download

Modul 9
Analisis Ragam (Varians)
1. Konsep Dasar
Analisis varians adalah suatu cara yang dapat
digunakan untuk menguji rataan populasi.Teknik
analisis varians digunakan untuk menganalisis atas
menguraikan seluruh (total) variasi atau bagianbagian yang bermakna. Analisis varians digunakan
untuk menguji k buah rataan populasi (k > 2).
Populasi-populasi itu akan dianggap saling bebas
dan menyebar normal dengan rataan 1,2,…,k
dan varians sama dengan 2.
2. Analisis Varians Klasifikasi Satu Arah
Peubah acak berukuran n yang dipilih dari setiap k
populasi dan ingin menguji hipotesis :
H0 : 1 = 2 =… =k
H1 : sekurang-kurangnya dua rataan populasi yang
tidak sama.
1
 Hasil pengamatannya :
1
y11
y12
2
y21
Y22
Perlakuan
…
i
…
yi1
…
yi2
.
.
.
y1n
Jumlah T1.
Rataan y1.
.
.
.
y2n
T2.
.
.
.
yin
Ti.
y 2.
…
…
…
y i.
…
…
…
k
yk1
yk2
…
…
…
.
.
.
ykn
Tk.
T…
y k.
y
 Model matematika :
yij     i   ij
k
,  i     i dan   i  0
i 1
k


i 1
i
k
 Rumus perhitungan jumlah kuadrat:
Ukuran contoh (sampel) sama = n
2
k
2
n
T
2
JKT   yij   ; JKT  Jumlah Kuadrat Total
nk
i 1 j 1
k
T
i.
2
T
JKA  i 1
  ; JKA  Jumlah Kuadrat Perlakuan
n
nk
JKG  JKT  JKA ; JKG  Jumlah Kuadrat Galat
 Tabel Analisis Varians untuk Klasifikasi Satu Arah
Sumber
Variasi
Perlakuan
Jumlah
Kuadrat
JKA
Derajat
bebas
k-1
Galat
JKG
k (n-1)
Total
JKT
nk - 1
Rataan
Kuadrat
Fhitung
2
JKA
S
1
S1 
k 1
S2
JKG
2
S 
k n  1
2
-
-
 Rumus perhitungan jumlah kuadrat: ukuran contoh
(sampel) tak sama.
2
k
n
T
2
JKT   yij 
N
i 1 j 1
k
2
2
T
T
JKA   i.  
N
i 1 ni
JKG  JKT  JKA
k
N  n1  n2  ...  nk   ni
i 1
3
N –1 untuk JKT;
k – 1 untuk JKA;
N – k untuk JKG
Derajat bebas :
3. Uji Kesamaan Beberapa Varians
Hipotesis :
H0 : 12 = 22 = …. = k2
H1 : tidak semua varians sama
a. Uji Bartlett
 Statistik Uji :
b
 S 
2 n 1 1
1
S 
2 n 2 1
2
 
