download

Modul 5. Sebaran Normal Nilai Tengah
Sebaran peluang dari suatu statistik diperoleh bila
contoh acak berukuran n ditarik secara berulang dari
suatu populasi. Sebaran peluang ini disebut sebaran
penarikan contoh (sampling distribution).
1. Sebaran Nilai Tengah Contoh
(1) Bila suatu contoh acak diambil dari populasi
dengan nilai tengah  dan ragam 2 maka
sebaran nilai tengah contoh x mempunyai
rata-rata  dan ragam σ 2 .
n
(2) Bila populasinya menyebar secara normal,
maka nilai tengah contoh x menyebar secara
normal tanpa pertimbangan ukuran contohnya.
(3) Bila populasinya tidak menyebar normal,nilai
tengah contoh x
menyebar menghampiri
normal untuk ukuran contoh besar (Dalil Limit
Pusat).
(4) Jika ukuran populasi terbatas = N dengan nilai
tengah  dan ragam 2 maka ragam dari X
 σx
2
σ2  N  n 
 

n  N 1 
1
untuk N  20 n ragam
x  σx
2
σ2

n
2. Dalil Limit Pusat
Bila X1, X2,…,Xn merupakan contoh acak
berukuran n dari populasi dengan nilai tengah 
X
dan ragam 2 maka
menyebar normal
dengan nilai tengah dan ragam :

E x  x  
2
σ
2
σx 
n
untuk n besar
Dalil ini berlaku juga untuk total contoh acak. T   X i
dengan:
ET   nμ
σ T2  nσ 2
Contoh soal:
Suatu contoh acak berukuran n =200 dipilih dari
populasi N =12.000.000 , dengan  = 6 dan ragam
x
2
2 = 81. Tentukan peluang bahwa
lebih besar
atau sama dengan 7 ?
Petunjuk:



 xμ
7 6 
200 

P x  7  P

  P Z 

σ
9
9




n
200 

 PZ  1,57   1  PZ  1,57   0,0582


3. Sebaran Khi-Kuadrat
Bila z1,z2,…,zn merupakan peubah acak normal
3
baku maka:
2
 2   Zi
i 1
Fungsi kepekatan peluang dari Z2 adalah:
1
f(x) =
x
1 2 2
x e ,x0
2
0 , untuk x lainnya
yang merupakan bentuk khusus fungsi kepekatan
Gamma dengan parameter
1
  ,  2
2
3
 Persentil sebaran Khi-Kuadrat


P  2  Qn  p   p
f(x)
0,3


p  P  n  Qn  p 
0,2
2
0,1
0
5
Qn (p) 15
10
20
Gambar. Persentil 100p dari Khi-Kuadrat
Batas nilai kritis sebaran Khi-Kuadrat adalah titik  n  
maka:


P  2   n    
2
 n  2  Qn 1 

P 2  
2
  1  P
2

2
  1
4
Contoh soal:
Gunakan Tabel A.5 buku 2 untuk menentukan
batas nilai kritis sebaran Khi-Kuadrat
(1)
2
1 0 0 , 9 5 
,
(2)
2
1 0 0 , 0 5 
Petunjuk Jawaban:
  0,95 , n  10,  2
(1) Untuk
10 0,95
 Q100,05
= 3,940
(2) Untuk
  0,05 , n  10,  2
10 0,05
 Q100,95
=18,307
4. Sebaran Ragam Contoh


2
1 n
X

x
Ragam Contoh s 
 i
n  1 i 1
2


n
2
1
Simpangan baku contoh : s 
X

x
 i
n  1 i 1
Rumus pintas ragam contoh:
5
n X 1   X i 
n
s2 
2
2
i 1
nn  1
E(S2) =  2
Bila s2 merupakan ragam contoh yang diambil dari
populasi normal maka sebaran
n  1s 2
σ
2
adalah χ 2 n1
Contoh soal:
Suatu contoh acak berukuran n = 19 diambil dari
populasi normal dengan 2 = 9. Tentukan peluang
simpangan baku contoh = s ada di antara 2 dan 4.
Petunjuk :
 n  1a 2 n  1s 2 n  1b 2 

Pa  s  b   P


2
2
2
σ
σ
 σ

 n  1a 2

n  1b 2 
2

 P
 χ n1 
2
2
σ
 σ

n-1 = 18, 2 = 9, a2 = 4, b2 = 16


P2  s  4  P 8   2 18  32  0,98  0,02  0,96
(digunakan tabel
pembulatan.


 v 2 : P  v 2  Q p   p ) dengan
6
5. Sebaran t. Student
Suatu nilai tengah contoh yang diambil dari
populasi sebaran normal dengan nilai tengah 
2
dan ragam σ
sehingga:
n xμ

σ
menyebar normal dengan nilai tengah nol dan
ragam =1


Bila  tidak diketahui dan diganti dengan s maka
menyebar secara t-student dengan
n x μ
derajat bebas n-1.


s
Bila Z ~ N ( 0,1) dan V ~  n 2 dan keduanya bebas
maka :
Z
V
~ tn
n


Wilayah kritik dari sebaran t : P t  tV    
Contoh soal:
(1) Hitung nilai t-student dengan menggunakan
tabel t.
(a) t12(0,05)
(b)t12(0,05)
(c)t15(0,025)
(2) Hitunglah c agar :
(a) Pt6  c   0,05


