download

Modul 8.
Pengujian Hipotesis
Definisi Hipotesis Statistik
Pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih
populasi
Hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan ditolak diistilahkan HIPOTESIS NOL, lambangkan H0.
Penolakan hipotesis nol mengakibatkan penerimaan
alternatif (tandingan) dilambangkan H1.
Misalkan H0 : p = 0,5 bagi suatu populasi Binom maka
hipotesis alternatif H1 dapat berupa p > 0,5 ; p < 0,5
atau p  0,5.
Definisi Galat Jenis I: penolakan hipotesis yang benar.
Peluang melakukan galat jenis I disebut Taraf nyata uji
dan dilambangkan dengan .
Definisi Galat Jenis II: penerimaan hipotesis nol yang
salah.
Peluang melakukan galat jenis II dilambangkan .
 Wilayah kritik
Semua nilai statistik yang mungkin yang membuat
kita menerima hipotesis alternatif.
1
Jika statistik uji mempunyai sebaran :
 normal baku  daerah kritik dicari dengan tabel Z.
 t-student  daerah kritik dicari dengan tabel t.
 Uji satu arah dan dua arah
Uji satu arah (hipotesis altenatifnya bersifat satu
arah):
H0 :  = 0 versus H1 :  > 0
Atau
H0 :  = 0 versus H1 :  < 0
Uji dua arah :
H0 :  = 0 versus H1 :   0
Langkah-langkah pengujian hipotesis mengenai parameter populasi  lawan suatu hipotesis alternatif:
1. Nyatakan hipotesis nolnya H0 :  = 0
2. Pilih hipotesis alternatif H1 yang sesuai diantara
 < 0,  > 0 atau   0
3. Tentukan taraf nyatanya 
4. Pilih statistik uji yang sesuai dan kemudian
tentukan wilayah kritiknya
5. Hitung nilai statistik uji berdasarkan data contohnya
6. Keputusan : tolak H0 bila nilai uji tersebut jatuh
dalam wilayah kritiknya, sedangkan bila nilai itu
jatuh diluar wilayah kritiknya diterima H0.
2
 Uji nilai tengah
H0 :  = 0
H1 :  < 0
H1 :  > 0
H1 :   0
 Jika contoh diambil dari suatu populasi normal
dengan 2 diketahui, maka statistik ujinya adalah :
z
x  0
 n
wilayah kritisnya adalah:
H1
wilayah kritik
 > 0
 < 0
z > z
z < -z
z   z dan z   z
  0
2
2
 Jika contoh berukuran besar (n > = 30) diambil dari
suatu populasi (tidak masalah bentuk sebarannya),
maka statistik ujinya:
z
x  0
s n
dengan wilayah kritis sama dengan diatas.
3
 Jika contoh berukuran kecil (n < 30) diambil dari suatu
populasi normal dengan 2 tidak diketahui, maka
statistik ujinya:
x  0
t
s n dengan v = n – 1 derajat bebas
dan wilayah kritiknya:
H1
wilayah kritik
 > 0
 < 0
t > t
t < -t
t  t  dan t  t 
  0
2
2
 Pengujian Hipotesis Dua Nilai Tengah
H0 : 1 - 2 = d0
H1 : 1 - 2 > d0
1 - 2 < d0
1 - 2  d0
 Jika contoh n1 dan n2 diambil dari poulasi 1 dan 2
yg masing-masing menyebar normal dengan ragam
yang diketahui 12 dan 22, maka statistik ujinya
adalah :
4

x1  x2   d 0
z
 12
n1

 22
n2
dengan wilayah kritisnya:
H1
wilayah kritik
1 - 2 > d0
1 - 2 < d0
1 - 2  d0
z > z
z < -z
z   z dan z   z
2
2
 Teladan
Suatu test diberikan kepada 50 wanita dan 75 pria.
Hasil test untuk wanita memberikan rata-rata 75 dan
simpangan baku 6, sedangkan untuk pria rata-rata 82
dan simpangan baku 8. Pada taraf uji = 0,05 apakah
kita dapat mengambil kesimpulan bahwa wanita dan
pria berbeda nilai test tersebut?
Jawab :
1. H0 : 1 = 2 atau H0 : 1 - 2 = 0
2. H1 : 1  2 atau H1 : 1 - 2  0
3.  = 0,05
5
4. Statistik uji :
z
x1  x2 
s12 s22

n1 n2
daerah kritik : z < -1,96 dan z > 1,93
2
2
5. x1  82 x 2  75 s1  64 s 2  36 n1  75 n 2  50
z
82  75
 4,78
64 36

