SEBARAN GAMMA DAN KHI-KUADRAT Dalam calculus Bentuk Integral ~ 0 y 1e y dy Ada nilainya untuk > 0 dan positif integral tersebut kita sebut Fungsi Gamma dari dan ditulis sebagai berikut : e yα 1dy..... ~ y 0 Jika = 1 maka (1) = e dy =1 Jika > 1 maka ~ ()=(-1) 0 yα 2e ydy = (-1) (-1) ~ y 0 Diintegralkan secara parsial Untuk >1 dan bilangan bulat positif maka () = (-1)(-2)(-3)…… 3.2.1 () = (-1)! dengan (1)= 1 dan 0!= 1,() = (-1)! Misalkan terdapat peubah baru χ ;β 0 β maka χ β y y () = ~ 0 x α 1 e x β 1 dx atau ~ 1 x dx 1 = 0 α Untuk > 0 ; > 0, dan () > 0 kita tahu bahwa x 1e Jika x ~ Gamma (,) f(x) = 1 x e ; o< x< ~ -1 - x α = 0 selainnya f(x) merupakan fkp sebaran Gamma (,) Fungsi Pembangkit Momen Sebaran Gamma ~ M(t) = 0 x 1 tx 1 tx e x e dx... E e 1 1 x 1 t / x dx 0 e ~ = Mis y = x= M(t) = M(t) = x 1- βt ; t 1 β β y dx 1- t atau dy 1- t ~ 1 1 1- t 0 y α 1e y dy 1 ; t 1 β 1 βt α Jika diturunkan terhadap t didapat Ml(t) = (-) (1- t) --1 (-) dan maka Mll(t)= (-) (--1) (1-t) --2 (-)2 Untuk sebaran Gamma diatas, dengan mensubsitusi nilai t = 0 diperoleh ratarata dan ragam (variansi)nya sebagai berikut : Rata-rata = = Ml(0) = Ragam 2 = Mll(0) -2 = (+1) 2-22 2 = 2 Hubungan Antara Sebaran Gamma dan Sebaran Poisson Misalkan Peubah Acak W merupakan waktu tunggu dengan fungsi sebaran G(w) = Pr (W w) = 1 – Pr (W>w) W>w untuk w>0 dan k dalam interval w untuk W ~ poisson dengan rata-rata k -1 w x e w ( w) maka Pr (W>w) = x! x 0 untuk w>0 zk 1e z w k dz ~ G(w) = 1 - w zk 1e z 0 k dz dan untuk w0 G(w)=0 Jika peubah acak dalam G(w) diganti z = y maka k y k 1e y 0 k w G(w) = dy ; w 0 = 0 untuk w0 sehingga fungsi kepekatan peluang (fkp) W adalah k y k -1 e y ; 0 w ~ (k) g(w) = Gl(w) = = 0 untuk selainnya W ~ Gamma dengan =k dan = 1 SEBARAN EKSPONENSIAL Jika w merupakan waktu tunggu sampai kesempatan pertama, berarti k=1 maka fkp bagi w adalah g(w) = e-w , o < w < ~ = 0 untuk selainnya W ~ Eksponensial SEBARAN KHI-KUADRAT Hal khusus untuk sebaran adalah sebaran khi-kuadrat = 2r (r bilangan bulat positif) sehingga fungsi kepekatan bagi peubah acak kontinu X adalah Gamma dimana dan =2 peluang tersebut r f(x) = x 1 1 2 x e 2 ; 0 x ~ r r 2 2 2 = 0 untuk selainnya Fungsi pembangkit momen untuk peubah acak x yang menyebar khikuadrat dengan derajat bebas r adalah r 2 Mx(t) = (1-2t)- ; t < 21 Nilai tengah atau rata-rata untuk X adalah E(X) E(X) = x = = 2r 2 = r dan variansi/ragamnya adalah Var (X) Var(X) = x2 = 2 = 2r 22= 2r Dalil Misalkan X1 … Xn adalah peubah acak masing-masing bebas dan menyebar khi-kuadrat dengan derajat k1 … kn, maka peubah acak: Y = X1 + … + Xn bebas menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas k = k1 + … + kn Bukti fpm peubah acak khi-kuadrat dengan derajat bebas ki adalah (1-2t)-k/2, sedangkan menurut sifat fpm, jika fpm xi adalah Mxi (t), maka fpm y adalah My t Mx 1 t1 ... Mxn tn (1 - 2t) - k1 k 2 .1 - 2t 2 n 2 ... 1 2t k n 2 1 2t My (t) = 1 2t dengan k = k derajat bebas ki 2 i 1 n i1 i k/2 f(x) 1 2, 0.5 2, 1 4, 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Grafik Fungsi Kepekatan Gamma Contoh : 1 Mis W ~ Gamma dengan = 1 & = menurut ketentuan E(W) = k 1 Jika = 1 maka E(W) = W= waktu tunggu berarti perkiraan waktu tunggu untuk k = 1 berubah pada Contoh : Mis X peubah acak, sedemikian rupa m sehingga E(X ) = m 3! 3 , m 3! m 1,2,3... Fungsi pembangkit momen bagi X diberikan dalam bentuk deret (series) M(t) = 1 + 4! 3 t 3! 1! + 5! 32 t2 3! 2! + 6! 33 t3 3! 3! + …. Merupakan Deret Maclaurin M(t) = (1-3t)-4 ; -1 < 3t < 1 Menurut ketentuan diatas X ~ Gamma (4,3) Contoh : Misalkan X mempunyai FPM 1 M(t) = (1-2 t)-8 t < 2 maka X ~ 2(16) Jika X ~ 2(r) dan C1 < C2 Pr(C1xC2) = Pr(x C2) – Pr(x C1) kita tahu bahwa Pr(x=C1) = Pr(x=C2) = 0 Untuk menentukan probabilitas diatas digunakan x Pr (X < x) = o r w 1 1 2 2 W e dw r r 2 2 2 Dapat digunakan tabel khi-kuadrat 2 Mis X ~ 10 ; r = 10 Pr(3,25x20,5) = Pr(x20,5) – Pr (x<3,25) = 0,975 – 0,025 =0,95 Contoh : Misalkan X ~ Gamma dengan = 2r ; > 0 Tentukan fkp bagi Y = 2X β G(y) = Pr (Y y) = Pr (X βy ) 2 Jika y 0 maka G(y) = 0 tetapi Jika y > 0 maka y 2 G(y) = 1 0 r 2 r 2 x r 2 e x dx Jadi fkp bagi Y adalah g(y) = Gl(y) = = r 1 y /2 y 2 e 2 r 2 r 2 2 r 1 y 1 y2 e 2 r r 2 2 2 2 atau Y ~ r ;y>0
© Copyright 2024 Paperzz
