TRANSPORMASI PEUBAH
ACAK DENGAN FUNGSI
PEMBANGKIT MOMEN
Misalkan X1 X2 … Xn merupakan
sampel acak dari suatu sebaran
dengan fkp f(x) dan fkp gabungan
X1, X2, …, Xn adalah (x1, x2,…,xn)
Untuk Y1 = u1(x1, x2,…xn) dan akan
dicari g(y1) yang merupakan fkp bagi
Y1
Jika fpm bagi Y1 ada naka untuk
peubah acak kontinu dapat ditulis
M y t E e
e
~
ty1
ty1
g y1 dy1
~
dan jika fpm bagi Y1 terlihat
merupakan fpm sebaran tertentu
maka dengan sendirinya fkp bagi Y1
dapat ditentukan
Contoh :
Misalkan peubah acak X1 dan X2
mempunyai fkp sama yaitu
x
f(x) = 6
; x = 1, 2, 3
= 0 selainnya
fkp gabungan X1 dan X2 adalah
x1 x 2
f(x1, x2) = 36 ; x1=1, 2, 3 ; x2 = 1, 2, 3
= 0 selainnya
Untuk Y = X1 + X2 maka fungsi
peluang Y adalah
y
2
3
4
5
6
g(y)
1
36
4
36
10
36
12
36
9
36
Dengan cara fpm ; untuk Y=X1 +X2
My(t) = E(ety) = E[et(x1+ x2)]
= E[etx etx]
= E[etx ] E[etx ]karena X1 & X2
bebas
1
2
E(e tx1 ) = E (etx2) = 61 et + 62 e2t + 36 e3t
dan
My(t)
3 3t 2
1 t 2 2t
={ 6 e + 6 e + 6 e }
1 2t 4 3t 10 4t 12 5t 9 6t
= 36
e + 36 e + 36 e + 36 e + 36 e
fkp bagi Y adalah
1 4 10
g(y)= 36
, 36 , 36 ,
12 9
,
36 36
Untuk y=2,3,4,5,6
Contoh :
X1 ~ n(1, 12)
X1 & X2 bebas
X2 ~ n(2, 22)
stokhastik
Tentukanlah fkp bagi Y= X1 – X2
My(t) = E[e t ] = E[et(x1-x2) ]
= E[ etx e-tx ]
= E(etx ) E(etx )
y
2
1
2
1
= e
= e
1t
1 2 2
t 2
2
. e
2 t
1 2 2
t 2
2
1 2 t 1 t 2 12 22
2
Jadi Y ~ n ((1 - 2) ; (12 + 22))
Dalil
Misalkan X1 X2 … Xn merupakan
peubah acak yang bebas dan masingmasing menyebar secara normal
n( ), n , dan n( , ).Maka
peubah acak Y = k1 X1 + k2 X2 …+ kn
Xn (dimana k1, k2, …, kn merupakan
konstanta) menyebar normal dengan
rata-rata k11 + k22 + … knn dan
ragamnya k12 12 + k22 22 +… kn2 n2
1
2
1
2
2
2
n
2
n
n
n
2
2
k
μ
,
k
σ
i
i
atau Y ~ n i1 i i
i 1
Bukti
Dapat ditunjukan dengan
pembangkit momen Y
fungsi
Dalil
Jika X1, X2, …, Xn merupakan peubah
yang saling bebas dan masing-masing
menyebar khi-kuadrat dengan derajat
bebas r1, r2, …, rn maka peubah acak
Y = X1 + X2 +… Xn menyebar
khi-kuadrat dengan derajat bebas
(r1 + r2 + … + rn)
2
atau Y ~ r1 r2 ...rn
Bukti
Ditunjukan dengan fungsi pembangkit
momen Y
Dalil
Mis X1, X2, … Xn merupakan sampel
acak berukuran n dari suatu populasi
yang menyebar n(, 2) maka peubah
xi μ
acak Y =
i1
σ
n
2
menyebar khi-kuadrat dengan derajat
bebas n.
Bukti
Dapat digunakan fungsi pembangkit
momen Y
© Copyright 2024 Paperzz
