download

Matakuliah : J0174/Matematika I
Tahun
: 2008
Aplikasi Optimisasi Fungsi
Pertemuan 19
Biaya Minimum, Penerimaan Maksimum, dan
Laba Maksimum
Biaya minimum, Penerimaan Maksimum dan Keuntungan maksimum
sebuah perusahaan dapat dihitung dengan pendekatan matematik
melalui hitung kalkulus. Biaya minimum, Penerimaan maksimum dan
Keuntungan maksimum merupakan sebuah keadaan stasioner atau titik
kritis. Nilai kritis didapat apabila persamaan turunan pertama dari
fungsi biaya, fungsi penerimaan dan fungsi keuntungan sama dengan
nol.
Bina Nusantara
Biaya Minimum
Fungsi Biaya yang sering dicari titik minimumnya adalah fungsi Biaya
total, fungsi Biaya marginal dan fungsi Biaya rata-rata marginal
Bina Nusantara
Biaya Total
Fungsi Biaya Total :
Maka
TC
TC = f(Q)
minimum bila
d TC / d Q = 0
Bina Nusantara
Marginal cost
MC = dTC/dQ
MC minimum bila
Bina Nusantara
dMC/dQ = 0
Biaya Rata-rata Minimum
Biaya Rata-rata AC
AC = TC/Q
AC minimum bila dAC/dQ = 0
Bina Nusantara
Optimisasi (1)
Maksimisasi Keuntungan
Dalam masalah optimisasi ada fungsi obyektif yang harus dibuat. Misal
perusahaan ingin mendapat keuntungan maksimum yaitu maksimalisasi
perbedaan antara penerimaan dengan biaya.
R dan C masing-masing
merupakan fungsi dari variabel yang sama yaitu Q.
Laba (p) = R - C , karena R = f(Q) dan C = f(Q) maka
p = f (Q). Optimum dicapai apabila turunan pertama sama dengan nol.
p = R - C maka
dp /dQ = dR/dQ - dC/dQ
= MR - MC
Optimum dp /dQ = 0 maka MR - MC = 0 jadi
MR = MC
Bina Nusantara
Optimisasi (2)
Dari suatu perusahaan diketahui bahwa fungsi permintaan P = 1000 - 2Q
dan fungsi biaya
C = Q3 - 59 Q2 + 1315 Q +2000
Hitung kuantitas yang memberikan keuntungan maksimum. ( P dan C dalam
Rupiah dan Q dalam Unit)
Jawab
R = P . Q = (1000 - 2Q)Q = 1000Q - 2 Q2 dari R diturunkan fungsi MR = R’ =
1000 - 4Q.
Sedangkan fungsi biaya C = Q3 - 59 Q2 + 1315 Q +2000 dari fungsi biaya
diturunkan fungsi biaya marjinal.
MC = C’ = 3 Q2 + 118Q + 1315
Laba p optimum apabila MR = MC
1000 - 4Q = 3 Q2 + 118Q + 1315
- 3 Q2 + 114Q - 315 = 0
Q2 - 38Q + 105 = 0
Bina Nusantara
Optimisasi (3)
(Q - 35) (Q - 3) = 0
Q1 = 35 Q2 = 3
Untuk Q = 35 jika disubstitusikan pada fungsi laba
p = 1000Q - 2 Q2 - (Q3 - 59 Q2 + 1315 Q +2000 ) maka
p = - Q3 +57 Q2 - 315 Q -2000
=- (35)3 +57 (35)2 - 315 (35) -2000
=13 925
sedangkan jika Q = 3 maka
p = -(3)3 +57 (3)2 - 315 (3) -2000
= -2441
Perusahaan mendapatkan laba maksimum apabila produk diproduksi
35 unit dengan keuntungan sebanyak Rp 13 925
Bina Nusantara

Download Report