SEBARAN GAMMA DAN KHI-KUADRAT Dalam calculus Bentuk Integral ~ 0 1 y e y dy Ada nilainya untuk > 0 dan positif integral tersebut kita sebut Fungsi Gamma dari dan ditulis sebagai berikut : e y dy..... ~ y α 1 0 Jika = 1 maka (1) = ~ 0 y e dy =1 Jika > 1 maka ()=(-1) ~ 0 α 2 y y e dy = (-1) (-1) Diintegralkan secara parsial Untuk >1 dan bilangan bulat positif maka () = (-1)(-2)(-3)…… 3.2.1 () = (-1)! dengan (1)= 1 dan 0!= 1,() = (-1)! Misalkan terdapat peubah baru maka () = atau 1= ~ 0 ~ x α 1 1 0 e α x β 1 dx x 1e x dx χ ;β 0 β χ β y y Untuk > 0 ; > 0, dan () > 0 kita tahu bahwa Jika x ~ Gamma (,) f(x) = 1 α x -1e - x ; o< x< ~ f(x) merupakan fkp sebaran Gamma (,) Fungsi Pembangkit Momen Sebaran Gamma M(t) = x tx x 1- βt ; t 1 β β Mis y = atau x= M(t) = 1 1 tx e x e dx... E e 0 ~ 1 1 x 1 t / x dx 0 e ~ y dx 1- t 1 1- t ~ 1 0 y α 1e y dy 1 M(t) = dy 1- t 1 βt α ; t 1 β Jika diturunkan terhadap t maka didapat Ml(t) = (-) (1- t) --1 (-) dan Mll(t) = (-) (--1) (1-t) --2 (-)2 Untuk sebaran Gamma diatas, dengan mensubsitusi nilai t = 0 diperoleh rata-rata dan ragam (variansi)nya sebagai berikut : Rata-rata = = Ml(0) = Ragam 2 = Mll(0) -2 = (+1) 2-22 2 = 2 Hubungan Antara Sebaran Gamma dan Sebaran Poisson Misalkan Peubah Acak W merupakan waktu tunggu dengan fungsi sebaran G(w) = Pr (W w) = 1 – Pr (W>w) W>w untuk w>0 dan k dalam interval w untuk W ~ poisson dengan rata-rata ( w) maka Pr (W>w) = k -1 w x e w x 0 x! untuk w>0 untuk w>0 zk 1e z w k dz ~ G(w) = 1 - w zk 1e z 0 k dz dan untuk w0 G(w)=0 Jika peubah acak dalam G(w) diganti z = y maka k y k 1e y G(w) = k 0 w dy ; w 0 = 0 untuk selainnya sehingga fungsi kepekatan peluang (fkp) W adalah k y k -1 e y ; 0 w ~ g(w) = Gl(w) = (k) = 0 untuk selainnya W ~ Gamma dengan =k dan = 1 SEBARAN EKSPONENSIAL Jika w merupakan waktu tunggu sampai kesempatan pertama, berarti k=1 maka fkp bagi w adalah g(w) = e-w , o < w < ~ = 0 untuk selainnya W ~ Eksponensial SEBARAN KHI-KUADRAT Hal khusus untuk sebaran Gamma adalah sebaran khi-kuadrat dimana =r/2 (r bilangan bulat positif) dan =2 sehingga fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak kontinu X tersebut adalah r f(x) = = x 1 1 2 2 x e ; 0 x ~ r r 2 2 2 0 untuk selainnya Fungsi pembangkit momen untuk peubah acak x yang menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas r adalah Mx(t) = (1-2t)- Fungsi pembangkit momen untuk sebaran marginal X dan Y adalah p E ( X / y) (n y) 2 1 p2 Nilai tengah atau rata-rata untuk X adalah E(X) E(X) = x = = 2=r dan variansi/ragamnya adalah Var (X)
© Copyright 2024 Paperzz
