Matakuliah
Tahun
Versi
: K0014/010
: 2005
: 0/0
Pertemuan 03-04
Kinematika Partikel
1
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa
akan mampu :
• Memberikan definisi kinematika patikel : gerak
satu dimensi ; lintasan , kecepatan ,percepatan
,gerak dalam bidang ; gerak parabol dan gerak
melingkar→ C1 (TIK - 2)
2
Outline Materi
• Materi 1
Lintasan , kecepatan dan percepatan
• Materi 2
Gerak lurus
- Gerak lurus beraturan
- Gerak lurus dengan percepatan konstan
- Gerak lurus dengan percepatan tidak konstan
• Materi 3
Gerak dalam bidang
• Materi 4
Gerak melingkar
3
ISI
• Kinematika partikel adalah ilmu yang mem
-pelajari .tentang gerak benda (lintasan
benda) tanpa mempermasalahkan penyebab gerak . Pertemuan ke tiga (P03) dan
(P04) membahas gerak satu dimensi dan
pertemuan ke empat (P04) gerak dua
dimensi .
• Penggunaan ilmu ini mulai dari lapangan
tennis (perhitungan lintasan bola) sampai
pada bidang antariksa (perhitungan
lintasan satelit dan roket)
4
• 1. LINTASAN . KECEPATAN DAN PERCEPATAN
Kinematika : ilmu yang mempelajari gerak benda
tanpa memperhatikan penyebab gerak.
Partikel bagian terkecil dari benda ; benda dianggap
sebagai partikel bermassa tanpa volum sehingga
benda tidak mengalami rotasi.
1•.Lintasan : panjang jalur yang ditempuh partikel /
benda dari titik awal sampai titik akhir.
ΔX = Xakhir(F) - Xawal(I)
xI
xF
5
2• Kecepatan : Kecepatan adalah lajunya perubahan letak partikel (benda) terhadap waktu (=linta
san (ΔX) per waktu yang diperlukan menempuh
lintasan (Δt)).
.
x
Vrata rata ( V ) 
 x  V ................(02-01)
t
t
Pada umumnya lintasan yang dilalui sebuah
partikel berada dalam bidang atau ruang sehing
-ga kedudukan benda dapat dinyatakan dalam
vector posisi (Gambar 2-01) .
t  t B  t A
r
V 
t
6
Y
A,tA
lintasan
rA r B - r A = ∆r
B,tB
rB
s
r  s  V 
t
Vsesaat
s
 V  lim
t 0 t
X
Gambar 2-01. Gerakan benda dalam vektor posisi
Kecepatan sesaat dalam bentuk vektor :
r
..................(02-02)
V 
lim
t 0
t
atau
V 
dr dx
dy
 i
j  V x i  V y j ...........(02-03)
dt dt
dt
7
3. Percepatam : Percepatan sebuah partikel (benda)
adalah laju perubahan kecepatan terhadap waktu.
Y
1
V1
V1
2
lintasan
V2 - V1 = ∆V
V2
V2
X
Gambar 2-03 : Peruhan vektor kecepatan
- Percepatan rata-rata , arar-rata :
arata2
V2  V1 V


besaran vektor
t
t
............(02-04)
8
- Percepatan sesaat , a :
Sebagai besaran vektor ;
V dV
asesaat  a  lim

b.vektor............(02-04)
dt
t 0 t
dV
d 2s
a

besaran skalar ............(02-05)
2
dt
dt
• 2.GERAK LURUS
Gerak lurus adalah gerakan partikel/benda yang
lintasannya berupa garis lurus
- Gerak lurus beraturan (GLB)
Gerakan partikel/benda dengan kecepatan V konstan dan mengikuti suatu garis lurus .
9
X (lintasan) = V (kecepatan) x t (waktu tempuh)
- Gerak lurus dengan percepatan konstan
Gerakan partikel dibatasi pada gerak satu dimensi
dengan percepatan a konstan.
VF  VI V
arata2  a 