75 50
6. Keputusan: tolak (H0) ; ada perbedaan nilai tengah
nilai test pria dan wanita.
 Teladan untuk n1 dan n2 berukuran kecil
 Jika contoh n1 dan n2 kecil(kedua < 30) diambil dari
poulasi 1 dan 2 yg masing-masing menyebar normal
dengan ragam yang tidak diketahui, tetapi 12 = 22,
(meskipun tidak diketahui nilainya), maka statistik ujinya adalah :

x1  x2   d 0
t
sgab
1
n1
 n12 , v = n1 – n2 - 2 derajat bebas
6
dimana
s
2
gab

n1  1s12  n2  1s22

n1  n2  2
dengan wilayah kritiknya:
H1
1 - 2 > d0
1 - 2 < d0
1 - 2  d0
wilayah kritik
t > t
t < -t
t  t  dan t  t 
2
2
 Uji mengenai Proporsi
Uji ini digunakan untuk suatu percobaan Binom,
bahwa proporsi keberhasilan (sukses) sama dengan
suatu nilai tertentu.
Untuk n besar, uji mengenai proporsi dapat menggunakan aproksimasi normal, dengan langkahlangkah sebagai berikut:
1. H0 : p = p0
2. H1 : salah satu p < p0, p > p0 atau p  p0
3. Tentukan taraf nyata 
Wilayah kritiknya
H1
p > p0
p < p0
p  p0
wilayah kritik
z > z/2
z < z
z   z  dan z  z 
2
2
7
4. Statistik uji :
z
x  n p0
n p0 q0
5. Hitung nilai statistik uji z dari data contoh
6. Keputusan : tolak H0 bila z jatuh dalam wilayah
kritik, dan terima H0 bila z jatuh pada wilayah
penerimaan.
 Teladan
Suatu obat penenang ketegangan syaraf diduga
hanya 60% efektif. Hasil percobaan dengan obat baru
terhadap 100 orang dewasa penderita ketegangan
syaraf, yang diambil secara acak, menunjukan obat
baru itu 70% efektif. Apakah ini merupakan bukti yang
cukup untuk mengumpulkan bahwa obat baru itu lebih
baik dari pada yang beredar sekarang? Gunakan
taraf nyata 0,05.
Jawab :
1. H0 : p = 0,6
2. H1 : p > 0,6
3.  = 0,05
4. Statistik uji :
x  n p0
z
n p0 q0 , daerah kritik z > 1,645
8
5. Perhitungan :
x = 70
z
n = 100
np0 = 100x0,6 = 60
70  60
 2,04
100  0,6  0,4
6. Keputusan : tolak H0 dan disimpulkan bahwa obat
baru tersebut memang lebih manjur.
 Pengujian Beda Dua Proporsi
Hipotesis nol dan alternatif :
H0 : p1 = p2 = 0
H1 : p1 – p2 < 0, p1 – p2 > 0, p1 – p2  0
Dua contoh bebas berukuran n1 dan n2 besar yang
diambil secara acak dari dua populasi Binom, dan
dihitung proporsi keberhasilan p1 dan p2 dari bab
terdahulu diketahui
z
 pˆ1  pˆ 2 
p1q1 p2 q2

n1
n2

pˆ 1  pˆ 2
1 1
pq  
 n1 n2 
Merupakan suatu nilai peubah acak normal baku bila
H0 benar dan n1 , n2 besar.
9
Nilai dugaan gabungan bagi proporsi p, yaitu:
pˆ 
x1  x2
n1  n2
Dengan demikian, statistik ujinya adalah:
z
wilayah kritiknya :
H1
p1 > p2
p1 < p2
p1  p2
pˆ 1  pˆ 2
pˆ qˆ n11  n12


wilayah kritik
z > z
z < -z
z   z  dan z  z 
2
2
 Teladan
Untuk menguji hipotesis
H0 : p1 – p2 = d0 lawan
H1 : p1 – p2 < d0, p1 – p2 > d0 dan p1 – p2 d0
Dari suatu contoh acak bebas
statistik ujinya adalah:
z
n1 dan n2 besar,
 pˆ 1  pˆ 2   d 0
pˆ 1qˆ1 pˆ 2 qˆ 2

