download

Modul 6.
Pendugaan Titik dan Selang (Interval)
1. Pendugaan Titik
Besaran contoh (sample) digunakan sebagai penduga besaran populasi. Besaran contoh disebut
statistik sebagai penduga besaran populasi yang
disebut parameter.
Misalnya parameter  diduga dengan besaran
contoh θˆ  θˆ (X 1, X 2 , ... X n )
 Beberapa besaran contoh antara lain:
1. Rata-rata (nilai tengah) contoh = X
X
X
i 1
n
i
 θˆ (X 1 , X 2 , ... X n )
2. Ragam contoh = S2
2
1 n
S 
(X

X
)
 θˆ (X 1 , X 2 ,... X n )

i
n  1 i 1
2
3. Simpangan baku contoh = S
S
2
1 n
(Xi  X)  θˆ (X 1 , X 2 ,...X n )

n - 1 i1
1
 Sebaran nilai tengah contoh = X
E(X)  μ
σ2
ν(X) 
n
σ ,
σ(X) 
n
masing - masing merupakan penduga tidak
bias, selainnya disebut penduga yang bias.
 Sifat-sifat Penduga
a. Penduga tak bias
θ̂ merupakan penduga tak bias bagi  jika
E ( θ̂ ) = .
Suatu peubah acak X dengan nilai tengah 
dan ragam 2. misalkan dari populasi
tersebut diambil contoh acak berukuran n
dengan pengamatan X1, X2, … Xn.
Tunjukkan bahwa X dan S2 merupakan
penduga tidak bias terhadap  dan 2
petunjuk :
E(X n )
 n
 E(X 1 ) E(X 2 )
 E (X)  E   Xi/n  


n
n
n
 i 1

1 n
nμ
  E (Xi) 
μ
n i 1
n
2
2 
 n
  (X i - X) 
2
n


1


2

 E (S 2 )  E  i 1
 X i   n E( X) 

 n - 1  
n 1

 i 1 




1

 nσ 2  nμ 2  σ 2  nμ 2
n -1
1

nσ 2  nσ 2
n -1
1

 (n  1) σ 2  σ 2
n 1




b. Penduga Efisien
Jika ragam 1 dan 2 masing-masing
sebesar (1) dan (2) dinamakan penduga
yang lebih efisien dari penduga 2 apabila:
ν( θˆ 1 )
 1 atau ragam θˆ 1 lebih
ν( θˆ )
2
kecil dari ragam θˆ 2
c. Penduga Konsisten
Penduga konsisten adalah penduga dimana
semakin besar contohnya semakin mendekati nilai parameternya
l im P(| X  μ | ε)  1
n~
X penduga yang konsisten
3
2. Penduga Selang (Interval)
1. Pendugaan selang bagi nilai tengah populasi 
bila 2 diketahui
σ
σ 

P X  Z  .
 μ  X  Z .
  1 α
2
2
n
n

2. Pendugaan selang kepercayaan bagi nilai
tengah  bila 2 tidak diketahui
a. n  30
S
S 

P X  Z .
 μ  X  Z .
  1 α
2
2
n
n

b. n < 30
S
S 

P  X   (n - 1)
   X  t  (n  1).   1 α
2
2
n
n

3. Pendugaan selang 1 - 2 :
a. Bila dua populasi dengan ragam
diketahui maka:
12 dan  22

12  22
12  22 

P ( X 1  X 2 )  Z .

 1   2  ( X 1  X 2 )  Z  .

1 


2
2
n
n
n
n
1
2
1
2 

4
b. Bila dua populasi dengan ragam 1 ,  22
tidak diketahui tetapi n1, n2  30 maka:
2

S12 S 22
S12 S 22 

P ( X 1  X 2 )  Z .

 1   2  ( X 1  X 2 )  Z  .

 1 

2
2
n1 n 2
n1 n 2 


c. Bila dua populasi dengan ragam 1 =  2
tetapi besar-nya tidak diketahui dan n1, n2 <
30 maka:
2
2

1 1
1 1 
P  ( X 1  X 2 )  t  . () . Sp
  1   2  ( X 1  X 2 )  t  .() . Sp
   1 
2
2
n
n
n
n2 
1
2
1

(n1  1)S12  (n2  1)S 22
ν  n1  n2  2 ; Sp 
n1  n2  2
d. Bila dua populasi dengan ragam 12 dan  22
tidak diketahui dan n1, n2 < 30 maka:

S12 S22
S12 S22 

P ( X 1  X 2 )  t  . ( ) .
  1  2  ( X 1  X 2 )  t  .() .

