilangan asli berikutnya.
3. Bilangan “1” tidak mendahului bilangan asli apapun.
4. Dua bilangan asli yang mempunyai bilangan asli berikut yang
sama, adalah sama. Jadi jika a+=b+, maka a=b.
5. Suatu subset bilangan asli yang mengandung bilangan “1” dan
memenuhi sifat bahwa untuk setiap elemen a di dalamnya,
maka a+ juga terkandung di dalamnya, adalah himpunan
bilangan asli N itu sendiri.
Pertemuan 2
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
2
Sifat-sifat Operasi Penjumlahan Dalam N
1. Tertutup, artinya jumlah dua bilangan asli pasti merupakan
bilangan asli lagi.
2. Komutatif, artinya a+b = b+a, untuk setiap a,b  N.
3. Asosiatif, artinya (a+b)+c = a+(b+c), untuk setiap a,b,c  N.
4. Hukum pencoretan, artinya a+c = b+c akan mengakibatkan
a=b, untuk setiap a,b,c  N.
Sifat-sifat Operasi Perkalian Dalam N
1. Tertutup, artinya perkalian dua bilangan asli akan
menghasilkan bilangan asli lagi.
2. Komutatif, artinya a.b = b.a, untuk setiap a,b  N.
3. Asosiatif, artinya (a.b).c = a.(b.c), untuk setiap a,b,c  N.
4. Distributif
perkalian
terhadap
penjumlahan,
artinya
a.(b+c)=a.b+a.c dan (a+b).c = a.c+b.c, untuk setiap a,b,c  N.
5. Hukum pencoretan, artinya a.c = b.c mengakibatkan a=b dan
c.a = c.b mengakibatkan a = b, untuk setiap a,b,c  N.
6. Ada unsur kesatuan multiplikatif, yaitu 1N, sehingga
a.1=1.a=a untuk setiap aN.
Relasi Urutan
1. Sifat asimetris, yakni a > b jika b < a, untuk setiap a,b  N.
2. Sifat transitif, artinya a > b dan b > c mengakibatkan a > c,
untuk setiap a,b  N.
3. Sifat trikotomi (trichotomy), artinya untuk setiap a,b  N,
berlaku satu dan hanya satu, a > b, atau a = b, atau a < b.
Bilangan Nol dan Negatif
 Jika a  N, maka tidak ada bilangan asli x sedemikian rupa
sehingga a + x = x. Dalam hal ini x adalah bilangan nol.
Bilangan nol disebut unsur kesatuan aditif.
Pertemuan 2
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
3
 Jika a  N, maka tidak ada bilangan asli x sedemikian rupa
sehingga a + x = 0. Dalam hal ini x adalah bilangan negatif.
Elemen x disebut invers aditif dari elemen a.
BILANGAN BULAT
Dari bilangan asli, nol dan bilangan negatif, tersusunlah himpunan
bilangan bulat, Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}.
Sifat-sifat Operasi Penjumlahan dalam Z
1. Tertutup, artinya penjumlahan dua bilangan bulat akan
menghasilkan bilangan bulat lagi.
2. Komutatif, artinya untuk setiap x, y  Z, berlaku x+y = y+x.
3. Asosiatif, artinya untuk setiap x, y, z  Z, berlaku (x+y)+z =
x+(y+z).
4. Hukum pencoretan, artinya untuk setiap x, y, z  Z, berlaku
x+z=y+z mengakibatkan x=y dan z+x=z+y mengakibatkan x=y.
5. Ada unsur kesatuan aditif, yakni 0Z, sedemikian sehingga
x+0=0+x=x, untuk setiap xZ.
6. Untuk setiap aZ, ada elemen -aZ, sedemikian sehingga a+(a)=0. Elemen –a disebut invers aditif dari a.
Sifat-sifat Operasi Perkalian dalam Z
1. Tertutup, artinya perkalian dua buah bilangan bulat akan
menghasilkan bilangan bulat lagi.
2. Komutatif, artinya untuk setiap x, y  Z, berlaku x.y=y.x
3. Asosiatif, artinya untuk setiap x, y, z  Z, berlaku (x.y).z =
x.(y.z).
4. Distributif perkalian terhadap penjumlahan, artinya untuk setiap
x, y, z  Z, berlaku x.(y+z)=x.y+x.z dan (y+z).x = y.x+z.x.
5. Hukum pencoretan, artinya untuk setiap x, y, z  Z berlaku
x.y=x.z mengakibatkan y=z (x0) dan y.x=z.x mengakibatkan
y=z (x0).