tF  tI
t
atau
V  V0 V  V0
arata2 

t  t0
t
, t0 = 0 ...(02-06)
10
Dari persamaan (02-05) diperoleh :
V = V + at
.............(02-07)
dan dengan persamaan di bawah ini :
Vrata-rata = ½ (V + V0) dan X = X0 + Vrata-rata t
diperoleh :
S = S0 + V0 t + ½ a t2
V2 = V02 + 2 a S
...........(02-08)
............(02-09)
- Gerak lurus dengan percepatan tidak konstan
Partikel/benda mengalami percepatan yang merupakan fungsi lecepatan .
11
simulasi gerak dengan percepatan konstan
12
a = - kV
; k = konstanta
dV
dV
a
 kV 
 kt
dt
V
Persamaan ini bila diintegralkan menghasilkan :
V  V0 exp( kt)
..................(02-09)
dan persamaan lintadannya :
V0
X 
(1  e  kt )
k
...................(02-10)
Contoh soal 1 :
Sebuah kendaraan melaju ke arah utara dan ..........
13
berkurang kecepatannya secara teratur dari 70km/
jam menjadi 50 km/jam,sambil berpindah sejauh
0,08 km.
a). Berapa besar percepatannya
b). Berapa lama berlangsungnya percepatan nya.
c). Bila perlambatan tersebut berlangsung terus
berapa waktu yang diperlukan sampai berhenti
d). Berapakah jarak yang ditempuh sampai berhenti.
Jawaban :
a).Percepatan a = ( v2 – v02 )/(2(x – x0))
a = ( (50 km/jam) – (70 km/jam)2) / (2(0.08 km))
= - 1.16 m / s2
Jadi kendaraan mengalami perlambatan 1.16 m/s2
14
b).t = (v – v0 )/a → t = (-20000 m/3600 s)/1,16m/s2
→ t = 4.8 st = 4,8s
c).t = (v – v0 )/a → t = (0 – 70000 m/3600 s)/
(- 1.16m/s2)
→ t = 16.8 s t = 16,8s
d). X – X-0 = v0 t + ½ a t2
= (70000 m / 3600 s )16,8 s )
+ ½ (- 1,16 m / s2 ) (16,8 s)2
= 163 m
Contoh soal 2 :
Sebuah balon naik dengan kecepatan 12 m/s .
Ketika tingginya 80 m di atas tanah sebuah benda
dijatuhkan . Berapa lama waktu yang diperlukan
benda untuk mencapai tanah.
15
Jawaban :
Benda bergerak ke atas dengan kecepatan V0 dan
perlambatan – g sehingga mencapai titik tertinggi
dimana kecepatan titik tertinggi V = 0 maka :
V2 = 0 = V02 - 2 g S →
(12m/s)2 = 2 x 9.8 m/s2 S → S = 7.35 m
V = V0 - gt → 0 = 12 m/s - 9.8 m/s2 t → t = 1.22 s
Dari tutuk tertinggi jatuh ke tanah : S = ½ gt2
S = (80 + 7.35) m = ½ 9.8 m/s2 t2 → t = 4.22 s
Jadi waktu yang diperlukan benda untuk mencapai
tanah adalah : t = 1.22 s + 4.22 s = 5.44 s
16
• 3.Gerak dalam bidang datar
(Gerak dua dimensi)
Pembahasan dalam bagian ini akan meliputi kecepatan dan
percepatan , gerak dalam bidang datar dengan percepatan
konstan , gerak peluru dan gerak melngkar .
● Kecepatan rata-rata, kecepatan sesaat
Y
∆r
Q lintasan
rP = xP i + yP j
P
rQ
rP = <xP , yP >
rP
rQ = <xQ , yQ >
∆r = rQ - rP
X
∆r = < xQ- xP , yQ - yP >
Vrata2 = dr / dt
17
V = lim∆t → 0 (∆r/∆t) = dr /dt
V = dr /dt = VX i + VY j
...............(02-11)
● Percepatan rata-rata, percepatan sesaat
Y
V2
V1
∆V
V1
2
V2
lintasan
1
arata2 = ∆V / ∆t
