Matakuliah
Tahun
: I0184 – Teori Statistika II
: 2009
UJI KEBAIKAN SUAI- KHI-KUADRAT
Pertemuan 13
Materi Pokok 13
UJI KEBAIKAN SUAI- KHI-KUADRAT
1. Sebaran Binomial dan Khi-Kuadrat
Untuk menentukan proporsi P = sukses dalam contoh
acak berukuran n dari sebaran binomial berbeda nyata
dengan proporsi P sukses dari populasi kita dapat
menggunakan statistik Z, misalkan dua kejadian A1, A2,
yang terjadi dengan peluang sukses = p dan gagal = 2
= 1-p. Suatu peubah acak Y1 = nP1 disebut frekuensi
kejadian A1 dan nP1 sebagai nilai harapan frekuensi Y1
~ bY
(n,
p1),1 dengan 0 < p1 < 1 dan teorema limit pusat
1 nP
Z
menyatakan
nP1 (1 P1 )
Bina Nusantara University
untuk
mempunyai sebaran normal N(0,1)
2
Jika Q1 = Z2 ~ χ2 (1), Y2 = n – Y1 dan P2 = 1- P1 maka Q1
dapat ditulis
2
2
Y1 nPi
(Y1 nP1 ) 2 Y1 nP1
Q1
nP1 (1 P1 )
nP1
n 1 P1
karena (Y1 - nP1 )
sehingga Q1
Bina Nusantara University
2
2
n Y n 1 P1
2
Y2 nP2
2
2
Y1 nP1
Y2 nP2
nP1
nP2
2
Yι nPι
Σ
2
ι 1
nPι
3
2. Sebaran Multinomial dan Khi-Kuadrat
Secara umum ada k kejadian yang tidak menenggan satu
dengan lainnya, A1, A2, …,Ak.
k
Jika Pi = P(Ai) danΣ Pi 1
i 1
dilakukan n
suatu percobaan yang
kali secara bebas dan yi menunjukkan banyaknya hasil
pada Ai, dengan i = 1,2,…,k maka fungsi peluang
gabungan
y 1) =
y 2 P(Yy k= y , Y = y ,…,Y
(Y
))
: f (y1, n!
y2,…,yPk-1
1
1
2
2
k-1=
f(y11, ,Yy22,…,Y
,..., y kk-1
P
...
P
1
2
k
yk-1) dengan y1 1, y2y,…,y
merupakan
bilangan bulat positif
!
y
!
...y
!
1
2 k-1 k
dan
k-1≤yn
yk yn1+ yy2+…+
y y...
1
2
2
Yi nPi
Σ
k 1
k
Q k 1
Bina Nusantara University
i 1
nPi
4
Qk-1 mempunyai sebaran χ2 dengan k-1 derajat bebas.
Jika kejadian A1, A2 ,…, Ak dan ingin diuji apakah Pi=P(Ai) sama
dengan Pi0, i = 1,2,…,k maka hipotesis nol menjadi H0 : Pi = Pi0,
i=1,2,…k
dengan statistik
uji
2
k
q k 1 Σ
y i nPi0
i 1
nPi0
dan wilayah kritik qk-1 > χ2α(k-1)
Contoh 10.1.
Sebungkus permen berisi 224 biji yang terdiri dari 4 warna yaitu
coklat, jingga, hijau, dan kuning. Ujilah hipotesis bahwa mesin
mengisi sama banyak untuk setiap warna:
H0 : Pc= Pj= Ph = Pk = ¼ atau H0 : P1 = P2 = P3 =P4 = 1/4
Hasil pengamatan diperoleh bahwa dari 224 biji dicatat 42 warna
coklat, 64 warna jingga, 53 warna hijau, dan 65 warna kuning. Pilih
taraf nyata α = 0,05 atau tentukan perkiraan nilai P?
5
Bina Nusantara University
Jawaban:
n = 224, nilai harapannya = nPi= 224 (1/4)= 56.
Hasil
c=coklat
j=jingga
h=hijau
k=kuning
Frekuensi
42
64
53
65
Peluang
0.25
0.25
0.25
0.25
Nilai harapan nPi
56
56
56
56
Statistik uji
χ
2
2
Yi nPi
Σ
4
i 1
nPi
2
2
2
2
42 - 56
64 56
53 56
65 56
Bina Nusantara University
56
56
56
56
6
Χ2 = 6,25 < X20,05 (3) H0 tidak dapat ditolak, nilai P ≈ 0,10
atau X2(3) = 6,251.
Contoh 13.2
Peubah acak X melambangkan jumlah partikel alpha
yang dikeluarkan oleh barium 133 pada setiap 1/10 detik.
Lima puluh pengamatan X melalui alat pengukur dan
diperoleh data sebagai berikut :
7
4
3
6
4
4
5
3
5
3
5
5
3
2
5
4
3
3
7
6
6
4
3
11
9
6
7
4
5
4
7
3
2
8
6
7
4
1
9
8
4
8
9
3
9
7
7
9
3
10
Bina Nusantara University
7
x
Peneliti tertarik untuk menentukan apakah X menyebar
secara Poisson. Untuk menguji H0 : X ~ P (X ; λ ), pertama
carilah = 5,4 dan sekat nilai pengamatan atas himpunan
A1 = {0,1,2,3}, A2 = {4}, A3 = {5}, A4={6}, A5{7}, dan
A6{8,9,10,…}
Hasil
Frekuensi
Peluang
Nilai harapan (50Pi)
Bina Nusantara University
A1
A2
A3
A4
A5
A6
13
9
6
5
7
10
0,213
0,160
0,173
0,156
0,120
0,178
10,65
8,00
8,65
7,80
6,00
8,90
8
r 5 1 4
q5
2
2
2
2
2
13 10,65 9 8,00 6 8,65 7 6,00 10 8,9
10,65
8
8,65
6,00
8,9
q5 = 2,763 < 9,488 = X20,05 (4) maka tidak dapat menolak H0
pada taraf nyata 0,05 atau X ~ secara poisson.
Bina Nusantara University
9
© Copyright 2024 Paperzz
