ANALİTİK GEOMETRİ − 1 ( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE ALANI − DEĞERLENDİRME ) ANALİTİK DÜZLEM Örnek...3 : y ABCD kare D(6,14) ise Alan(ABCD) k a ç b i r im k a r e d i r ? DİK KOORDİNAT DÜZLEMİ İ k i s a yı d o ğ r u s u n u n d ik k e s i şm e s i yl e o l u ş a n d ü zl em e , d i k k o o r d i n a t d ü z l em i v e ya a n a l i t ik d ü zl em d e n i r. D C A y Ya t a y ek s e n O x A ek s e n i b v e ya a p s i s ek s e n i , 2 d ik e y 1 ek s e n O y x ek s e n i v e ya a −2 −1 0 1 2 −1 ordinat ek s e n i o l a r ak a d l a n d ı r ı l ı r. Ox ⊥O y v e Ox ∩O y = {O } d ır. B u r a d ak i k e s im n ok t a s ı o l a n O ' ya k o o r d i n a t b a ş l a n g ı c ı ( O R İ J İ N ) d e n i r. A p s i s i a v e o r d i n a t ı b o l a n n ok t a a n a l i t ik k o o r d i n a t d ü zl em i n d e A ( a , b ) i l e b e l i r t i l i r. Örnek...1 : K ( x − 3 , y+ 2 ) n ok t a s ı n ı n x e k s e n i n e u za k l ığ ı 4 b i r i m v e y e k s e n i n e u z ak l ı ğ ı 3 b i r i m s e x . y ç a r p ım ı n ı n e n k ü ç ük d e ğ e r i k aç t ı r ? B x ANALİTİK KOORDİNAT DÜZLEMİNDE BÖLGELER www.matbaz.com HATIRLATMA O Ox ekseni ve Oy ekseninin kesişm es i yl e d ü zl e m d ö r t b ö l g e ye a yr ı l ı r. (Eksenlerin bu d ö r t b ö l g e yl e k es i ş i m i b o ş t u r. ) y I (+,+) II (−,+) x 0 III (−,−) IV (+,−) Örnek...4 : A (m , n ) n ok t a s ı a n a l i t i k d ü zl e m i n I I . b ö l g e s i n d e b i r n o k t a i s e B ( m − n , m .n ) n o k t a s ı hangi bölgede olabilir? Örnek...5 : Örnek...2 : K (m , n ) n ok t a s ı a n a l i t i k d ü zl e m d e 4 b ö l g e d e d e d e ğ i l s e m .n n i n k a ç f a rk l ı d e ğ e r i v a r d ır ? y OBAC eşkenar d ö r t g e n d i r. C(6,8) ise Çevre(OBAC) k aç t ı r ? C A Örnek...6 : O 10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 B x A ( 3k + 8 , k − 7 ) n o k t a s ı I V. b ö l g e d e o l d u ğ u n a g ö r e , k n ın a l a b i l e c e ğ i f a rk l ı t am s a yı d e ğ e r l e r i t o p l am ı k aç t ır ? 1/8 ANALİTİK GEOMETRİ − 1 ( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE ALANI − DEĞERLENDİRME ) ANALİTİK KOORDİNAT DÜZLEMİNDE UZAKLIK Örnek...10 : D ik k o o r d i n a t d ü zl em i n d e b i r A n ok t a s ı n ı n a p s i s i 6 v e o r d i n a t ı 8 a r t ır ıl ıp , a za l t ıl d ığ ı n d a b i r B n ok t a s ı e l d e e d i l i yo r. B u n a g ö r e , | A B | k a ç b i r im d i r ? A ( x1 , y 1 ) v e B ( x2 , y 2 ) n o k t a l a r ı b i r l e ş t i r i l d i ğ i n d e e l d e e d i l e n d o ğ r u p a r ç a s ı n ı n u zu n l u ğ u n a b u n o k t a l a r a a r a s ı n d ak