download

. PERSAMAAN LAPLACE DAN POISSON
.
P09(F2F)
Pertemuan ini merupakan kelanjutan dari medan listrik
dan potensial listrik . Berdasarkan pada persamaan Maxwell
ke tiga (div D = ρ ) dan hubungan antara pergerseran
dielektrik D dengan kuat medan E serta hubungan antara
potensial V dengan E akan diperoleh persamaan Poisson
▽2V = -ρ/ε dan bila ρ = 0 ,menghasilkan Laplace . .
Aplikasi dari persamaan Poisson dan Lap;ace , pada
umumnya untuk menyelesaikan masalah-masalah yang
berhubungan dengan potensial .
.
.
Setelah menyelesaikan dengan baik materi kuliah ini
mahasiswa diharapkan sudah mampu menyelesaikan ............
7/11/2017
1
masalah-masalah yang berhubungan dengan medan listrik
.. dan potensial listrik , khususnya yang terkait dengan
.. teknik sistem komputer .
7/11/2017
2
● Pendahuluan
Penentuan kuat medan E di dalam bab-bab terdahulu
berdasarkan pada :
- Hukum Coulomb :
Fc
E  lim
q0 0 q
0
 0 c.s E.dS- Hukum
q
→
dq
E  k  2 dr
r
Gauss :
 0 c.s E.dS  q
- Gradien Potensial :
E  V
7/11/2017
3
 D  
Pada umumnya distribusi muatan dan distribusi potensial pada suatu benda pada daerah pengamatan
tidak diketahui.
Bahan penghantar yang bentuknya bermacam-macam
seperti bidang , garis dan bidang lengkung , pada
umumya terspesifikasi dan potensialnya diketahui
terhadap suatu referensi tertentu (batas-batas
  D   penghantar).
 D  
Persamaan Maxwell ke 3 menyatakan bahwa :
▽ • D = ρ

D = ε0 E dan E = - ▽ V →   V  

● Persamaan Poisson
  V   2V  
7/11/2017


..........(01)
4
 2V 
● Persamaan Laplace :
 2V
= ∆V = 0 (Persamaan Laplace)
- dalam koordinat Kartesian
2
2
2

V

V

V
2
V 2  2  2
x y z
............(02)
- dalam koordinat tabung
2
2
1


V
1

V

V


2
V
r   2 2  2
r r  r  r  z
- dalam koordinat bola
2
1


V
1


V
1

V




2
2
V  2
r
 2
 sin 
 2
2
2
r

r

r
r
sin





r
sin







5
7/11/2017
E  V
● Teorema Keunikan.
Jawaban dari persamaan Poisson/Laplace yang
memenuhi syarat-syarat batas yang lengkap
bersifat unik(satu-satunya) jawaban.
● Langkah-langkah mencari muatan :
• Persamaan Laplace
• Syarat batas potensial
• E=-▽ V
•D=εE
• Cari muatan pada lempeng
- Syarat batas : ρS = Dn
- q = ∫S ρS dS
7/11/2017
6
Contoh 1 :
Satu dimensi (mencari kuat medan) . Penghantar
paralel VZ=0 = 0 dan VZ=d = 100 V , d = jarak
antara ke dua lempeng dan efek dari tepi lempeng diabaikan.
Jawaban :
Dari syarat batas diketahui potensial hanya fungsi
dari z → persamaan Laplace menjadi :
Z
Y
 2V
 0 → V = Az + B
2
z
VZ=0 = 0 , VZ=d = 100V
X
7/11/2017
7
- Jadi potensial V adalah : V = 100(z/d)
- Kuat medan diperoleh dari :
E = - ▽ V = ∂V/∂x i + ∂V/∂y j +∂V/∂z k
=-k