X
a = lim∆t → 0 (∆V / ∆t)
a = dV / dt = aX i + aY j
......................(02-12)
- Komponen–komponen percepatan
Penguraian percepatan atas komponen-komponen ...........
18
dapat dilakukan atas dua cara , yaitu :
- Komponen-komponen menurut sistem salib sumbu
(Gambar 2-04 )
- Komponen-komponen menurut arah lintsan dan tegak
lurus arah lintasan (Gambar 2-05)
Y
Y
lintasan
aT
aX i
j
aY j
a
a
i
X
aN
X
Gambar 2-04
Gambar 2-05
Pada Gambar 2-04 : a = aX i +: aY j
a = √ (aX2 + aY2)
..........(02-13)
19
Pada Gambar 2-05 :
aT = percepatan tangensial (singgung = garis)
aN = percepatan normal (radial = sentripetal)
a = aT + aN
a = √ (aT2 + aN2)
....................(02-14)
Percepatan tangensial dan normal diperleh secara vektorial
sebagai berikkut :
Y
V1
V1
∆V
2
V2
Θ
∆VT V2
1
∆VN
X
Bambar 2-06
Gambar 2-06 merupakan gambar diagram vektor percepatan
dimana vektor V1 diputar sampai berimpit dengan V2 yang
20
menghasilkan percepatan ∆VN dan sudut Θ serta ∆VT
V1 + ∆VT = V2
.....................(02-15)
∆V = V2 - V1
∆V = ∆VT + ∆VN
.......................(02-16)
Apabila sudut menuju nol maka ∆VN tegak lurus ∆VT
Perssamaan (02-16) dibagi ∆t memberikan :
arata2 = ∆V/∆t = ∆VT /∆t + ∆VN/∆t
a = lim∆t →0 (∆V/∆t ) = dV/dt
aT = lim∆t →0 (∆VT/∆t ) dan aN = lim∆t →0 (∆VN/∆t )
a = aN + aT
a = √ (aN2 + aT2)
................(02-17)
21
• Gerak dengan percepatan konstan
Persamaan kecepatan dan percepaan dalam bentuk skalar
- Arah sumbu X ::
VX = V0X + aX t
......................(02-18a)
X - X0 = ½ (V0X + VX ) t .......................(02-18b)
X - X0 = V0X t + ½ aY t2 .......................(02-18c)
VX2 = V0X2+ 2aXX .
......................(02-18d)
- Arah sumbu Y ::
VY = V0Y + aY t ..
.....................(02-19a)
Y - Y0 = ½ (V0Y + VY ) t . ......................(02-19a)
Y - Y0 = V0Y t + ½ aY t2 . ......................(02-19a)
VY2 = V0Y2+ 2aYY
.......................(02-19a)
Persamaan-persamaan di atas secara vektor dapat
dinyatakan sebagai berikut :
22
V = V0 + a t
r = r0 + v0 t + ½ a t2 .
..................(02-20)
.................(02-21)
• Gerak parabol
Partikel bergerak dengan percepatan konstan a pada arah
sembarang diurai atas dua arah ; yaitu menurut arah sumbu X .
dan Y , sehingga terdapat 2 komponen yaitu ; komponen hori –
sontal aX yang besarnya konstan dan komponen vertikal aY
yang besarnya konstan - g .
Pada gerak peluru aX = 0 dan aY = - g . Karena aX = 0 maka
VX = konstan
Dengan demikian persamaan gerak dengan percepatan
konstan pada bidang datar dapat digunakan sebagai acuan
dalam merumuskan persamaan gerak parabol .
23
:
Benda ditembakkan dengan kecepatan V0 dan sudut elevasi Θ
V0X = V0 cos Θ
.......................(02-22)
V0Y = V0 sin Θ
.......................(02-23)