Pertemuan 2
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
6. Ada unsur kesatuan multiplikatif, yakni bilangan
sedemikian sehingga x.1=1.x=x, untuk setiap xZ.
4
1Z,
Relasi Urutan Dalam Z
1. Hukum trikotomi, artinya untuk x, y  Z berlaku salah satu dari
x=y, atau x > y, atau x < y.
2. Transitif Urutan: x > y dan y > z mengakibatkan x > z,  x, y, z
 Z.
3. Kompatibilitas Urutan (compatibility of order):
(i) x > y mengakibatkan x + z > y + z, untuk setiap z  Z.
(ii) x > y dan z > 0 mengakibatkan x.z > y.z, x, y, z  Z
BILANGAN RASIONAL
Jika p dan q adalah bilangan-bilangan bulat sembarang dengan q
 0, maka p/q disebut bilangan rasional. Himpunan bilangan
rasional dinotasikan dengan Q.
Sifat-sifat Operasi Penjumlahan Dalam Q
1. Tertutup, artinya jumlah dua bilangan rasional pasti merupakan
bilangan rasional lagi.
2. Komutatif, artinya a+b = b+a, untuk setiap a,b  Q.
3. Asosiatif, artinya (a+b)+c = a+(b+c), untuk setiap a,b,c  Q.
4. Hukum pencoretan, artinya a+c = b+c mengakibatkan a=b, dan
c+a=c+b mengakibatkan a=b untuk setiap a,b,c  Q.
5. Ada unsur kesatuan aditif yakni 0Q, sehingga a+0=0+a=a,
untuk setiap aQ.
6. Untuk setiap aQ, ada elemen -aQ, sehingga a+(-a)=(-a)
+a=0. Elemen –a disebut invers aditif dari a.
Sifat-sifat Operasi Perkalian Dalam Q
1. Tertutup, artinya perkalian dua buah bilangan rasional akan
menghasilkan bilangan rasional lagi.
Pertemuan 2
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
5
2. Komutatif, artinya untuk setiap x, y  Q, berlaku x.y=y.x.
3. Asosiatif, artinya untuk setiap x, y, z  Q, berlaku (x.y).z =
x.(y.z).
4. Distributif perkalian terhadap penjumlahan, artinya untuk setiap
x, y, z  Q, berlaku x.(y+z)=x.y+x.z dan (y+z).x = y.x+z.x.
5. Hukum pencoretan, artinya untuk setiap x, y, z  Q berlaku
x.y=x.z mengakibatkan y=z (x0), dan y.x=z.x mengakibatkan
y=z (x0).
6. Ada unsur kesatuan multiplikatif, yakni bilangan 1Q,
sedemikian sehingga x.1=1.x=x, untuk setiap xQ.
7. Untuk setiap xQ, ada elemen 1/x Q, sedemikian sehingga x.(
1
/x)= (1/x).x=1. Elemen 1/x disebut invers multiplikatif dari elemen
x (x0).
Order Relasi Dalam Q
1. Hukum trikotomi, artinya untuk x, y  Q berlaku salah satu dari x=y, atau
x > y, atau x < y.
2. Transitif Urutan: x > y dan y > z mengakibatkan x > z, x, y, z  Q
3. Kompatibilitas Urutan (compatibility of order):
(i) x > y mengakibatkan x + z > y + z, untuk setiap z  Q.
(ii) x > y dan z > 0 mengakibatkan x.z > y.z, x, y, z  Q.
Teorema:
Di antara dua bilangan rasional yang berbeda ada bilangan
rasional lainnya.
BILANGAN IRASIONAL
Di samping bilangan rasional, ada juga bilangan irasional,
seperti 2, log 3, ln 4, e=2.718281828…, =3.141592654…, dan
lain-lain.
Apakah perbedaan bilangan rasional dengan irasional yang
dinyatakan dalam bentuk desimal?
Pertemuan 2
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
6
Himpunan bilangan irasional dinotasikan dengan Q’.
BILANGAN RIIL
Bilangan riil adalah gabungan dari himpunan bilangan
rasional dan irasional. Himpunan bilangan riil dinotasikan dengan
R.
Sifat-sifat Operasi Penjumlahan Dalam R
1. Tertutup, artinya jumlah dua bilangan riil pasti merupakan
bilangan riil lagi.
2. Komutatif, artinya a+b = b+a, untuk setiap a,b  R.
3. Asosiatif, artinya (a+b)+c = a+(b+c), untuk setiap a,b,c  R.
4. Hukum pencoretan, artinya a+c = b+c akan mengakibatkan
a=b dan c+a=c+b mengakibatkan a=b, untuk setiap a,b,c  R.