n1
n2
10
Daerah kritiknya :
H1
p1 - p2 < d0
p1 - p2 > d0
p1 - p2  d0
wilayah kritik
z < -z
z > z
z   z  dan z  z 
2
2
 Teladan
 Pengujian Mengenai Ragam dan Simpangan Baku
Ingin diuji hipotesis keragaman mengenai suatu
populasi atau membandingkan keragaman suatu
populasi dengan keragaman populasi lainnya
H0 : 2 = 02
H1 : 2 < 02 , 2 > 02 atau 2  02
Statistik uji digunakan sebagai landasan keputusan
adalah peubah acak khi-kuadrat, yang juga digunakan untuk membuat selang kepercayaan bagi 2.
Jadi bila sebaran populasi yang diambil contohnya
sekurang-kurangnnya kira-kira (mendekati) normal,
nilai khi-kuadrat bagi uji 2 = 02 diberikan menurut
rumus
n = ukuran normal
 n 1s 2
2
x  2
s2 = ragam contoh
0
02 = nilai 2 menurut hipotesis nol
11
Bila H0 benar, x2 adalah sebaran khi-kudrat dengan
v = n – 1 derajat bebas, wilayah kritiknya:
H1
wilayah kritik
 >
 02
 >
 2
2
 <
 02
 <
 12
 
 02
2
2
2
2
 2  12 atau  2   2
2
2
 Teladan
Sebuah perusahaan aki mobil mengatakan bahwa
umur aku yang diproduksinya mempunyai simpangan
baku 0,9 tahun. Bila suatu contoh acak 10 aki
menghasilkan simpangan baku s = 1,2 tahun. Apakah
menurut anda  > 0,9 tahun? Gunakan taraf nyata
0,05!
Jawab :
1.
2.
3.
4.
H0 : 2 = 0,81
H1 : 2 > 0,81
 = 0,05
Statistik uji :