2 n k 1
k
... S

1
Nk
S2p
 Keputusan tolak H0 bila b < bk (;n); untuk
ulangan sama = n
b < bk (; n1, n2, …, nk ); untuk ulangan
tidak sama dimana
b k (; n1 , n 2 ,..., n k ) 
n1b k (; n1 )  n 2 b k (; n 2 )  ...  n k b k (; n k )
N
bk (;n) = Tabel nilai kritis uji Bartlatt
b. Uji Cochran
Uji ini terbatas
(sampel) sama.
untuk
ukuran
contoh
4
 Statistik uji
G
Si2 terbesar
k
S
i 1
2
i
 Keputusanmenolak H0 : bila G>g; g =
nilai kritis pada uji Cochran
4. Pembandingan Ganda Rataan Perlakuan.
 Selang kepercayaan k(1-) 100% beda rataan
perlakuan ke i dan ke:
y i  y   t 1  ( N  k )
2
2 S2
2 S2
 i   j .  yi  y j   t 1
 ( Nk )
n
n
2
Pasangan perlakuan ke-i dan ke-k berbeda bila
yi .  y k .   t 1
2
yi .  y  t 1
2
 ( N k )
 ( N k )
2 S2
atau
n
2 JKG
n(N  k)
BNT = Beda Nyata Terkecil atau
LSD = Least Significant Difference
5
BNT =
t1
2
 ( N k )
2 JKG
n(N  k)
 Selang kepercayaan (1-)% serentak dari Tukey
untuk beda dua rataan :
y .  y . q(; k, N  k)
i
j
JKG
JKG
  i -  j  y i .  y j .  q(; k, N  k)
n( N  k)
( N  k )n
Dan pasangan i, j berbeda jika
yi .  y j. 
BNJ = Beda Nyata Jujur
BNJ = (HSD = Honestly Significant Difference)
BNJ =
q (; k , N  k )
JKG
(N  k) n
5. Analisis Varians Klasifikasi Dua Arah
Bentuk rancangannya, rancangan (acak) kelompok
= Randomized Complete Block Design
Model matematikanya
Yij =  - i + j + ij
6
Hasil pengamatan
Perlakuan
(A)
Kelompok (B)
1
y11
y21
:
:
ya1
1
2
:
:
a
2
y12
y22
:
:
ya2
JKT   y ji  y..   y ij
a
b
a
2
i 1 j1
b
i 1 j1
b
a
JKA  b y i  y.. 
2
y
j1
b
JKB  a  y i  y.. 
2
i 1
.
b
i 1
a
2
i
 yi .
2
…
…
…
:
:
…
B
y1b
y2b
:
:
yab
T..2

; db  ab  1
ab
T..2

; db  a  1
ab
2
j1
a
T..2

; db  b  1
ab
JKG    y ij  ŷ ij   JKT  JKA  JKB, db(a  1)( b  1)
2
i
R2 
j
JKA  JKB
JKT
7
Tabel Analisis Varians (Klasifikasi Dua Arah)
Sumber
Variansi
Jumlah
Kuadrat
Derajat
Bebas
Rataan
kuadrat
F
A
JKA
a-1
S12  JKA /( a  1)
S12 / S 2
B
JKB
b-1
S22  JKB /( b  1)
S22 / S2
Galant
JKG
(a-1)(b-1)
S 2  JKG /( a  1)(b  1)
___
Total
JKT
ab-1
___
___
 Selang kepercayaan (1-) 100% beda rataan
dua perlahan I - k adalah

2S2
;
y i .  y k .  q (; a , r )
b

2S2 
y i .  y k .  q (; a , r )

b 
dimana =(a-1)(b-1)
 Hipotesis H0 : i = k, untuk i  k ditolak bila.
yi  yk  q ( ; a, ) 2S2 / b
8
6. Analisis Varians Data Bebas Sebaran

Uji Kruskal - Wallis
N =  Ji = Jumlah (banyaknya) pengamatan dari
satu gugus data. Peringkat (rank) pengamatan yji
yang terkecil = 1 dan yang terbesar = N.
Hipotesis H0 : 1 = 2 = … = I
Rij = peringkat dari yij
Ri = total peringkat pengamat
contoh ke-i
R i .= rataan peringkat contoh ke-i
N 1
2
1
N 1
E(R i .)   E(R ij ) 
Ji j
2
E(R ij ) 
Statistik uji kesamaan rataan :
K
2
12
N  1  atau

J
R
.

 i  i 2 
N( N  1) j1 
I
I
12
R i2 .
K
Ji
 3( N  1)

N( N  1) i 1
ji
9
Hipotesis H0 ditolak pada taraf uji  jika, K  2 ( 1)
, I = banyaknya perlakuan.
Bila H0 : benar,
 N( N  1)  1
1 



R i .  R i . ~ N 0,
 J .  J . 
12
i 
 i

Sehingga
Z
R i .  R i .  Z
2m
R i .  R i .
N( N  1)  1
1 
 

12  J i . J i . 
N( N  1)  1 1 
 

12  Ji Ji . 
Dimana m = I (I - 1)/2
Uji Kruskal-Wallis identik dengan analisis varians
klasifikasi satu arah pada sebaran populasi normal
(Completely Randomized Design).