i u zak l ık d e n i r. Ş e k l i i n c e l e yi n i z y B(x2,y2) 1 ,y ) y2 1 0 A( x y1 Örnek...11 : y2− y1 x x2−x1 x1 C A (− 2 , 5 ) v e B ( 6 ,− 3 ) n o k t a l a r ı O y ek s e n i ü ze r i n d ek i b i r K n o k t a s ın a e ş i t u za k l ık t a i s e K ' n i n k oo r d i n a t l a r ı t o p l am ı k a ç t ır ? x x2 |AB|= √ ( Δ X ) 2+( Δ Y) 2 , |AB|= √ ( x1 −x 2)2 +( y 1−y 2)2 Örnek...7 : A ( 5 , 8 ) , B ( 2 , 9 ) n ok t a l a r ı v e r i l i yo r | A B | = ? www.matbaz.com A B C d ik ü ç g e n i n i i n c e l e yi n i z. Örnek...12 : A ( 3 x− 2 , 7− x ) n o k t a s ı e k s e n l e r e e ş i t u za k l ık t a i s e A n ok t a s ı n e o l a b i l i r ? Örnek...8 : A(k,2), B(−3,6) noktaları için |AB|=5 ise a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? Örnek...13 : M ( 0 , 1 ) , N ( − 3 , 5 ) n ok t a l a r ı K L M N k ar e s i n i n k ö ş e l e r i d i r. B u k ar e n i n K M k ö ş e g e n i n u zu n l u ğ u k aç b i r i m d i r ? Örnek...9 : A(m,m), B(4,2), |AB|=6 br ise a nın alabile c e ğ i d e ğ e r l e r t o p l am ı k aç t ı r ? Örnek...14 : A ( 2 ,− 1 ) v e B ( 3 , 1 ) n ok t a l a r ı n a e ş i t u za k l ı k t ak i n ok t a l a r ı n g e o m e t r ik ye r d e nk l em i n i b u l u n u z. 10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 2/8 ANALİTİK GEOMETRİ − 1 ( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE ALANI − DEĞERLENDİRME ) DOĞRU PARÇASININ ORTA NOKTA KOORDİNATLARI Örnek...18 : Ş ek i l d e P n o k t a s ı [ K R ] ' n ın v e L n ok t a s ı [ K M ] ' n ın o r t a n o k t a l a r ıd ır. M(3,x), L(a,−2), R (− 2 , 1 ) , P (m ,k ) v e K ( 1 ,− 3 ) i s e x+ a . k − m k a ç t ır ? A ( x1 , y 1 ) v e B ( x2 , y 2 ) n o k t a l a r ı b i r l e ş t i r i l d i ğinde elde edilen [AB] doğru parçasının o r t a n ok t a s ı C ( x0 , y 0 ) i s e x 0= x1 +x2 2 y 0= y 1 +y 2 2 M L K P R o l a r ak e l d e e d i l i r. Ş e k l i i n c e l e yi n i z. y UYARI B(x2,y2) y2 y0 y1 P a r a l e l k e n a r, e şk e n a r d ö r t g e n , k a r e v e dikdörtgende köşegenler birbirlerini ortal a d ığ ın d a n b u d ö r t g e n l e r d e k a r ş ıl ık l ı k öş e l e r i n a p s i s l e r i n t o p l am l a r ı v e k ar ş ı l ık l ı o r d i n a t l a r ın t o p l am ı b i r b i r i n e e ş i t t i r. A B C D p a r a l e l k e n a r ın ı i n c e l e yi n i z . C A(x1,y1) 0 x1 x0 D(x4,y4) x2 C(x3,y3) Örnek...15 : K ( 5 , 6 ) v e L (− 11 , − 8 ) n o k t a l a r ı v e r i l i yo r [ K L ] n i n o r t a n ok t a s ı D i s e D n ok t a s ı n ı n k o o r d i n a t b a ş l a n g ı ç n ok t a s ı n a u zak l ı ğ ı k aç b i r i m d i r ? Örnek...16 : K ( m + 11 , 1 4 ) , M (− 2 m + 7 , √ 2) n ok t a l a r ı n ı n o r t a n o k t a s ı y ek s e n i ü ze r i n d e i s e m k aç t ı r ? Örnek...17 : A ( 1 , 2 ) , B ( 3 , 6 ) , C (− 3 , 5 ) n o k t a l a r ı A B C ü ç g e n i n i n k ö ş e l e r i d i r. Ü ç g e n i n A B k e n a r ın a a i t k e n a r o r t a y u zu n l u ğ u k aç b i r i m d i r ? 