2
n  1s

 02
2
, daerah kritik: 2 > 16,919
12
5. Penghitungan : s2 = 1,44 ; n = 10
2 
9  1,44
 16,0
0,81
6. Keputusan : terima H0 dan simpulkan bahwa tidak
ada alasan untuk meragukan simpangan bakunya
adalah 0,9 tahun.
 Pengujian Kesamaan Dua Ragam Populasi
H0 : 12 = 22
H1 : 12 < 22 , 12 > 22 atau 12  22
Bila contoh berukuran n1 dan n2 itu bersifat bebas,
maka nilai f bagi pengujian 12 = 22 adalah rasio
s12
f  2
s2
S12 dan S22 adalah ragam dari kedua contoh tersebut. Bila kedua populasi sedikitnya mendekati
normal dan hipotesis nol-nya benar, maka rasi f
merupakan suatu nilai bagi sebaran F dengan
v1= n1–1 dan v2= n2–1 derajat bebas, sehingga
wilayah kritiknya :
13
H1
wilayah kritik
>
 22
f
>
f v1 ,v2 
<
 22
f
<
f1 v1 ,v2 
12 
 22
12
12
f  f1 v1 ,v2  atau f  f  v1 ,v2 
2
2
 Teladan
Sebuah pelajaran matematika diberikan pada 12
siswa dengan metode pangajaran biasa. Kelas baru
terdiri dari 10 orang siswa diberi pelajaran yang sama
tetapi metodenya telah diprogramkan. Pada akhir
semester kedua kelas diberi ujian yang sama. Kelas
pertama mempunyai ragam 16 dan kelas-kelas kedua
ragamnya 25. apakah ragam kedua populasi sama?
Gunakan taraf nyata 0,10.
Jawab :
1.
2.
3.
4.
H0 : 12 = 22
H1 : 12  22
 = 0,10
Statistik uji :
s12
f  2
s2 , daerah kritik: f  0,34 dan f  3,1
f 0,05(11,9)  3,11 , f 0,95(11,9) 
1
f 0,05(9,11)
 0,34
14
5. Penghitungan : s12 = 16 , s22 = 25
f 
16
 0,64
25
6. Keputusan : terima H0 dan simpulkan bahwa kita
cukup beralasan untuk menerima kedua ragam
populasi sama.
Tugas/ Latihan
1.
Proporsi orang dewasa yang tamat perguruan
tinggi di suatu kota ditaksir sebanyak p = 0,3. Untuk
menguji hipotesis ini sampel acak 15 orang dewasa
diambil. Bila banyaknya yang tamat perguruan
tinggi dalam sampel tadi antara 2 dan 7, maka
hipotesis nol bahwa p = 0,3. Carilah  kalau p =
0,3. Carilah  untuk tandingan p = 0,2 dan p= 0,4.
Apakah ini meru-pakan cara pengujian terbaik?
2.
Proporsi keluarga yang membeli susu dari
perusahaan A suatu kota di taksir sebesar p = 0,6.
Bila sampel acak 10 keluarga menunjukan bahwa
hanya 3 atau kurang yang membeli susu dari
perusahaan A maka hipotesis bahwa p = 0,6 akan
ditolak dan tandingan p < 0,6 didukung. Carilah
peluang melakukan galat jenis I bila proporsi
sesungguhnya p = 0,6. Carilah peluang melakukan
galat jenis II untuk tandingan p = 0,3, p = 0,4, dan p
= 0,5.
15
3.
Dalam suatu percobaan besar untuk menentukan
kemujaraban suatu obat baru, 400 penderita
penyakit sejenis akan diobati dengan obat yang
baru tersebut. Bila dari 300 tapi kurang dari 340
penderita yang sembuh maka akan disimpulkan
bahwa obat tersebut 80% berhasil. Carilah peluang
melakukan galat jenis I. Berapakah peluang melakukan galat jenis II bila obat baru itu hanya
berhasil 70%?
4.
Suatu zat baru yang berkembang untuk sejenis
semen yang menghasilkan daya kempa 5000 kg
per cm2 dengan simpangan beku 120. Untuk menguji hipotesis bahwa  = 5000 lawan tandingan  >
5000, sampel acak sebesar 50 potongan semen
diuji. Dengan kritis ditentukan X < 4970. Carilah
peluang melakukan galat jenis I. Carilah  untuk
tandingan  = 4970 dan  = 4960.
5.
Suatu perusahaan alat listrik menghasilkan bola
lampu yang umurnya berdistribusi hampir normal
dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40
jam. Ujilah hipotesis bahwa  = 800 jam lawan
tandingan   800 jam bila sampel acak 30 bola
lampu mempunyai rata-rata 788 jam. Gunakan
taraf keberartian 0,04.
6.
Suatu sampel acak 36 cangkir minuman yang
diambil dari suatu mesin minuman berisikan ratarata 21,9 desiliter, dengan simpangan baku 1,24
16
desiliter. Ujilah hipotensi bahwa  = 22,2 desiliter
lawan hipotesis tandingan bahwa  < 22,2 pada
taraf keberartian 0,05.
7.
Rata-rata tinggi mahasiswa pria disuatu perguruan
tinggi selama ini 174,5 cm, dengan simpangan
baku 6,9 cm. Apakah ada alasan mempercayai
bahwa telah ada perbedaan dalam rata-rata tinggi
mahasiswa pria di perguruan tinggi tadi bila suatu
sampel acak 50 pria dalam angkatan yg sekarang
mempunyai tinggi rata-rata 177,2 cm? Gunakan
taraf keberartian 0,02.
8.
Suatu pertanyaan mengatakan bahwa rata-rata
sebuah mobil dikendarai sejauh 20.000 km setahun
disuatu daerah. Untuk menguji pernyataan ini
sampel acak sebanyak 100 pengemudi mobil
diminta mencatat jumlah kilometer yang mereka
tempuh. Apakah anda setuju dengan pernyataan
diatas bila sampel tadi menunjukan rata-rata
23.500km dan simpangan baku 3900km? Gunakan
taraf keberartian 0,01.
9.