Uji Friedman
Uji ini adalah identik dengan analisis varians
klasifikasi dua arah (Rancangan Kelompok =
Randomized Block Design).
10
Model Matematika :
yij =  + i + j + ij
H0 : 1  2 = … = I = 0
Setiap perlakuan dari 1 sampai dengan I diberi
peringkat
masing-masing
dengan
rataan
peringkatnya R i .
Statistik uji :
12 J I 
I  1
Fr 
R
.




i
I (I  1) i 1 
2 
12

R i2 .  3 J (I  1)

I J(I  1)
Keputusan menolak H0 bila
2
Fr  2 ( I 1)
11
TUGAS / LATIHAN :
1. Enam mesin sedang dipertimbangkan untuk
dipakai dalam pembuatan karet penutup. Mesin
tersebut dibandingkan berdasarkan daya rentang
barang yang dihasilkan. Sampel acak karet
penutup dari tiap mesin dipakai untuk menentukan
apakah rataan daya rentang tiap mesin berbeda.
Berikut ini ialah pengukuran daya rentang dalam
kg per cm2 x 10 -1
Mesin
1
2
3
4
5
6
17.5
16.4
20.3
14.6
17.5
18.3
16.9
19.2
15.7
16.7
19.2
16.2
15.8
17.7
17.8
20.8
16.5
17.5
18.6
15.4
18.9
18.9
20.5
20.1
Kerjakan analisis variansi pada taraf keberartian
0.05 dan tentukanlah apakah rataan perlakuan
berbeda secara berarti.
2. Tiga kelas untuk mata kuliah matematika yang
sama diberikan oleh tiga pengajar. Nilai akhir
tercatat sebagai berikut :
12
Guru
A
73
89
82
43
80
73
66
60
45
93
36
77
B
88
78
48
91
51
85
74
77
31
78
62
76
96
80
56
C
68
79
56
91
71
71
87
41
59
68
53
79
15
Adakah perbedaan yang berarti dalam nilai ratarata yang diberikan oleh ketiga pengajar?
Gunakan taraf keberartian 0.05.
3. Ujilah kehomogenan variasi pada soal 2. Gunakan
taraf keberartian 0.05.
4. Empat laboratorium sedang dipakai untuk analisis
kimia. Contoh bahan yang sama diberikan kepada
keempat laboratorium untuk dianalisis sebagai
bagian dari penelitian untuk menentukan apakah
keempatnya, rata-ratanya memberikan hasil yang
sama.
13
Hasil analitik
berikut :
keempat
laboratorium
sebagai
Laboratorium
A
B
C
D
58.7
61.4
60.9
62.7
64.5
63.1
55.9
56.1
57.3
60.7
60.3
61.9
59.1
58.2
60.3
60.3
58.1
58.1
61.4
62.3
a) Gunakan uji Bartlett untuk menunjukkan
bahwa variansi dalam laboratorium tidak
berbeda secara berarti pada taraf keberartian
= 0.05
b) Kerjakan analisis variansi dan beri kesimpulan
mengenai keempat laboratorium.
c) Teruskan analisis variansi untuk menguji
keberartian kontras berikut :