 1 


2
2
n
n
n
n
1
2
1
2 

2
 S12
S22 
 n  n 
1
2


2
2
 S12 
 S22 
 n  n 1  n 
1
1
2


n2 1
5
e. Bila dua populasi saling bergantung
(berpasangan) maka:

Sd
Sd 
P (d  t  (n  1) .
  d  d  t  (n  1) .
  1  
2
2
n
n

 n

2
n d i    d i 
 i 1 
d i  X 2i  X 1i , Sd 2  i 1
n (n - 1)
n
2
4. Pendugaan selang kepercayaan populasi = P
untuk contoh (sample) besar.

ˆ  Z
P p

2

P̂q̂
ˆ  Z
 p p
2
n
p̂q̂ 
1 

n

P̂ = Proporsi yang sukses dalam contoh acak
berukuran n
q̂ = 1 - p̂
5. Pendugaan ragam (varians). Selang kepercayaan untuk 2 dari suatu populasi normal.


(n  1)
(n  1) S2 

2
P 2   
 1 
12 
 
2
2


S2 = ragam contoh acak
n  X i2   X i 
2
S2 
n(n  1)
6
6. Pendugaan nisbah suatu populasi normal
 2

S1
1
12 S12

P 2 .
 2  2  f  (1 ,  2 )   1  
2
 S2 f  (1 ,  2 ) 2 S2

2


TUGAS/LATIHAN
1.
Dari sebuah populasi dengan N = 10.000,  =
124, dan  =18, hitunglah Z untuk nilai-nilai
berikut ini. Tentukan nilai n = 36
a. x = 128,60
b. x = 119,30
c. x = 116,88
d. x = 132,05
2.
Dari sebuah populasi dengan  = 80, dan  = 14
diambil sampel dengan ukuran n = 49. Hitunglah
peluang berikut ini (asumsi n / N ≤ 0,05)
a. P(81,4 ≤ X ≤ 83,6)
b. ( X ≥ 82,3)
3.
Menurut Badan Pusat Statistik di suatu negara,
rata-rata upah mingguan pekerja adalah $ 455
pada tahun 1991. Misalkan upah mingguan untuk
semua pekerja di negara tersebut pada tahun
1991 menyebar (berdistribusi) normal dengan
simpangan baku $ 60. Carilah peluang rataan
dari contoh yang berukuran n = 25 pekerja yang
diambil dari populasi tersebut akan berada:
7
a. Antara $ 469 dan $ 480
b. Dalam jarak $ 15 dari rata-rata populasi
c. Dalam jarak $ 20 atau lebih dibawah rata-rata
populasi
4.
Dari data suatu contoh acak diperoleh X =
dan S = 5,3
16
a. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk 
bila n = 50
b. Tentukan selang kepercayaan 90% untuk 
bila n = 50
c. Bandingkan hasil antara (a) dan (b)
d. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk 
bila n = 100
e. Bandingkan hasil antara (a) dan (d)
5.
Sebuah populasi mempunyai simpangan baku
2,45 sebuah contoh acak dengan ukuran 35
diambil dari populasi tersebut. Data selengkapnya adalah sebagai berikut:
42 51 23
31 28 36
49
29 46 37
32 27 33
41
44 41 28
38 34 39
48
26 35 37
46 46 48
37
29 31 44
41 37 38
46
a. Berapakah penduga titik untuk ?
b. Tentukan selang kepercayaan 97% untuk 
c. Berapakah galat maksimum pada (b)
8
6.
Sebuah perusahaan komputer menjual komputer
dan komponennya lewat pos. Perusahaan tersebut menjamin bahwa pengiriman akan dilakukan secepatnya setelah pesanan diterima.
Sebuah contoh acak yang terdiri dari 50 pesanan
memperlihatkan, rata-rata waktu pengiriman
adalah 70 jam dengan simpangan baku 14 jam.
Tentukan selang kepercayaan 95% untuk menduga rata-rata waktu yang diperlukan untuk
mengirim pesanan ke pelanggannya.
7.
Seorang manajer bank ingin mengetahui ratarata dari jumlah gadaian yang dibayar oleh ratarata penggadainya dalam satu bulan di suatu
daerah. Sebuah contoh acak yang terdiri dari 40
rumah tangga yang menggadaikan menghasilkan
informasi rata-rata $ 1.350 dengan simpangan
baku $ 215. Tentukan selang kepercayaan 97%
untuk menduga rata-rata jumlah gadaian yang
terbayar perbulan oleh penggadainya.
8.
Carilah nilai t untuk dari beberapa kasus di
bawah ini.
a. Daerah di sisi sebelah kanan = 0,05 dan
derajat bebas 13
b. Daerah di sisi sebelah kiri = 0,25 dan derajat
bebas 22
c. Daerah di sisi sebelah kiri = 0,01 dan derajat
bebas 17
d. Daerah di sisi sebelah kanan = 0,005 dan
derajat bebas 26
9
9.
Dibawah ini adalah sebuah contoh acak dengan
12 pengamatan diambil dari populasi yang berdistribusi normal
13
14
15
9
9
10
11
14
8
16
16
12
a. Berapakah dengan titik terhadap  ?
b. Tentukan selang kepercayaan 99% untuk  ?
