download

Matakuliah : J0174/Matematika I
Tahun
: 2008
Aplikasi Diferensial Parsial
Pertemuan 21
Aplikasi Diferensial Parsial dalam Ekonomi dan
Bisnis
• Pendekatan diferensial parsial sangat berguna
untuk diterapkan dalam model-model ekonomi.
Kejadian-kejadian ekonomi seperti produksi,
konsumsi,
permintaan
dan
penawaran,
pendapatan nasional dan sebagainya terwujud
bukan hanya pengaruh dari satu variabel saja.
• Berikut ini diberikan contoh analisis sederhana
penggunaan diferensial parsial dalam variabel
ekonomi. Pembahasan meliputi biaya marjinal,
permintaan, elastisitas dan produksi.
Bina Nusantara
Biaya Marjinal (1)
Bila suatu perusahaan memproduksi dua macam barang misalnya x dan
y, maka biaya produksi yang wujud adalah tergantung berapa banyak x
dan y yang diproduksi. C dinyatakan sebagai biaya total untuk
memproduksi x dan y sehingga
C = f ( x, y)
maka derivatif parsial dari fungsi biaya C adalah biaya marjinal masingmasing produk.
Cx merupakan biaya marjinal produk x = M Cx = dC/dx
Cy merupakan biaya marjinal produk y = M Cy = dC/dy
Bina Nusantara
Biaya Marjinal (2)
Contoh
Biaya Gabungan untuk menghasilkan sepatu dan tas oleh
debuah perusahaan adalah C = x2 ln (y + 10)
Maka
MCx = dC/dx = 2x ln (y + 10) , biaya marjinal
produk x
MCy =dC/dy = x2 / y +10, biaya marjinal produk y
Latihan
Coba buat fungsi biaya marjinal dari fungsi biaya :
C = ex + ey + xy + 5
Bina Nusantara
Permintaan Marjinal dan Elastisitas (1)
• Permintaan Marjinal
•
•
•
•
Bina Nusantara
Permintaan suatu barang tidak hanya dipengaruhi oleh harga dari
barang yang bersangkutan. Ada faktor lain seperti barang lain
sebagai komplemen atau subtitutornya, selera, pendapatan dan
lain-lain.
Dalam pembahasan kali ini kita melihat fungsi permintaan suatu
barang yang dipengaruhi oleh harga barang yang bersangkutan
dan harga barang lain sebagai komplemen atau subtitutornya.
Barang berhubungan secara komplemen artinya penggunaan
kedua barang dilakukan secara bersamaan. Penggunaan satu
barang harus diiringi oleh barang komplemennya.
Sedangkan jika barang berhubungan secara substitusi maka
fungsi kedua barang saling menggantikan.
Permintaan Marjinal dan Elastisitas (2)
•
•
•
•
Andaikan fungsi permintaan dari dua jenis barang dinyatakan sebagai:
x = f(px, py)
dan y =(py , px)
px menyatakan harga barang x dan py menunjukkan harga barang y
Derifatif parsial dari x dan y menyatakan fungsi permintaan marjinal:




dx/dpx menyatakan permintaan marginal x thd harganya
dx/dpy menyatakan permintaan marginal x terhadap harga barang y
dy/dpy menyatakan permintaan marginal y thd harganya
dy/dpx menyatakan permintaan marginal y terhadap harga barang x
Bina Nusantara
Permintaan Marjinal dan Elastisitas (3)
•
•
•
•
Jika harga barang y turun menyebabkan kenaikan permintaan barang x
dan sebaliknya maka kedua barang berhubungan secara komplementer.
Dan jika harga barang x naik menyebabkan kenaikan permintaan
permintaan barang y dan sebaliknya maka hubungan x dan y adalah
substitusi.
Hubungan kedua barang dalam dilihat dari tanda positip dan negatifnya.
Negatif jika berkomplementer dan positip jika bersubstitusi.
Dari permintaan marjinal dapat terus digunakan untuk menghitung
elastisitasnya. Elastisitas yang
menghitung hubungan dua barang
dinyatakan dengan elastisitas silang.
Selain elastisitas silang dapat pula dihitung berbagai elastisitas yang lain.
Fungsi permintaan yang dibuat variabel bebasnya harus terdiri dari
beberapa variabel yang mempengaruhi fungsi permintaan tersebut,
seperti pendapatan konsumen, selera konsumen dan periklanan dan
sebagainya.
Bina Nusantara
Permintaan Marjinal dan Elastisitas (4)
Elastisitas Silang
Misal diketahui fungsi permintaan :
Qx = a - bPx + cPy + mI
Qx menunjukkan permintaan barang x
Px = harga barang x
Py = harga barang y
I = pendapatan konsumen
Elastisitas silang barang x terhadap barang y
Permintaan marginal d Qx / dPy = c maka
Elastisitas silang exy = dQx/ dPy . Py / Qx
= c . Py / Qx
Elastisita bertanda positip artinya y merupakan barang substitusi x
Elastisitas pendapatan:
Permintaan marginal thd pendapatan = dQx/ dI = m
maka Elastisitas pendapatan ei= dQx/ dI . I/ Qx
Bina Nusantara
Permintaan Marjinal dan Elastisitas (5)
Contoh
Permintaan daging sapi ditunjukkan oleh persamaan
Qb = 4850 - 5 Pb + 1,5 Pn + 0,1 I
Qb = Jumlah daging sapi, Pb harga daging sapi = 200, Pn harga daging
kambing =100 dan Y pendapatan konsumen = 10 000 ( Jumlah barang dalam
unit, harga dan pendapatan dalam satuan uang).
Dengan harga daging sapi 200, daging kambing 100 dan pendapatan 10000
satuan uang maka permintaan daging sapi 5000 unit.
Permintaa marjinal daging sapi thd daging kambing
dQb / dPn = 1,5 maka Elastisitas silang daging sapi terhadap daging kambing
ebn = dQb/ dPn . Pn / Qb
= 1,5 . 100/5000
= 0,03 -> Inelastis
Dengan Elastisitas sebesar 0,03 jika harga daging kambing turun sebesar 10
% maka kuntitas daging sapi yang diminta naik sebesar 0,3 %.
Bina Nusantara
Permintaan Marjinal dan Elastisitas (6)
Elastisitas
pendapatan
permintaan daging sapi
konsumen
terhadap
Permintaan marjinal pendapatan dQb/ dI = 0,1 maka
Elastisitas pendapatan
ei = dQb/ dI . I/ Qb
= 0,1 . 10000/5000
= 0,2 Inelastis
Jika pendapatn konsumen berubah sebanyak 10 % maka
kuantitas daging sapi yang diminta berubah sebanyak 2%.
Bina Nusantara
Produk Marjinal dan Keseimbangan Produksi (1)
•
Fungsi produksi untuk kebanyakan produk memerlukan sedikitnya
dua faktor produksi atau input seperti tenaga kerja , modal, bahan
baku dan alat-alat berat seperti mesin-mewsin. Suatu produk Z
jika diproduksi dengan menggunakan input K dan L secara
serentak maka fungsi produksi dinyatakan Z = f (K,L).
• Produk Marjinal
•
Bina Nusantara
Berkaitan dengan penggunaan input, maka produktivitas marjinal
dari setiap input menyatakan tingkat pertambahan dari produk
total bila terjadi kenaikan penggunaan masing-masing input.
Penghitungan produktivitas marjinal dari input yang dihitung
diasumsikan bahwa penggunaan input yang lain tetap.
Produktivitas marjinal biasanya positif untuk suatu rentang
penggunaan input cukup besar. Jika penggunaan input bertambah
sementara input lain tetap, maka output juga bertambah.
Produk Marjinal dan Keseimbangan Produksi (2)
Tetapi bila input terus bertambah sementara input lain tetap output biasanya bertambah
dengan tingkat yang semakin menurun sampai suatu titik dimana tidak terjadi lagi
pertambahan output. (hukum menurunnya produktivitas marjinal).
Fungsi Produksi Z = f(K , L)
maka Produktivitas marjinal:
dZ/ dK = MPk Produk marjinal Z atas input K
dZ/ dL = MPl Produk marjinal Z atas input L
Contoh
Fungsi Produksi Z = 6K5/8 L3/8 maka
produk marjinal Z terhadap input K adalah
dZ / dK = 5/8 . 6 K -3/8 L3/8 = 30/8 K -3/8 L3/8
produk marjinal Z terhadap input K adalah
dZ / dK = 3/8 . 6 K 5/8 L-5/8 = 18/8 K 5/8 L-5/8
Bina Nusantara
Produk Marjinal dan Keseimbangan Produksi (3)
Keseimbangan Produksi
Keseimbangan produksi adalah keadaan atau tingkat penggunaan kombinasi
faktor-faktor produksi secara optimum. Keadaan ini dicapai dengan syarat:
dZ/ dK
Pk
------- = ----dZ/ dL
Pl
M Pk
Pk
------- = ----- atau
M Pl
Pl
M Pk
MPl
-------- = -----Pk
Pl
Bina Nusantara
Produk Marjinal dan Keseimbangan Produksi (4)
Latihan
Hitung Marjinal Produk jika
Persamaan Fungsi
Produksi
Q = Z = 12K1/2L3/2 pada tingkat penggunaan K
sebesar 500 unit dan L 30 unit .
Jika harga K 25 satuan uang dan L 10 satuan uang
bagaimana bentuk persamaan produksi dalam
keseimbangan produksi.
Bina Nusantara

Download Report