z
100 
z 
d
=

100 V 
k
d  m 
- Kerapatan flux elektrik ,D :

100 V 
k 
d m
D = εE→ D =

100
a z [C / m 2 ]
d
- Rapat muatan pada lempeng, ρS :
ρS = Dn = ± 100 ε/d [C/m2]
.
(muatan positif pada x = d dan muatan negatif
pada x = 0)
7/11/2017
8
Contoh 2 :
Tentukan fungsi potensial dan intensitas medan
listrik dalam ruangan di antara dua silinder tegak
yang kosentrik bila V = 0 volt untuk r = 1 mm dan
V = 150 volt untuk r = 20 mm dan efek tepi sisi
diabaikan.
Jawaban :
Karena lempeng berbentuk silinder maka dipergunakan system koordinat silinder.
Potensial tidak tergantung dari φ dan z sehingga
persamaan Laplace menjadi :
1 d  dV 
r   0
r dr  dr 
7/11/2017
9
Di integral sekali menghasilkan :
.
 dV 
r
 A
 dr 
A = konstanta
Hasil ini di integralkan lagi menghasilkan :
V = A ln r + B , B = konstanta
Masukkan syarat batas maka diperoleh ,
V = 50.1 ln r + 345.9 volt
Kuat medan listrik , E :
E = - grad V → E = -
7/11/2017
d
50.1 ln r  345.9 volt 
dr
10
sehingga E menjadi :
50.1
 ar [V / m]
E 
r
Contoh 3 :
Dua buah tabung konduktor konsentris dengan
jejari tabung dalam 4 cm dan jejari tabung luar 15
cm serta sumbunya berimpit dengan sumbu Z.
Ruang antara ke dua konduktor di isi dengan
bahan dielekrik = 10. Potensial antara ke dua
konduktor merupakan fungsi dari jejari , dimana
pada r = 5 cm potensialnya 200 volt dan pada r = 12
cm potensialnya V = 40 volt. Laplacian dalam koordinat tabung adalah ::
7/11/2017
11
2 V = ((1/r)/r)(rV/r) + (1/r2 )2V/2 +
2 V/z2 = 0
a. Carilah beda potensial antara ke dua konduktor.
b. Berapakah kerapatan muatan pada konduktor
lebih positif ?
Jawaban:
Dalam soal tegangan hanya tergantung pada jejari
r ; sehingga persamaan menjadi :
2 V = ((1/r)/r)(rV/r) = 0
(/r)(rV/r) = 0
di integralkan sekali memberikan :

rV/r = K  dV/dr = K/r
atau dV = Kdr/r
7/11/2017
12
 V = K ln r + L
Vr = 0.06 m = 200 volt 
200 = K ln (6 x 10-2 ) + L
……(a)
Vr = 0.12 m = 40 volt 
40 = K ln (12 x 10-2 ) + L
……(b)
Dari (a) dan (b) diperoleh K = - 231 volt
dan B = - 450 volt
Persaamaan potensial antara ke dua konduktor:
V = ( - 231 ln r + - 450) volt
Vr = 0.04 m = - 231 ln (4 x 10-2 ) - 450
= 294 volt
Vr = 0.15 m = -231 ln (15 x 10-2) - 450 = - 12 volt
7/11/2017
13
a . Beda potensial antara kedua konduktor , V :
V = 294 – (- 12) = 306 volt
b. Kerapatan muatan pada konduktor lebih positif
adalah :
 S = Dn =  0  R E ;
E = - V
= V/r i + (1/r) (V/) j + V/ z k
Karena merupakan fungsi r saja , maka :
E = - V = V/r i
E = -V = - ( - 231 ln r + -450)/r i 
E = 231/r i
7/11/2017
Jadi kuat medan pada konduktor dalam adalah :
E = (231 / 0.04 m )volt
14
Jadi kuat medan pada konduktor dalam adalah :
E = (231 / 0.04 m )volt
E = 5.8 x 103 V/m
dan
S = Dn = 8.85 x 10-12 Nm2 /C2 x 10 x 5.8 x
103 V/m
S = 5.12 x10-7 C/m2
7/11/2017
15
simulasi/animasi
http://www.univlemans.fr/enseignements/physique/02/electri/menuelec.ht
ml
7/11/2017
16
Rangkuman :
1. Persamaan Poisson
 ρ = kerapatan , V = potensail
  V   V  
 . ε = permitivitas
2
2. Persamaan Laplace
  V   V  0
2
7/11/2017
17

Download Report