「運動方程式を解く」の補足

力学Ⅰ
「運動方程式を解く」の補足
ニュートン力学の完成
→
自然観，世界観への大きな影響
ニュートン力学は，地上世界の運動（リンゴの落下）も，天上世界の運動（惑
星の運動）も同じ物理法則（運動方程式，万有引力など）に従っていること
を示した。
それ以前は，地上の法則と天上の法則は異なると考えられていた。
⇒占星術（星の位置や動きを見て，政治などの重要事項を決めていた）
迷信から自由に・・・＜世俗化＞
雷によっておへそが取られる
（迷信と宗教は違う）
→
雷は電気現象
因果律（原因−結果）
ニュートン力学の理論では，
r
物体にどのような力 F (x(t ), y (t ), z (t ), t ) が作用するのか分かっているとき，
(
)
r
r
初めの位置 r (0) = (x(0), y(0), z (0) ) と速度 v(0) = v x (0), v y (0), v z (0) （初期条件）
が与えられると，
その後の物体の運動は決定してしまう。
⇒
決定論的因果律
もしニュートン力学が正しければ，宇宙誕生時の全ての粒子の位置
と速度によって，その後の宇宙の運動は決まってしまうことになる。
（粒子の位置と速度が決まれば，力の法則によって，粒子同士に作用する力も決まる。）
しかし，
現代物理（量子力学）の理論では，
ミクロな粒子（原子，電子，素粒子など）は，初めの運動状態を与えたとき，
粒子に作用する力が分かっていても，
その後の粒子がどうのような運動をするかは，確率でしか分からない。
⇒
確率論的因果律
ただし，ニュートン力学の完成によって，
「ある結果にはそれに至る原因がある」
という考え方が確立した意義は大きい。
ある病気（結果）←病原菌，ウイルスなど（原因）
35
力学Ⅰ
物体のつり合い
物体が動かない（運動しない）場合について考える。
２つ以上の力が物体に作用しているとき，物体が動かない条件を考える
問題を「物体のつり合い」という。
ここでは，大きさがある物体についても扱うことにする。
大きさがある物体では，そのまま移動（平行移動）するだけの運動に加えて，
物体が回転する運動を考える必要がある。
（回転運動は，力学Ⅱで詳しく扱う。
）
「つり合う」＝「平行移動しない」＆「回転しない」
力のつり合い
物体が静止し続けている状態では，速度が
r
ゼロ（ v = 0 ）で変化しない。
r
dv
= 0 ）である。
dt
r
r
r
運動方程式 F = ma より，物体に作用する合力は F = 0 。
r
r
物体に力 F1 ， F2 ，･･･が作用しているとき，物体が平行移動しないために
したがって，加速度も
r
ゼロ（ a =
必要な条件は，
力のつり合い：
r
r
F1 + F2 + L = 0
・・・（ア）
が成り立つことである。
力のモーメント（トルク）
＝点 O のまわりで回転を引き起こそうとする作用
r
力のモーメントをもつのは，作用点の位置ベクトル r に垂直な力の成分のみ
力のモーメントは，点 O と作用点との距離 r ［m］が大きいほど大きい
（てこの原理）→ 作用点を正しく描くことが重要
r
F
重力の作用点は「重心」
（一様な物体ならば幾何学的な中心）
F sin θ
r
点 O のまわりでの力 F のモーメントの大きさ
N = ( F sin θ ) ⋅ r =
F ⋅ r sin θ
O
［ N･m ］
+
θ
r
−
ここでは，反時計回りを正，時計回りを負とする。
（逆にしてもよい）
練習① 点 O のまわりで力のモーメントを計算せよ
N A = − 2.0 [N] × 1.5 [m] = −3.0 ［N･m］
N B = 2.5 [N] × 2.0 [m] × sin30° = 2.5 ［N･m］
（時計回りに回転する）
FA = 2.0 [N]
A
1.5 [m]
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O
FB = 2.5 [N]
30°
B
2.0 [m]
力学Ⅰ
作用線が一致していないと，力がつり合っていても，物体は回転する。
r
F1
物体が回転しないための条件は，
r
F1
作用点
力のモーメントのつり合い：
N1 + N 2 + L = 0
・・・（イ）
作用線
r
r
F2 = − F1
が成り立つことである。
