Matakuliah
Tahun
: I0184 – Teori Statistika II
: 2009
PENDUGAAN TITIK
Pertemuan 4
Outline Materi :
• Konsep dasar pendugaan titik
Bina Nusantara University
2
Materi Pokok 04-05
PENDUGAAN TITIK
1. Konsep Dasar pendugaan titik
Tujuan pendugaan titik adalah menghitung berdasarkan contoh
(sample). Satu nilai tunggal yang merupakan penerka terbaik dari
nilai sesungguhnya parameter yang sedang diselidiki.
Parameter yang sering menarik untuk diselidiki adalah:
– Nilai tengah populasi tunggal ,
~,
μ
– Median populasi
– Proporsi populasi tunggal p,
– Ragam (varians) 2 atau simpangan baku populasi ,
– Beda dua nilai tengah populasi berbeda 1 - 2,
– Beda dua proporsi p1-p2 dari dua populasi berbeda.
Notasi  sering digunakan untuk melambangkan parameter secara
umum, sehingga  mungkin mewakili  atau  atau p1 – p2 dst.
Bina Nusantara University
3
Definisi 4.1
Suatu penduga titik terhadap parameter  merupakan nilai
tunggal, yang dihitung dari contoh (sample), yang digunakan
sebagai terkaan nilai  yang sesungguhnya.
Parameter dan Pendugaannya

~
1. Parameter = , penduga
μ =x = , nilai tengah contoh.
~
μ =x = , median contoh.
2. Parameter μ
= , penduga

3. Parameter p, pendugap=
= x/n , proporsi sukses dalam
contoh (sample).
 2=
4. Parameter = 2, penduga
= S2, ragam (varians) contoh
σ

(sample); parameter
σ , penduga = S, simpangan baku
contoh.
μ1 - μ2  X - Y ,
5. Parameter = 1 - 2, penduga =
beda antara
 
p1 - pdua
- Y/n,acak bebas X1, …,
dua nilai tengah contoh dari
contoh
2  X/m
Xn dan Y1, …, Yn.
6. Parameter = p1 – p2, penduga =
beda
4
antara proporsi sukses, dengan X dan Y adalah banyaknya
Bina Nusantara University
Contoh 4.1.
Ambil contoh acak X1, X2, …, X10 yang melambangkan jangka
hidup dan diasumsikan contoh acak berasal dari populasi yang
menyebar secara normal dengan parameter  dan .
Bila hasil pengamatan jangka hidup seperti berikut:
X1  26, 3
X 2  35, 1
X 3  23, 0
X 4  28, 4
X 5  31, 6
X 6  30, 9
X 7  25, 2
X8  28, 0
X 9  27, 3
X10  29, 2
Perhatikan penduga-penduga berikut sebagai hasil pendugaan
terhadap : ~
x
x
x
a) Penduga ~
=  Xi/10 = 28,50.
x= , dugaan
b) Penduga = , dugaan = (28,0 + 28,4)/2 = 28,20
Bina Nusantara University
5
c) Penduga = [min (Xi) + max (Xi)]/2 = rataan dari dua
jangka hidup ekstrim, dugaan [min (Xi) + max (Xi)]/2 =
(23,0 + X
35,1)/2
= 29,05
tr 10  ,
d) Penduga
nilai tengah hasil pangkasan 10% (10
persen dari masing-masing nilai terbesar dan terkecil
dikeluarkan, kemudian baru dicari nilai tengahnya).
25,2  26,3  27,3  28,0  28,4  29,2  30,9  31,0
X tr 10  
8
 28,36
Mana hasil pendugaan yang paling dekat dengan nilai
sesungguhnya?
Bina Nusantara University
6
Contoh 4.2
Suatu perusahaan produsen ingin mengembangkan tipe
bumper baru yang lebih tahan terhadap kerusakan karena
benturan. Perusahaan mencoba tingkat ketahanan
bumper tersebut dengan membenturkan sebanyak 25 kali.
Bila X = banyaknya benturan yang tidak menimbulkan
goresan. Hasil pengamatan
x = 15
X
X maka
15 penduga
p  , dugaannya    0,60
n
n 20
Contoh 4.3
Suatu perusahaan cat sedang memperhatikan tentang
variabilitas waktu pengeringan cat yang dihasilkannya.
Ambil X sebagai waktu pengeringan contoh cat yang
dicobakan pada papan percobaan dan 2 = var(X) =
varians populasi untuk semua waktu pengeringan. Jika7
ada n papan percobaan dengan waktu pengeringan X1,
Bina Nusantara University
2


2

2
x

x
x

x


 
 n
i
i
i


2
2
σ̂  S 

n 1
n 1
Misalkan data itu n = 10, dan kita gunakan 1, maka:





σ2  S 2 
 Xi
2




-  X i  2 n
9

26,32    29,2 2 - 285 2 10

9
 11,90

Penduga σ adalah σ  S  11,90  3,45
Suatu alternatif penduga varians adalah mengganti n – 1
2
dengan n sehingga:
 X i - X 
σ2 
8
n
Bina Nusantara University
2
σ 

2
X
 i   X i  2
n
n
n  X i   X i 2
2
n2
Hasil dugaannya
 2 107, 10
σ 
 10,71
10
Bina Nusantara University
9
3. Prinsip Pemilihan Penduga.
Pilih penduga yang tidak bias bila akan memilih beberapa
penduga terhadap parameter = 
 Bila proporsi contoh X/n digunakan sebagai penduga p
dimana X adalah banyaknya contoh terpilih yang sukses,
mempunyai sebaran binomial dengan parameter n dan p,
1
maka:
x 1
E (pˆ )  E    E (x)  (np)  p
n
n n

Bila X adalah contoh acak yang menyebar
p̂  x n secara binomial
dengan parameter n dan p, maka proporsi contoh
merupakan penduga tidak bias terhadap p.
Bila X1, X2, …, Xn merupakan contoh acak dari sebaran

X i - tengah
X 2
dengan
nilai
 dan ragam (varians) 2 maka penduga
2
2 
σˆ  S 
merupakan penduga tidak bias10
n -1
terhadap
2.

Bina Nusantara University

Bila X1, X2, …, Xn merupakan contoh acak dari suatu
sebaran dengan xnilai tengah  maka
merupakan
penduga tidak bias terhadap . Bila~
x sebarannyax kontinu
tr 
dan simetri maka = median dan
nilai tengah
pangkasan merupakan penduga tidak bias terhadap .
Bina Nusantara University
11

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download