- Kecepatan dan percepatan peluru diurai atas komponen
horisontal dan vertikal :
Y
Y
VY
V
V0Y
V0
lintasan
VX
X
X
V0X
(a)
(b)
Ganbar 2-07. Kecepatan peluru : (a).Pada saat t = 0
(b), Pada saat t
24
Kecepatan peluru saat t yaitu Gambar 2-05 (b) komponen
kecepatannya adalah :
VX = V cos Θ
VY = V0 sin Θ - g t
..................... (02-24)
.....................(02-25)
- Lintasan peluru saat t = t
X = (V0cos Θ) t
Y = (V0 sin Θ) t - ½ g t2
.....................(2-26)
.....................(2-27)
. Waktu yang diperlukan peluru untuk mencapai titik
tertinggi .
Saat mencapai titik tertinggi VY = 0 sehingga persamaan
(02-25) menjadi :
25
V0 sin Θ - g t = 0 →
t = (V0 sin Θ ) / g
........................(02-28)
- Tinggi maximum peluru , Ymax :
Persamaan (02-28 dan (02-27) memberikan :
Ymax = ½ (V0 sin Θ)2 /g
……………… (02-29)
- Waktu yang diperlukan untuk mencapai tinggi semula
Untuk menscapai tinggi semula terjadi bila Y = 0
0 = (V0 sin Θ) t - ½ g t2
t = (2 V0 sin Θ ) / g
............... (02-30)
Persamaan (02-30 dengan persamaan (2-26) :
menghasilkan jarak terjauh yang ditempuh peluru :
Xmax = (V0 2 sin 2 Θ ) / g
...............(02-31)
26
simulasi gerak peluru
27
Dari persamaan (02-31) ternyata jarak tempuh peluru
terjauh , merupakan fungsi sudut Θ , yang menghasilkan
jarak terjauh terjadi bila sudut elevasi Θ adalah 450 .
Contoh soal 1: .
Santa Claus berada di atas puncak atap rumah yang bersalju,
tiba tiba tergelincir dan meluncur jatuh ke bawah di depan
pintu rumah tsb. Atap rumah panjang nya 8 m dan kemiringannya 370 dengan horizontal .Tinggi ujung bawah atap 6 m
a).Berapa jauh ia jatuh di depan pintu rumah.
b).Tentukan arah dan kecepatannya ketika membentur tanah .
Jawaban :
Persamaan yang digunakan
V2 = V02+ 2aS
28
a = g
Percepatan g diurai atas dua komponen :
g sin Θ yang sejajar bidang miring dan
g cos Θ yang tegak lurus bidang miring
VA2 = 0 + 2 (9,8 m/s2 sin 370 ) 8m
VA = 9.71 m/s
VAX = 9.71 m/s cos 370 = 7.75 m/s
VAY = 9.71 m/s sin 370 = 5.84 m/s
C
g sin Θ
Θ = 370
AC = 8 m
AB = 6 m
A
g cus Θ
g
B
D
29
SY - S0 = VY t + ½ aY t2
6 m = 5.84 m/s t + ½ x 9.8 m/s2 t2
6 m = 5,84 m/s t + ½ 9,8 m/s2 t2
4.9 t2 + 5.84 m/s t– 6m = 0 → t = 0.66 s ; t2 = - 0.18 s
Diambil harga t = 0.66 s → SX = V0 sin 370 t
maka SX = 7.75 m/s x 0.66 s = 5.11 m
b). VAX = 7.75 m/s → VDX = 7.75 m/s
VAY = 5.84 m/s → VDY = VAY + g t
VDY = 5.84 m/s + 9.8 m/s2 x 0.66 s
VDY = 12.32 m/s
VB = √(VDX2 + VDY 2) = √(7.75 2 + 12.32 2) m/s
= 14.56 m/s
Θ = atan (12.32/7.75) = 57.80
30
•
4. Gerak melingkar
• Gerak melingkar beraturan
Gerakan suatu partikel yang menjalani lingkaran degan
kecepatan konstan .
VQ
Q VP
OQ = R
PQ = ∆S
dΘ
P
ω = kecepatan sudut
Θ
Θ = ωt
O
ω
∆S = R dΘ
Vrata2
S R


