2014 年 11 月 25 日(火) 第 4 回電磁気学 I 演習解答～ビオ・サバールの法則，磁気双極子モーメント～ 4．4-2 の積分変数は， z ではなく z ' です．円形電流による磁束密度の重ね合わせで，任意の点 z における磁束密度が求まります． 4-1．図 2 のように円筒座標系を用いると， r  ze z , r '  ae r , dr '  ade であるから， dr '(r  r ' )  ade  {ze z  ae r }  ad ( ze r  ae z ) ．したがって， dB(r )  0 I 4 B(r )    0 I ad ( ze r  ae z ) 4 ( z 2  a 2 ) 3 / 2  2 0 2 ad ( ze r  ae z )  0 I a2  e d 2 2 3/ 2 2 2 3 / 2 z 0 4 ( z  a ) (z  a ) 0 I a2 ez 2 ( z 2  a 2 )3 / 2 4-2．円筒ソレノイドの中心軸上の点 z ' に幅 dz ' の微小区間を考えると，この微小区間の円形ループに流れる電流は nIdz ' となる．この微小電流が軸上の点 z に作る磁束密度は，4-1 より dB(r )   0 nIdz ' 2 R2 ez {( z  z ' ) 2  R 2 }3 / 2 で与えられる．これを積分すると， B(r )  0 nIR 2  0 nI  2 t  z l / 2  dz ' 0 nI  t ez     l / 2 {( z  z ' ) 2  R 2 }3 / 2 2  R 2  t 2  t  z l / 2 l/2 2z  l  2  4 R 2  (2 z  l ) 2    4 R 2  (2 z  l ) 2  を得る． 5． 3  / 2 cos  dx a 2  d  2 2 2 3 / 2 3 2   ( x  a )  / 2 a cos  a 5-1．   5-2． x 2  a 2  a(1  t 2 ) /(1  t 2 ) となるから， 2z  l 2014 年 11 月 25 日(火)  dx  x2  a2 1  t 2 2a(1  t 2 ) 1  1 t  1 dt     C dt  ln 2 2 2 a(1  t ) (1  t ) 1 t 1 t 1 t   ln | x 2  a 2  x | C 6．面積分と体積分を計算できるようになりましょう．演習では，図を描いて各座標系の微小面積と微小体積の説明をしましたが，ヤコビアンを用いて機械的に計算する方法も身につけて下さい． 6-1．(a) 円筒座標系の面積要素は dS  rdrd で与えられるから，全電流 I は， 2 a 1 cos 2 drd  i0  cos 2 d  r 2 dr  i0 a3 0 0 0 0 3 (b) 被積分関数が  に無関係の場合， dS  2rdr を考える． I  2 a  ir 2 0 a 2 このとき， I   i0 r  2rdr  i0 a 3 0 3 6-2．(a) 極座標の体積要素は， dv  r 2 sin drdd であるから， Q 2 0  a 0 0   a 0 0 1 4  0 r 3 sin 2 drd d  2 0  sin 2 d  r 3 dr   2  0 a 4 (b) 被積分関数が r だけの関数の場合， dv  4r 2 dr を考える． a Q    0 r  4r 2 dr   0 a 4 0