Pembangkitan Peubah
Acak Diskret
Pertemuan 05
Metode Pembangkitan



Metode Transformasi Invers
Teknik Terima-Tolak (AcceptanceRejection Technique)
Pendekatan Komposisi
Metode Transformasi Invers

Bila peubah acak X memiliki fungsi
massa peluang (fmp) sebagai berikut


P{X=xj} = pj, j = 0, 1, … , pj = 1
Untuk suatu bilangan acak U dan
0<a<b<1, maka berlaku

P(aU<b) = b – a, sehingga
j 1
 j

P{ X  x j 1}  P pi  U   pi   p j 1
i 0
 i 0


Sehingga X akan menyebar seperti
dengan yang diingini
Metode Transformasi Invers

Berdasarkan prinsip tadi maka X
dapat dibangkitkan sebagai berikut:

Bangkitkan bilangan acak U, dan
U  p0
x 0 jika
 x jika p  U  p  p
0
0
1
 1
 :
X 
j
j 1
x
j1 jika  p i  U   p i

i 0
i 0
 :
Metode Transformasi Invers

Algoritmanya adalah sebagai
berikut:





Bangkitkan sebuah bilangan acak U
Jika U < p0, set X = x0 dan stop
Jika U < p1, set X = x1 dan stop
Jika U < p2, set X = x2 dan stop
Dst
Metode Transformasi Invers

Teladan:
Bangkitkanlah peubah acak X,
dengan sebaran sebagai berikut,
X
1
2
3
4
P{X=x}
0,20
0,15
0,25
0,40
Pembangkitan PA Poisson

X adalah pa poisson dengan ratarata  jika
pi  PX  i  e

i
i  0, 1, ...
i!
sedangkan
pi 1


pi
i 1
 coba buktikan !
Pembangkitan PA Poisson

Algoritmanya adalah sebagai
berikut
1.
2.
3.
4.
5.
Bangkitkan sebuah bilangan acak U
i=0, p=e-, F=p.
Jika U<F, set X=i dan stop
p= p/(i+1), F=F+p, i=i+1
Kembali ke langkah 3
Pembangkitan PA Binomial

X ~ Binomial (n, p), sehingga
n!
pi  PX  i 
p i (1  p) ni , i  0, 1, ..., n
i!(n  i)!
sedangkan
pi 1
ni p
 PX  i  1 
P{ X  i}
i 1 1 p
 coba buktikan !
Pembangkitan PA Binomial

Algoritmanya adalah sebagai
berikut
1.
2.
3.
4.
5.
Bangkitkan sebuah bilangan acak U
c=p/(1-p), i=0, pr=(1-p)n, F=pr
Jika U<F, set X=i dan stop
pr=[c(n-i)/(i+1)]pr, F=F+pr, i=i+1
Kembali ke langkah 3
Teknik tolak-terima



Bila telah ada suatu metode yang
efisien untuk membangkitkan suatu
peubah acak Y, dengan fungsi massa
peluang {qj, j  0}
Berdasarkan metode ini digunakan
untuk membangkitkan peubah acak X,
dengan fungsi massa peluang {pj, j  0}
Pertama disimulasikan p.a. Y, dan
menerima nilai ini sebagai nilai p.a. X
dengan peluang proporsional pj/qj
Teknik tolak-terima

Dicari suatu konstanta c terkecil yang
memenuhi kondisi berikut:
pj
qj
 c, untuk semua j
kemudian X disimulasikan sebagai
berikut
mulai
Bangkitkan Y
dengan fmp qj
Bankitkan
U
Apakah
UpY/cqY
tidak
ya
X=Y
Teknik tolak-terima

X
Teladan
Simulasikanlah nilai sebuah p.a. X
yang mempunyai sebaran berikut:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
px 0,11 0,12 0,09 0,08 0,12 0,10 0,09 0,09 0,10 0,10

Telah diketahui metode yang efisien
untuk mensimulasikan p.a Y dengan
fmp qY=0,10 Y=1, 2, … ,10
Teknik tolak-terima


1.
2.
3.
4.
Bangkitkan U, dan Y=Int(10 U)+1
fungsi apakah Int() ?
Pilihan nilai c yang memenuhi syarat
yang ditentukan adalah
c = max {pj/qj} = 1,2 Jadi
algoritmanya untuk membangkitkan X
adalah
Bangkitkan U1 dan set Y=Int(10 U1)+1
Bangkitkan U2
Jika U2pY/0,12 set X=Y, stop
Kembali ke langkah 1

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download