c. Berapakah galat maksimum pada butir b ?
10. Sebuah pabrik sarung tangan ingin menduga
jumlah sarung tangan yang bisa dibuat oleh satu
jenis mesin tertentu dalam tiap jam. Manajer
pabrik tersebut memilih secara acak 20 mesin
dan ditemukan rata-rata produksi perjam adalah
47 dengan simpangan baku 2,4. Misalkan
distribusi produk yg dihasilkan oleh mesin-mesin
tersebut untuk tiap jamnya berdistribusi normal.
Tentukanlah selang kepercayaan 90% untuk
menduga rata-rata produksi sarung tangan per
jam dari semua mesin di perusahaan tersebut.
11. Sebuah perusahaan ingin menduga berat bersih
dari cereal yang diproduksinya (dalam kemasan
kertas). Sebuah contoh acak terdiri dari 16
kemasan cereal diambil dari populasi tersebut
dan didapatkan informasi bahwa rata-ratanya
adalah 31,98 ons dengan simpangan baku 2,4
ons. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk
menduga rata-rata berat bersih kemasan cereal
yang sebenarnya dari perusahaan tersebut.
10
12. Dalam kasus-kasus dibawah ini, yang manakah
yang bisa menggunakan sebaran normal dalam
membuat sebaran contoh proporsi contoh?
a. n = 400 dan p = 0,28 b. n = 80 dan p = 0,25
c. n = 350 dan p = 0,01 d. n = 100 dan p = 0,022
13. Sebuah contoh acak yang diambil dari populasi
menghasilkan proporsi contoh 0,72
a. Tentukanlah selang kepercayaan 99% untuk
proporsi populasi jika n = 100
b. Pertanyaan sama dengan a untuk n = 600
14. Perusahaan membuka dua supermarket di dua
tempat yang berbeda. Pihak manajemen perusahaan tersebut ingin mengetahui apakah ratarata penjualan perhari dari dua supermarket tersebut berbeda. Sebuah contoh diambil dari
supermarket pertama selama 35 hari dan menghasilkan rata-rata penjualan perhari sebesar $
53,70 dengan simpangan baku $ 2,90. Pada
supermarket kedua diamati selama 30 hari dan
menghasilkan rata-rata penjualan perhari $ 58,5
dengan simpangan $ 3,10.
a. Tentukan penduga titik dari 1 - 2
b. Tentukan selang kepercayaan 99% untuk
1 - 2
11
15. Informasi berikut ini diperoleh dari dua contoh
acak bebas dari dua populasi normal dengan
simpangan baku tidak diketahui tetapi diasumsikan cuma besarannya.
Contoh: 22 32 25 33 21 35 30 26 25 31 33 30
Contoh: 24 28 22 25 24 22 29 26 25 29 19
a. Berapakah penduga titik dari 1 - 2
b. Tentukan selang kepercayaan 98% untuk
1 - 2
16. Sebuah perusahaan mengirim 7 karyawan untuk
mengikuti kursus dalam membangun rasa percaya dirinya. Para karyawan tersebut dievaluasi
sebelum dan sesudah mengikuti kursus tersebut.
Tabel berikut ini (berisi skor skala 1 sampai 15)
membuat nilai para karyawan sebelum dan
sesudah mengikuti kursus
Sebelum
Sesudah
8
10
5
7
4
5
9
11
6
6
8
7
5
9
Tentukan selang kepercayaan 95% untuk menduga d dari beda pasangan populasi para
karyawan sebelum dan sesudah mengikuti
kursus membangun rasa percaya diri.
12
17. Sebuah sampel terdiri dari 500 pengamatan
diambil dari populasi pertama dan diperoleh Xi =
310. Sebuah sampel (contoh) terdiri dari 600
pengamatan yang diambil dari populasi kedua
dan didapatkan X2 = 348
a. Tentukan penduga titik P1 - P2
b. Tentukan selang kepercayaan 97% untuk P1
– P2
18. Sebuah sampel (contoh) dari suatu pengamatan
tertentu diambil dari suatu populasi yang berdistribusi normal dan menghasilkan varians
(ragam) contoh 99% untuk menduga 2 untuk
setiap kasus dibawah ini.
Apakah kesimpulan anda ketika ukuran sampel
berubah?
a. n = 12,
b. n = 16,
c. 25
19. Sebuah sampel terdiri dari 25 pengamatan
diambil dari sebuah populasi yang berdistribusi
normal dan menghasilkan varians sampel 47.
Tentukan selang kepercayaan 99% untuk 2
untuk tiap kasus dibawah ini. Apa kesimpulan
anda ketika tingkat kepercayaan berubah.
a. 1-  = 0,99
b. 1- = 0,95
c. 1-= 0,90
13

Download Report