t
t
dan V  lim
t0

  R........(02-32)
t
31
Kalau kecepatan sudut ω konstan maka kecepatan
tangensial V juga konstan maka :
VP = VQ
tetapi arahnya berubah sehingga menurut vektor ada
perubahan ecepatan yang besarnya ∆ V .
VP
∆V
VQ
θ
Untuk sudut θ menuju ke 00 maka ∆V tegak lurus V
dan disebut ∆VN sehingga :
aN  lim
t 0
vN
t
....................(02-33)
32
Dalam gerak melingkar beraturan dimana partikel bergerak
dengan kecepatan konstan , V , akan selalu terdapat percepa
tan normal aN (percepatan sentripetal ) yang arahnya menuju
ke pusat lingkaran . (Pernyataan ini indentik fengan : Apabila
suatu partikel bergerak dengan kecepatan konstan ,V , dan
padanya bekerja gaya konstan , F , yang tegak lurus V maka
partikel akan brgerak melingkar .)
• Gerak melingkar dipercepat
Partikel bergerak dengan kecepatan tidak konstan sehingga
menyebabkan terjadinya percepatan sudut α dan percepatan
tangensial aT .
Menurut persaman (02-32) :
∆V/∆t = ∆ω/∆t
V ( = VT ) = ω R
→
33
- Percepatan sudut , α [rad/s2]
 rata2 
aT ,rata2


dan   lim
t
t 0 t
................(02-34)
VT
VT dV
T

dan aT  lim
 .................(02-35)
t
dt
t 0 t
Perssamaan (02-35) berama peramaan (02-34) dan
(02-32) memberikan :
aT  R lim
t 0

 R
t
............(02-36)
Maka untuk gerak melingkar dengan percepatan , analobgi
dengan gerak lurus dipercepat , berlaku persamaanperamaan berikut : ........
34
ω = dΘ / dt
α = dω / dt = d2Θ / dt
ωrata2 = ½ (ω + ω0)
ω = ω0 + α t
ω2 = ω02 + 2 α (Θ - Θ0 )
Θ - Θ0 = ω0 t + ½ α t
..............(02-37a)
..........................b)
............... ......c).
..........................d)
.........................e)
..........................f)
Contoh soal :
Kecepatan sudut suatu partikel yang bergerak melingkar
demgan jejari 0.1 m adalah 4 rad/s saat t = 0 .dan percepztan
sudutnya konstan 2 rad/s2.
a). Berapa besar lintasan sudut setelah 3 sekon .
b). Berapa besar kecepatan sudutnya saat t = 3 s
c). Tentukan percepatan : tangensial , normal dan total .
35
Jawaban :
a). Θ = 4 rad/s x 3s + ½ ( 2 rad/s2 x (3s)2 ).
= 21 rad
= 21 rad x (putaran/2πrad)
= 3,34 put.
b). ω = 4 rad/s + 2 rad/s2 x 3s = 10 rad/s
c). V = ωR dan aR = V2 / R → aR = ω2 R .
aR = (4 rad/s)2 x 0,1m = 0,4 m/s2 .
aT = α R
= 0,1m x 2 rad/s2 = 0,2 m/s2 .
a = ((aR 2 + aT2 )½ → a = 0,45m/s2 .
36
v
37
<< CLOSING>>
•
Setelah mengikuti dengan baik mata kuliah ini
mahasiswa diharapkan sudah mampu menyelesaikan
persoalan-persoalan yang berhubungan dengan
kinematika partikel ,dan khususnya yang terkait dengan
bidang MIPA
38

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download