(b) P t  c  0,05
6
7
6. Sebaran F
U1 dan U2 merupakan peubah acak Khi-Kuadrat
yang bebas satu dengan yang lain dan mempunyai derajat bebas v1 dan v2 maka:
U v
F 1 1
U 2 v2
Nilai kritik sebaran F adalah titik
pada sumbu x, sehingga:

Fv1 ,v2  

P F  Fv1 ,v2    
Contoh soal:
Hitung dengan menggunakan tabel F.
(1) F2,27(0,05) dan
(2) F4,40(0,01)
Jawab :
F2,27 (0,05) = 3, 35
F4,40 (0,01) =
TUGAS/ LATIHAN
8
1. Tiga peubah acak X1, X2,dan X3 yang bebas dan
identik menyebar secara normal dengan  = 50,
 = 20.
Jika X = X1 - 2X2 + 2X3. Hitunglah
(a). E(X) = nilai harapan X
(b). V(X) = ragam (varians) X
(c). P(|X – 50| ≤ 25)
(d). Persentil ke 90 dari sebaran X
( soal no.6.1 buku 2 )
2. Waktu dalam menit yang dibutuhkan untuk mereparasi suatu komponen menyebar secara
normal dengan nilai tengah (rata-rata)  = 65 dan
simpangan baku
 = 10.
(a). Berapa bagian (proporsi) dari komponen yang
direparasi dalam waktu kurang dari satu jam.
(b). Tentukan perumusan sebaran jumlah waktu
yang diperlukan untuk mereparasi 8
komponen.
( soal no 6.3 Buku 2 )
3. Peubah acak X1, X2, …, Xn merupakan peubah
acak identik, bebas dan menyebar secara normal
x
9
dengan nilai tengah  = 2 dan ragam (varians) 2
= 4 atau iid N (2,4)
(a) Jika n = 100, hitungah P(1,9 < < 2,1)
(b) Berapa besar n supaya P(1,9 < x< 2,1 ) = 0,9
( soal no. 6.4 Buku 2 )
4. X1, X2, …, X9 menyebar secara iid N(2,4) dan Y1,
Y2, …, Y4 menyebar secara iid N(1,1) peubah acak
Yi bebas terhadap Xi
(a) Tentukan sebaran x - y
(b) Hitung P(
x
> y )
( soal no. 6.5 Buku 2 )
5.
x = rata-rata contoh acak berukuran 1 = 16 yang
diambil dari populasi yang menyebar secara
normal, N(,36) dan y = rata-rata contoh acak
berurutan 2 = 25 diambil dari populasi lain yang
menyebar secara normal, N(,9)
(a) Tentukan sebaran x - y , sebutkan nama parameternya.
(b) Hitunglah P( x - y > 5)
(c) Hitung pula P(| x - y | > 5)
( soal no.6.6 Buku 2)
10
6. (a) Tunjukan bahwa
Γ  12   Π
transformasikan x  u 2
 12     x e -x dx
 12
2
pada
dengan menintegral

(b) Gunakan hasil dari (a) untuk menghitung
Γ3 2  dan Γ5 2 
( soal no.6.13 Buku 2 )
7. (a) Jika X menyebar secara Gamma dengan E(X)
=
1 dan E(X2) = 2, tunjukan bahwa
μ1
μ2  1

dan


2
μ2  μ1
μ1
2
2
(b) Gunakan hasil (a) untuk menghitung nilai parameter sebaran Gamma bila 1 = 2, dan 2 = 5
( soal no.6.15 Buku 2)
8. Gunakanlah tabel Khi-kuadrat = X2 (tabel A.5
Buku 2) untuk menghitung Xzn(α) untuk:
(a) n = 10, α = 0,1
(c) n = 15, α = 0,1
(b) n = 10, α = 0,05
(d) n = 20, α = 0,9
( soal no.6.16 Buku 2 )
11
9.
Gunakanlah tabel Khi-kuadrat = X2 (tabel A.5
Buku 2) untuk mentukan nilai a dan b dimana
a < b, P(a < Xzn < b) = P
dengan syarat
P(Xzn < a) = P(Xzn > b) jika diketahui
(a) . n = 10, P = 0,9
(c) n = 10, P = 0,95
(b) . n = 15, P = 0,9
(d) n = 20, P = 0,95
( soal no.6.17 Buku 2 )
10. Sebuah contoh acak yang berukuran n = 16
diambil dari sebaran normal dengan ragam 2 =
5. Hitunglah peluang P(1,5 < s < 2,9) dimana s =
simpangan baku contoh (sample)
( soal no.6.20, Buku 2 )
11. Tentukan batas nilai kritik sebaran t dalam tabel
untuk:
(a) t9 (0,05)
(c) t18(0,025)
(b) t9(0,01)
(d) t18(0,01)
( soal no.6.21, Buku 2 )
12. Tentukan nilai C sehingga
(a) P(t14 > C) = 0,05
(c) P(t14 > C) = 0,01
(b) P(|t14|  C) = 0,05
(d) P(|t14| > C) = 0,01
( soal no.6.22, Buku 2 )
12
13. Tentukan batas nilai kritik dari sebaran F di
dalam tabel untuk
(a) F3,20 (0,05)
(c) F4,30 (0,05)
(b) F3,20 (0,01)
(d) F4,30 (0,01)
( soal no.6.22, Buku 2 )
13

Download Report