10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 www.matbaz.com E A(x1,y1) B(x2,y2) E ( x 0 , y 0 ) k öş e g e n l e r i n k e s im n ok t a s ı i s e x +x x +x y +y y +y x 0= 1 3 = 2 4 , y0= 1 2 = 2 4 2 2 2 2 v e b u r a d a n x 1+x 3=x 2+x 4 , y1 +y 3=y 2+ y4 t ü r. Örnek...19 : A n a l i t ik d ü z l em d e k öş e k o o r d i n a t l a r ı A ( 0 , 2 ) , B (− 5 , 3 ) , C ( 8 , 2 ) D ( x , y) o l a n A B C D p a r a l e l k e n a r ı n D k öş e s i n i n k o o r d i n a t l a r ı t o p l am ı k a ç t ır ? Örnek...20 : K ö ş e g e n l e r i n i n k e s im n ok t a s ı O ( 3 ,− 7 ) o l a n A B C D d ik d ö r t g e n i n i n d ö r t k ö ş e s i n i n k o o r d i n a t l a r ı t o p l a m ı k aç t ır ? 3/8 ANALİTİK GEOMETRİ − 1 ( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE ALANI − DEĞERLENDİRME ) BELLİ ORANDA İÇTEN VE DIŞTAN BÖLME b) Dıştan Bölen Nokta: a) İçten Bölen Nokta: Eğer A v e B n ok t a l a r ı b i r d o ğ r u p a r ç a s ı n ı n u ç ∣AC∣ n ok t a l a r ı o l m a k ü ze r e =k o l a c a k ∣BC∣ ş ek i l d e b i r C∈ [ AB ] v a r s a C n o k t a s ı n a [AB] 'nı k oranında içten bölen nokta d e n i r. Ş e k l i i n c e l e yi n i z . A(x1,y1) C(x3,y3) ∣AC∣ =k o l a c ak ş e k i l d e b i r ∣BC∣ C∉ [ AB ] , C∈AB v a r s a C n ok t a s ın a [ A B ] ' n ı k o r a n ın d a d ış t a n b ö l e n n o k t a d e n i r. Ş ek l i i n c e l e yi n i z A(x1,y1) B(x2,y2) B(x2,y2) C(x3,y3) Örnek...23 : A ( 1 ,− 6 ) , B ( 9 , 2 2 ) n o k t a l a r ı v e r i l i yo r Örnek...21 : ∣AC∣ =5 ∣BC∣ o r a n ı n d a d ış t a n b ö l e n C n ok t a s ın ı n k oo r d i natları nedir? www.matbaz.com A ( 5 , 1 4 ) , B ( 1 3 , − 1 4 ) n ok t a l a r ı v e r i l i yo r ∣AC∣ =3 o r a n ı n d a i ç t e n b ö l e n C n ok t a s ı n ı n ∣BC∣ k oo r d i n a t l a r ı t o p l am ı n e d i r ? Örnek...24 : A ( 9 , 1 2 ) , B ( 1 5 , 1 7 ) n ok t a l a r ı v e r i l i yo r. C n o k ∣AC∣ 2 t a s ı [ A B ] n ı, = o r a n ı n d a d ış t a n b ö l ü ∣BC∣ 3 yo r s a B n ok t a s ın ı n k o o r d i n a t l a r ı ç a r p ım ı nedir? Örnek...22 : A ( − 5 , 6 ) , C ( 1 5 , 2 0 ) n ok t a l a r ı v e r i l i yo r. C ∣AC∣ noktası [AB] nı, =2 o r a n ı n d a i ç t e n ∣BC∣ b ö l ü yo r s a B n ok t a s ı n ı n k oo r d i n a t l a r ı ç a r p ım ı nedir? Örnek...25 : Ş ek i l d e A B C D paralel kenardır ∣AE∣ 3 = ve ∣ED∣ 4 E(1,2) , F(10,−17) ise C köşesinin koordinatlarını bulunuz? 