B lawan A,C,D
C lawan A dan D
A lawan D
5. Banyaknya bakteri dalam enam tempat susu dicat
oleh empat pangamat. Cacah bakteri diberi
dibawah ini :
14
Pengamat
A
B
C
D
230
241
336
128
253
184
72
214
348
68
205
156
308
118
247
196
210
284
312
125
124
330
104
99
Gunakan uji Cochran pada taraf keberartian 0.05
untuk menguji kehomogenan variansi.
6. Suatu penelitian dilakukan untuk menentukan
sumber penurunan hasil suatu reaksi kimia tertentu. Telah diketahui bahwa hilangnya hasil terjadi dalam cairan asal, yaitu bahan yang terbuang
pada tahap filtrasi. Diduga bahwa campuran yang
berlainan dari bahan semula mungkin memberikan penurunan hasil yang berbeda pada
bahan cairan asal. Berikut adalah penurunan hasil
dalam persen untuk tiga kemasan, masing-masing
pada empat campuran yang dipilih sebelumnya.
15
Campuran
1
25.6
24.3
27.9
2
25.2
28.6
24.7
3
20.8
26.7
22.2
4
31.6
29.8
34.3
a) Kerjakan anlisis variansi pada taraf keberartian
= 0.05.
b) Gunakan uji rentangan darab Duncan untuk
menentukan campuran mana yang berbeda.
7. Dalam
percobaan
biologi
berikut
empat
konsentrasi suatu zat kimia tertentu digunakan
untuk mempercepat pertumbuhan dalam cm suatu
jenis tanaman tertentu menurut waktu. Lima
tanaman digunakan pada tiap konsentrasi dan
pertumbuhan tiap tanaman diukur. Data pertumbuhan berikut diambil. Suatu kontrol (tanpa zat
kimia) juga diadakan :
Kontrol
5.9
6.1
6.9
5.7
6.1
Konsentrasi
1
2
8.2
7.7
8.7
8.4
9.4
8.6
9.2
8.1
3
6.9
5.8
7.2
6.8
4
6.8
7.3
6.3
6.9
8.6
7.4
7.1
8.0
16
Gunakan uji Dunnet kearah taraf keberartian =
0.05 untuk membandingkan serentak keempat
konsentrasi dengan kontrol.
8. Empat macam pupuk f1, f2, f3 dan f4 dipakai untuk
meneliti hasil buncis. Tanah dibagi dalam tiga
blok, masing-masing terdiri atas empat petak yang
homogen. Hasil dalam kg per petak dan
perlakukan padanannya di dapat dibawah
Blok I
Blok II
Blok III
f1 = 42.7
f2 = 48.5
f3 = 32.8
f4 = 39.3
f1 = 50.9
f2 = 50.0
f3 = 38.0
f4 = 40.2
f1 = 51.1
f2 = 46.3
f3 = 51.9
f4 = 53.5
a) Kerja analisis variansi dengan menggunakan
model blok teracak lengkap.
b) Gunakan kontras berderajat kebebasan
tunggal untuk melakukan perbandingan berikut
antara pupuk :
 (f1, f3) lawan (f2, f4)
 f1 lawan f3
9. Tunjukkanlah bahwa rumus perhitungan JKB,
dalam analisis variansi rancangan blok teracak
lengkap, setara dengan suku padanannya dalam
identitas Teorema 10.3
17
10. Suatu percobaan diadakan untuk membandingkan
empat perlakuan dalam lima blok. Data berikut
adalah hasilnya.
Perlakuan
1
2
3
4
1
12.8
11.7
11.5
12.6
2
10.6
14.2
14.7
16.5
Blok
3
11.7
11.8
13.6
15.4
4
10.7
9.9
10.7
9.6
5
11.0
13.8
15.9
17.1
Kerjakan analisis variansi, pisahkanlah jumlah
kuadrat perlakuan, blok, dan galat. Gunakan taraf
keberartian 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa
tidak ada perbedaan antara rataan perlakuan.
11. Tiga katalisator digunakan dalam suatu proses
kimia dengan suatu kontrol (tanpa katalisator)
diikutsertakan. Berikut adalah data hasil dari
proses tersebut.
Katalisator
Kontrol
1
2
3
74.5
76.1
75.9
77.5
82.0
80.6
81.5
82.3
81.4
78.1
80.2
81.5
78.1
76.2
84.9
81.0
79.5
83.0
83.0
82.1
18
Gunakan uji Dunnett pada taraf keberartian =
0.01 untuk menentukan apakah diperoleh hasil
yang lebih tinggi secara berarti dengan menggunakan katalisator dibandingkan dengan tanpa
katalisator.
19

Download Report