download

TEORI DUALITAS
D0104 Riset Operasi I
Latar Belakang



Setiap permasalahan programa linier mempunyai
problem yang kedua yang berhubungan dengannya.
Satu problem disebut sebagai ‘primal’ dan yang
lainnya disebut ‘dual’.
Kedua problem sangat dekat berhubungan, sehingga
solusi optimal disatu problem menghasilkan
informasi yang lengkap untuk solusi optimal yang
lainnya.
Definisi Dari Dual Problem
•Dual Problem Bila Dalam Bentuk Kanonik
Pertimbangkan bentuk kanonik dari LP :
Maksimasi :
n
X0  cjxj
j 1
n
Pembatas :
a
j 1
ij
x j  bi
xj  0
i = 1, 2, … , m
j = 1, 2, … , n
Dual Problem Dalam Bentuk Kanonik
Jika permasalahan mengacu sebagai ‘Primal’, hubungan
dalam dualnya adalah sebagai berikut :
Minimasi :
m
y0   bi yi
i 1
m
Pembatas :
a
i 1
x  cj
ij i
yj  0
i = 1, 2, … , m
j = 1, 2, … , n
y1, y2, … , ym : merupakan variabel dual
Problem Dual Bila Primal Dalam Bentuk
Standard
n
Maksimasi
x0   c j x j
j 1
n
a
Pembatas
j 1
ij
Primal
x j  bi
i = 1, 2, … , m
xj  0
j = 1, 2, … , n
Problem
n
Maksimasi
y0   bi yi
i 1
Pembatas
m
a
i 1
ij
yi  c j
j = 1, 2, … , n
yi tidak dibatasi tanda untuk semua i
Dual
Problem
Problem Dual Bila Primal Dalam Bentuk
Standard
n
Maksimasi
x0   c j x j
j 1
n
a
Pembatas
j 1
ij
Primal
x j  bi
i = 1, 2, … , m
Problem
xi tidak dibatasi tanda untuk semua i
n
Maksimasi
y0   bi yi
i 1
m
Pembatas
 aij yi  c j
i 1
yi  0
j = 1, 2, … , n
i = 1, 2, … , m
Dual
Problem
Membentuk
Dual Problem dari Primal Problem atau
Sebaliknya
Langkahnya sebagai berikut :
1. Tiap batasan di suatu problem berhubungan dengan
variabel pada variabel lainnya.
2. Elemen pada RHS pembatas pada suatu problem sama
dengan koefisien fungsi obyektif yang sesuai pada
problem lainnya.
3. Satu problem mempunyai tujuan maksimasi lainnya
minimasi.
4. Problem maksimasi mempunyai pembatas (  ) dan
minimasi mempunyai pembatas (  ).
5. Variabel untuk kedua problem adalah non-negatif.
Contoh :
Maksimasi : X0 = 5 X1 + 6 X2
Pembatas : X1 + 9 X2  60  y1
2X1 + 3 X2  45  y2
5X1 - 2 X2  20  y3
X2  30  y4
X1, X2  0
Primal
Problem
Minimasi : y0 = 60y1 + 45y2 + 20y3 + 30y4
Pembatas : y1 + 2 y2 + 5y3
 60
9y1 + 3 y2 – 2y3 + y4  45
y1 ,y2 ,y3 ,y4  0
Dual
Problem
Perubahan Dari Primal ke Dual
Primal
Dual
fmax
≤
fmin
≥
fmin
≥
fmax
≤
Pembatas ke i =
Variabel ke j tanda tak
terbatas
Variabel ke i tanda tak
terbatas
Pembatas ke j =
Penyelesaian Dual Simplex
Maksimasi : X0 = 2 X1 + X2
Pembatas : 3 X1 + X2  3
4 X1 + 3 X2  6
X1 +2 X2  3
X1, X2  0
Minimasi : X0 = 2 X1 + X2
Pembatas : -3 X1 - X2  3
- 4 X1 - 3 X2  6
X1 +2 X2  3
X1, X2  0
Dengan mengubah fungsi obyektif Maksimasi menjadi
Minimasi dan fungsi pembatasnya menjadi bertanda ,
kemudian dibentuk tabel simpleksnya adalah sbb :
Penyelesaian Dual Simplex

Metoda Simpleks yang biasa, memberikan hasil
didasarkan pada kondisi optimalitas dan layak
(feasibility), sebagai berikut :


Kondisi Layak : ‘Leaving Variabel’ adalah variabel
basis yang mempunyai nilai RHS paling negatif.
Kondisi Optimalitas : ‘Entering Variabel’ dipilih
diantara non-variabel basis dengan cara


Rasio dari koefisien fungsi obyektif dengan koefisien pembatas
yang terpilih sebagai ‘leaving var’.
‘Entering Var. adalah salah satu yang mempunyai rasio terkecil
untuk problem minimasi, atau nilai terkecil absolut untuk
problem maksimasi.
Penyelesaian Dual Simplex
Merubah fungsi pembatas dari Ketidaksamaan kedalam bentuk
Persamaan
Minimasi : X0 = 2 X1 + X2
Pembatas : -3 X1 - X2 + S1
=-3
- 4 X1 - 3 X2
+ S2
=-6
X1 +2 X2
+ S3 = 3
X1, X2  0
Penyelesaian Dual Simplex
Var
Basis
X0
bj
S1
0
-3
S2
0
-6
S3
0
3
0
Koefisien dari
X1
X2
S1
2
1
0
S2
0
S3
0
-3
-4
1
0
1
0
0
0
0
-2
-1
-3
2
-1
1
0
0
0
0
0
RHS
Ratio
Leaving
Variabel
Menentukan
Rasio
Untuk Mendapatkan Entering Variabel
Dengan Memilih Nilai Rasio
Variabel
X1
X2
S1
S2
S3
X0 – equation -2
-1
0
0
0
S2 – equation -4
-3
0
1
0 (leaving var)
Rasio
1/2
1/3
X2 terpilih sebagai entering variabel karena merupakan nilai
terkecil (minimasi problem)
Kembali
Penyelesaian Dual Simplex
Var
Basis
X0
bj
S1
X2
0
-1
1
2
S3
0
Koefisien dari
X1
X2
S1
2
1
0
S2
0
S3
0
-1
-5/3
4/3
-5/3
0
1
0
1
0
0
-1/3
-1/3
2/3
0
0
1
2
-2/3
0
0
-1/3
0
RHS
Ratio
Leaving
Variabel
Hasil optimal tapi belum feasibel maka dengan cara yang sama seperti
iterasi sebelumnya dilakukan perhitungan untuk mendapatkan hasil
yang optimal dan feasibel.
Penyelesaian Dual Simplex
Var
Basis
X0
bj
X1
X2
2
3/5
1
6/5
S3
0
Koefisien dari
X1
X2
S1
-2
-1
0
S2
0
S3
0
0
1
0
0
0
1
0
-3/5
4/5
-1
1/5
-3/5
1
0
0
1
12/5
0
0
-2/5
-1/5
0
RHS
Ratio
Nilai Optimal dan Feasible untuk permasalahan ini adalah :
Maks X0 = Min X0 = 12/5, X2 = 3/5, X2 = 6/5
Peran Teori Dualitas Pada
Analisa Sensitivitas



Analisa Sensitivitas mencakup investigasi pengaruh
solusi optimal dalam melakukan perubahan nilai pada
parameter model.
Perubahan nilai parameter pada problem primal juga
berhubungan dengan nilai pada problem dual nya.
Dalam banyak hal akan lebih baik menganalisa
problen dual secara langsung untuk menentukan
pengaruh komplemennya pada problem primal.