10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 A D E F B C 4/8 ANALİTİK GEOMETRİ − 1 ( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE ALANI − DEĞERLENDİRME ) Örnek...26 : ve M(1,−4), L(0,−1) P ( − 4 , 11 ) i s e R noktasının koordinatları ç a r p ım ı n e d i r ? Örnek...28 : M ∣KL∣ ∣KP∣ 2 =2, = Şekilde ∣LM∣ ∣PR∣ 3 A ( x , y) , B (− 1 , 2 ) , C ( 4 , 6 ) ü ç g e n i n i n a ğ ır l ık m e rk e zi n i n G ( − 5 , 1 2 ) i s e A n o k t a s ın ın k o o r d i n a t l a r ı n ı b u l u n u z? L K P R Örnek...29 : Köşeleri A(2,1) O ve B olan AOB dik ü ç g e n i n i n a ğ ır l ık m e rk e zi n i b u l u n u z y A(2,1) x ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİNİN KOORDİNATLARI C(x3,y3) G(x0,y0) A(x1,y1) www.matbaz.com O B KÖŞE KOORDİNATLARI BİLİNEN ÜÇGENİN ALANI C(x3,y3) B(x2,y2) K ö ş e k o o r d i n a t l a r ı A ( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2) , C ( x 3 , y 3 ) o l a n A B C ü ç g e n i n a ğ ı r l ı k m e rk e zi G ( x 0 , y 0 ) x +x +x y +y +y i s e x 0= 1 2 3 , y 0= 1 2 3 o l a r ak e l d e 3 3 e d i l i r. Örnek...27 : A ( − 8 , 1 0 ) , B ( − 5 , 6 ) , C (− 2 , 5 ) ü ç g e n i n i n a ğ ı r l ı k m e rk e zi n i n k o o r d i n a t l a r ı n ı b u l u n u z? A(x1,y1) B(x2,y2) K ö ş e k o o r d i n a t l a r ı A ( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2) , C ( x 3 , y 3 ) olan ABC üçgenin alanı bulunurken şekildeki g i b i n o k t a l a r a l t a l t a y a z ı l ı r. S o n r a i l k n o k t a larının ikilisi en alta yazılır ve ok yönündeki çarpımlar yapıldıktan sonra oluşturulan iki grubun farklarının yarısının mutlak değeri a l ı n ı r. 1 A ( ABC) = ∣a−b∣ 2 10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 5/8 ANALİTİK GEOMETRİ − 1 ( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE ALANI − DEĞERLENDİRME ) Örnek...30 : Örnek...33 : K ö ş e l e r i A ( 0 , 1 ) , B ( 3 , 5 ) , C ( 3 , 6 ) v e D (− 8 , − 3 ) olan ABCD dörtgeninin alanı kaç br 2 dir? A n a l i t i k d ü zl e m d e A ( 0 , 2 ) , B ( − 5 , 3 ) v e C(8,2) noktaları ise verilen ABC üçgeninin a l a n ı k a ç b i r im k a r e d i r ? Örnek...31 : A(0, 4) , B(−5, 4) ve C(a,b) noktaları ise v e r i l e n A B C ü ç g e n i n i n a l a n ı 2 0 b i r i m k a r e d i r. Buna göre b nin alacağı değerler çarpımı k aç t ı r ? www.matbaz.com Örnek...34 : A n a l i t ik d ü z l em d e v e r i l e n A B C ü ç g e n i n i n a ğ ır l ık m e r k e zi G ( 6 , − 2 ) n ok t a s ıd ı r. B ( 2 , − 2 ) v e C ( 0 ,− 4 ) o l d u ğ u n a g ö r e , A B C ü ç g e n i n i n a l a n ı k aç b i r i m k ar e d i r ? Örnek...32 : A n a l i t i k d ü zl e m d e k ö ş e k oo r d i n a t l a r ı A (− 2 , 5 ) , B(1,3), C (n,4) olan ABC üçgeninin alanı 8 b i r i m k ar e o l d u ğ u n a g ö r e , n k a ç o l a b i l i r ? 