Ujilah hipotensi bahwa rata-rata isi kaleng sejenis
minyak pelumas 8 liter bila isi sampel acak 10
kaleng adalah 10,2; 9,7; 10,1; 9,8; 9,9; 10,4; 10,3;
dan 9,8 liter. Gunakan taraf keberartian 0,01 dan
anggap bahwa distribusi isi kaleng normal.
17
10. Sampel acak berukuran 20 dari distribusi normal
mempunyai rata-rata X = 32,8 dan simpangan baku
s = 4,51. Apakah ini berarti bahwa rataan populasi
lebih besar dari 30 pada taraf keberartian 0,05?
11. Suatu sampel acak rokok dengan merek tertentu
mempunyai rata-rata kadar ter 18,6 dan simpangan
baku 2,4 mg. Apakah ini sesuai dengan pernyataan
pabriknya bahwa rata-rata kadar ter tidak melebihi
17,5 mg? Gunakan taraf keberartian 0,01 dan
anggap bahwa distribusi kadar ter normal.
12. Seorang mahasiswa pria rata-rata menghabiskan
Rp.800.000 seminggu untuk nonton. Ujilah
hipotesis pada taraf keberartian 0,01 bahwa  =
Rp.800.000 lawan tandingan  ≠ Rp.800.000 bila
sampel acak 12 mahasiswa pria yang menonton
menunjukan rata-rata pengeluaran untuk menonton
Rp.890.000 dengan simpangan baku Rp.175.000
anggap bahwa distribusi pengeluaran hampir
normal.
13. Suatu sampel acak berukuran n1 = 25 diambil dari
populasi normal dengan simpangan baku 01 = 5,2
mempunyai rata-rata X1 =81.Sampel kedua berukuran n2 = 36 diambil dari populasi normal yang lain
dengan simpangan baku 02 = 3,4, mempunyai ratarata X 2 =76. Ujilah hipotesis pada taraf keberartian
0,06, bahwa
1   2 lawan tandingan 1  2 .
18
14. Suatu pabrik menyatakan bahwa rata-rata daya
rentang benang A melebihi daya rentang benang B
paling sedikit 12 kg. Untuk menguji pernyataan ini,
50 potong benang dari tiap jenis diuji dalam
keadaan yg sama. Benang jenis A mempunyai ratarata daya rentang 86,7 kg dengan simpangan baku
6,28 kg, sedangkan benang jenis B mem-punyai
rata-rata daya rentang 77,8 kg dengan simpangan
baku 5,61 kg. Ujilah pernyataan peng-usaha tadi
dengan menggunakan taraf keberartian 0,05.
15. Suatu penelitian diadakan untuk menafsir perbedaan gaji professor universitas negeri dengan
swasta di negara bagian Virginia, USA. Sampel
acak 100 orang profesor universitas swasta mempunyai gaji rata-rata $ 15.000 dalam 9 bulan dgn
simpangan baku $ 1.300. Sampel acak 200
profesor universitas negeri menunjukan rata-rata
gaji $ 15.900 dengan simpangan baku $ 1.400.
Ujilah hipotesis bahwa selisih rata-rata gaji
professor universitas negeri dan rata-rata gaji
professor universitas swasta tidak lebih dari $ 500.
Gunakan taraf keberartian 0,02.
16. Diberikan dua sampel acak berukuran n1 = 11 dan
n2 – 14 dari dua populasi normal yang bebas satu
sama lain, dgn X1 =75 X 2 =60, s1=6,1 dan s2=5,3.
Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,05 bahwa
1   2 lawan tandingan bahwa 1  2 . Anggap
bahwa kedua poulasi mempunyai variasi yg sama.
19
17. Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui
apakah peningkatan konsentrasi subtrat akan
mempengaruhi kecepatan reaksi kimia dgn cukup
besar. Dengan konsentrasi subtrat 1,5 mol per liter,
reaksi dilakukan 15 kali dengan rata-rata kecepatan
7,5mikro mol per 30 menit dengan simpangan baku
1,5. Dengan konsentrasi subtrat 2,0 mol per liter,
12 reaksi dilakukan dan menghasilkan rata-rata
kecepatan 8,8 mikro mol per 30 menit dan
simpangan baku 1,2. Apakah anda setuju bahwa
peningkatan
konsentrasi
subtrat
menaikan
kecepatan rata-rata sebesar 0,5 mikro mol per 30
menit? Gunakan taraf keberartian 0,01 dan anggap
bahwa kedua populasi berdistribusi hampir normal
dengan variansi yang sama.
18. Suatu pabrik mobil yang besar ingin menentukan
apakah sebaiknya membeli ban merek A atau
merek B untuk mobil merek barunya. Untuk itu
suatu percobaan dilakukan dengan menggunakan
12 ban dari tiap merek. Ban tersebut sampai aus.
Hasilnya sebagai berikut:
Merek A : X1
= 37.900 km, s1 = 5100 km
Merek B : X 2
= 39.800 km, s2 = 5900 km
Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,05 bahwa
tidak ada beda kedua merek ban. Anggap bahwa
populasinya berdistribusi hampir normal.
20
19. Data berikut memberikan waktu putar film yang
dihasilkan oleh dua perusahaan film gambar hidup:
Waktu (menit)
Perusahaan A 102 86 98
Perusahaan B 81 165 97
109 92
134 92
87
114
Ujilah hipotesis bahwa rata-rata putar film hasil
perusahaan B lebih 10 menit dari rata-rata waktu
putar film hasil perusahaan A lawan tandingan eka
arah bahwa selisihnya melebihi 10 menit. Gunakan
tingkat keberartian 0,1 dan anggaplah kedua distribusi tersebut hampir normal.
21

Download Report