5. Ada unsur kesatuan aditif yakni 0R, sehingga a+0=0+a=a,
untuk setiap aR.
6. Untuk setiap aR, ada elemen -aR, sehingga a+(-a)=(-a)
+a=0. Elemen –a disebut invers aditif dari a.
Sifat-sifat Operasi Perkalian Dalam R
1. Tertutup, artinya perkalian dua buah bilangan riil akan
menghasilkan bilangan riil lagi.
2. Komutatif, artinya untuk setiap x, y  R, berlaku x.y=y.x.
3. Asosiatif, artinya untuk setiap x, y, z  R, berlaku (x.y).z =
x.(y.z).
4. Distributif perkalian terhadap penjumlahan, artinya untuk setiap
x, y, z  R, berlaku x.(y+z)=x.y+x.z dan (y+z).x = y.x+z.x.
5. Hukum pencoretan, artinya untuk setiap x, y, z  R berlaku
x.y=x.z mengakibatkan y=z dan y.x=z.x mengakibatkan y=z
(x0).
6. Ada unsur kesatuan multiplikatif, yakni bilangan 1R,
sedemikian sehingga x.1=1.x=x, untuk setiap xR.
Pertemuan 2
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
7
7. Untuk setiap xR, ada elemen 1/x R, sedemikian sehingga x.(
1
/x)= (1/x).x=1. Elemen 1/x disebut invers multiplikatif dari elemen
x (x0).
Teorema:
Di antara dua bilangan riil berbeda, ada tak berhingga banyaknya
bilangan riil lain.
Modulus Bilangan Riil
 Untuk setiap bilangan riil x, selalu berlaku x > 0 atau x = 0 atau
x < 0.
 Modulus atau nilai mutlak suatu bilangan riil x adalah x,
 x, jika x  0
yakni: x  
 x, jika x  0
BILANGAN KOMPLEKS
Jika  1 dinotasikan dengan i, maka  n dinotasikan
dengan i n , yang merupakan bilangan khayal/imajiner.
Himpunan bilangan khayal digabungkan dengan himpunan
bilangan riil menjadi suatu himpunan baru yang disebut himpunan
bilangan kompleks. Jadi bentuk bilangan kompleks adalah a+b.i,
dengan a,b  R. Himpunan bilangan kompleks dinotasikan
dengan C.
Sifat-sifat Operasi Penjumlahan Dalam C
1. Tertutup, artinya jumlah dua bilangan kompleks pasti
merupakan bilangan kompleks lagi.
2. Komutatif, artinya a+b = b+a, untuk setiap a,b  C.
3. Asosiatif, artinya (a+b)+c = a+(b+c), untuk setiap a,b,c  C.
4. Hukum pencoretan, artinya a+c = b+c akan mengakibatkan
a=b, dan c+a=c+b mengakibatkan a=b untuk setiap a,b,c  C.
5. Ada unsur kesatuan aditif yakni 0=0+0.i C, sehingga
a+0=0+a=a, untuk setiap aC.
Pertemuan 2
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
8
6. Untuk setiap aC, ada elemen -aC, sehingga a+(-a)=(-a)
+a=0. Elemen –a disebut invers aditif dari a.
Sifat-sifat Operasi Perkalian Dalam C
1. Tertutup, artinya perkalian dua buah bilangan kompleks akan
menghasilkan bilangan kompleks lagi.
2. Komutatif, artinya untuk setiap x, y  C, berlaku x.y=y.x.
3. Asosiatif, artinya untuk setiap x, y, z  C, berlaku (x.y).z =
x.(y.z).
4. Distributif perkalian terhadap penjumlahan, artinya untuk setiap
x, y, z  C, berlaku x.(y+z)=x.y+x.z dan (y+z).x = y.x+z.x.
5. Hukum pencoretan, artinya untuk setiap x, y, z  C berlaku
x.y=x.z mengakibatkan y=z (x0), dan y.x=z.x mengakibatkan
y=z (x0).
6. Ada unsur kesatuan multiplikatif, yakni bilangan 1=1+0.i C,
sedemikian sehingga x.1=1.x=x, untuk setiap xC.
7. Untuk setiap xC, ada elemen 1/x C, sedemikian sehingga x.(
1
/x)= (1/x).x=1. Elemen 1/x disebut invers multiplikatif dari elemen
x (x0). Periksalah.
SEKAWAN & MODULUS
 Untuk setiap bilangan kompleks a+b.i ada bentuk
sekawan/konjugatnya, yakni a-b.i
 Modulus dari bilangan kompleks z=a+b.i adalah z= a 2  b 2
Pertemuan 2

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download