10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 6/8 ANALİTİK GEOMETRİ − 1 ( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE ALANI − DEĞERLENDİRME ) DEĞERLENDİRME 2) 3) 4) Analitik düzlemde A(x − 5,3 − x) noktası III. bölgede bir nokta ise B(4x, x − 9) noktası hangi bölgede olabilir? Şekildeki ABCD paralel kenarında L ve F orta noktalar. [DF] ∩ [BL]=K ve A(−2,1) ve C(22,−17) ise K noktasının koordinatları farkı kaçtır? D C L K F B A K(−3,3y+2) ve L(x−3,−2) noktaları analitik düzlemde aynı bölgelerde ise x+y nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? www.matbaz.com 1) 5) K(1,2) ve L(−3,1) noktalarına eşit uzaklıkta ve y ekseni üzerindeki noktanın ordinatı kaçtır? Şekildeki paralel kenarda A(−2,1) B(3,2) ve C(1,4) ise BD köşegen uzunluğu kaç birimdir? 6) Koordinat sisteminde a ve b birer tamsayı olmak üzere K(a,2) ve B(−1,b) noktaları arası 5 birim ise b nin alabileceği tam sayıların aritmetik ortalaması kaçtır? 7) Şekildeki OKA dik üçgen ve m(KOA) 75 ve A(16,0) ise K noktasının koordinatları nedir? y K C D y 8) A B Şekilde [OK], LOA üçgeninin yüksekliği , L(0,5) ve ∣LK∣= √ 5 ise A noktasının apsisi kaçtır? L O 10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 x A O K A 7/8 x ANALİTİK GEOMETRİ − 1 ( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE ALANI − DEĞERLENDİRME ) 9) Analitik koordinat düzleminde koordinatları O(0,0) A(6,0) B(4,3) ve C(0,7) olan dörtgenin alanı kaç birim karedir? 13) Şekilde ∣KL∣ 3 = ,P [KR] ∣LM∣ 2 M nin orta noktası ve K(1,2), M(21,−18) ve R(7,2) ise |LP| kaç birimdir? K L P R 11) A(2,−1) noktasına uzaklığı B(1,1) noktasına uzaklığının 2 katına eşit noktaların geometrik yer denklemini bulunuz. www.matbaz.com 10) Analitik koordinat düzleminde koordinatları M(1,−3) ∣MK∣ N(2,5) ise [MN] nı =3 oranında dıştan bölen ∣NK∣ K noktasının koordinatları toplamı kaçtır? 14) ABC üçgeninde [NB] B C açısının açıortayı , ∣BC∣ 3 = , C(0,0) ve ∣BA∣ 2 N N(9,−6) ise A noktasının koordinatları A çarpımı kaçtır? B 12) Analitik düzlemde verilen ABC üçgeninin ağırlık merkezi G(2, 4) noktasıdır. A(−1, 3) ise B ve C noktalarının koordinatları toplamını bulunuz. 15) Şekilde PRST dikdörtgendir. R(−3,6) ve P(−7,0) ise T noktasının koordinatları çarpımı kaçtır? R y S P x T 10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 8/8