（どこか１点のまわりで成り立てばよい。
）
r
r
F2 = − F1
大きさがある物体がつり合う条件は，
（ア）（イ）の両方が成り立つこと。
例題 A 棒の長さ L = 6.0 [m] ，質量 m = 10 [kg] の棒を，壁との角度 θ = 30° で立
てかけた。
（教科書 62 ページ問題２）
① 力をすべて書け ② 力のつり合いの条件式
fw
滑
θ
G
mg
fN
fF
ら
→ f N = mg
床に平行： f F − f w = 0
→ fF = fw
･･･(a)
･･･(b)
か ③ 重心 G のまわりで，力のモーメントのつり合いの条件式
な
L
L
L
壁
fF ⋅
fF ⋅
粗い床
fw ⋅
壁に平行： f N − mg = 0
2
⋅ sin 60° + f w ⋅
2
⋅ sin 60° − f N ⋅
3
3
1
+ fw ⋅
− fN ⋅ = 0
2
2
2
2
⋅ sin 30° = 0
に（a），
（b）を代入
mg 10 [kg] × 9.8[m/s 2 ]
3
3
1
=
= 28 ［N］
+ fw ⋅
− mg ⋅ = 0 → f w =
2
2
2
2 3
2 3
(a)より f N = 98［N］
，(b)より f F = 28［N］
例題 B 長さ L = 6.0 [m] ，質量 m = 10 [kg] の棒 AB を，糸と壁との摩擦を利用して，
粗
い
壁
水平になるようにつり合わせた。棒と糸との角度は θ = 30° であった。
① 力をすべて書け ② 力のつり合いの条件式
固定
鉛直： f F + T sin 30° − mg = 0
･･･(a)
糸
水平： f N − T cos 30° = 0
T
fF
G
A
θ
③ 点 A のまわりで，力のモーメントのつり合いの条件式
B
fN
･･･(b)
T ⋅ L ⋅ sin 30° − mg ⋅
mg
L
=0
2
mg
= m g = 10 [kg] × 9.8 [m/s 2 ] = 98 ［N］
2 sin 30 °
1
3
(b)より f N = 98 [ N] ×
，(a)より f F = 98 [ N] − 98 [ N] × = 49［N］
= 85［N］
2
2
T =
37
力学Ⅰ
仕事と運動エネルギー
r
r
物体の運動を理解する基本は，運動方程式 ma (t ) = F (t ) である。
r
r
物体に作用する合力 F (t ) が分かっても，運動方程式を解いて位置 r (t ) や速度
r
v(t ) を求めることが，数学的に難しいまたは時間がかかる場合も多い。
このような場合に，運動方程式を解いて物体の運動に関する完全な情報が得
られなくても，部分的な情報が分かれば十分という場合も多い。
例：運動の向きは分からないが，速さ（速度の大きさ） v(t ) が分かる
r
r
運動方程式 ma (t ) = F (t ) を出発点にして，新しい関係式を導く。
「エネルギー」に関する関係式である。
他の科目や日常生活でもよく耳にするように，
「エネルギー」という考え方は，
「力学」という分野を超えて，あらゆる自然現象を理解するための鍵となる。
仕事（work）
r
まず，物体に作用する力 F から，
「仕事」という量を導入する。
仕事は，物体がもつ「エネルギー」を変化させる働きをもつ量である。
r
物体に一定の力 F ［N］を加えて，力の方向に L ［m］移動させるとき，
仕事 W は
F
W = F ⋅L
（「仕事」＝「力」×「移動距離」
）
F
L
で表される。
したがって，仕事の単位は［N］×［m］＝［N･m］である。この仕事の単位
は重要で，よく使う単位なので，
［
J ］
（
ジュール
）
と名前がついている。
（絶対覚えること！）
練習① F = 3.0［N］の一定の力を加えて，力の向きに L = 20［m］移動させた。
仕事 W は？
W = F ⋅ L = 3.0［N］×20［m］＝60［J］
② m = 2.0［kg］の物体が，鉛直下向きに L = 5.0［m］落下した。
F
仕事 W は？
F = mg = 2.0［kg］×9.8［m/s2］＝19.6［N］
L
W = F ⋅ L = 19.6［N］×5.0［m］＝98［J］
F
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