Matakuliah
Tahun
: I0184 – Teori Statistika II
: 2009
SIFAT-SIFAT PENDUGA PARAMETER
Pertemuan 5
Materi Pokok 05
SIFAT-SIFAT PENDUGA PARAMETER
1.
2.
3.
4.
Tidak Bias
Efisiensi
Sufficient (Cukup)
Konsistensi
Bina Nusantara University
2
1. Tidak Bias

Suatu penduga
θ
adalah tidak bias jika pusat sebarannya
mempunyai pusat yang sama dengan nilai parameter yang
diduga = .
θ̂1
Grafik 4.1. Grafik fungsi kepekatan penduga tidak bias
penduga bias
Bina Nusantara University
θ̂ 2
dan
3
Definisi 1, 2, …, n adalah contoh acak dari f(; )
dan pendugaθˆ , θˆ  hω1 , ω2 , , ωn 
disebut penduga
tidak bias terhadap
untuk semua nilai .
E θˆ   θ jika
Contoh 08.1 n
2
ˆ
Diketahuiθ1   Yi dan θˆ 2  Y maks
n i 1
penduga
adalah dua
1
f y y; θ   , 0  y  θ
untuk  dalam fungsi kepekatan seragam θ
Apakah keduanya tidak bias.
Bina Nusantara University
4
Penjelasan.
Untuk fungsi kepekatan seragam E(Yi) = /2 untuk semua i
danz untuk
n
z n

ˆ
ˆ
θ
n

i 1
Yi maka E θ   E  Yi 
 n i 1 
z n θ
 
n i 1 2
z nθ
 . .θ
n 2
z n
ˆ
Jadi θ   Yi adalah penduga tidak bias terhadap θ.
n i 1
n
ˆθ  z  Yi adalah penduga θ pada fungsi kepekatan seragam dengan
n i 1
menggunaka n metode momen.
Bina Nusantara University
5
ˆ  Y maks
Untuk θ
ˆ 2 u   f y maks
fθ
ˆ2 
E θ
θ

0
u.
u   n . 1 .  u 
θ θ
n u
 
θ θ
n -1
du 
n
θn
n -1
.
,0uθ
n  1 θ
u

n 1
0
n
θ
n 1
bukan penduga tidak bias terhadap θ.

ˆ2
Jadi θ
Contoh 08.2.
Misalkan 1, 2, …, n adalah contohn acak dari model
peluang yang nilai tengahnya
μˆ  h ω1, ω2.
,Bila
, ωn    a i ωi
i 1
dengan ai adalah konstanta.
μ̂
Tentukan nilai a1, a2, …, an supaya
sebagai penduga
6
tidak bias terhadap .
Bina Nusantara University
Penyelesaian.
Jika nilai tengah f(; ) adalah , maka E(I) =  untuk
semua nilai .
Eμˆ   μ
n
n
n


E  a i ωi    a i Eωi    a i μ
 i 1
 i 1
i 1
n
μ 
i 1
a i sehingga
n

i 1
ai  1
supaya μˆ menjadi penduga tidak bias terhadap μ.
2. Efisiensi
Seperti diketahui bahwa parameter yang tidak diketahui
mempunyai banyak penduga yang tidak bias seperti pada
7
fungsi kepekatan seragam
Bina Nusantara University
1
f y y; θ   , 0  y  θ
θ
n
n 1
2
yˆ 
. y maks dan θˆ   Yi
n
n i 1
mempunyai nilai harapan yang sama dengan θ.
Selain penduga tidak bias adalah penting unutk sifat
penduga yang efisien.
Definisi 08.2.
Misalkanθˆ1 dan θˆ 2
adalah dua penduga tidak bias untuk
parameter
.υar
Jika
maka penduga θ̂1
θˆ 2 
υar θˆ1  
θ̂ 2
θˆ1  efisien relatif
lebih efisien dari penduga
υar θˆ 2  υar dengan
Bina Nusantara University
8
Contoh 08.3.
Misalkan Y1, Y2, …, Y3 adalah contoh acak dari sebaran
normal dengan  dan  tidak diketahui. Penduga mana
yang lebih efisien:
1
1
1
μˆ 1  Y1  Y2  Y3 atau
4
2
4
1
1
1
μˆ 2  Y1  Y2  Y3
3
3
3
Bina Nusantara University
9
Penjelasan :
1
1
1

Eμˆ 1   E Y1  Y2  Y3 
2
4
4

1
1
1
 EY1   E Y2   E Y3 
4
2
4
1
1
1
 μ  μ  μ μ
4
2
4
1
1
1

Eμˆ 2   E Y1  Y2  Y3 
3
3
3

1
1
1
 EY1   E Y2   E Y3 
3
3
3
1
1
1
 μ  μ  μ μ
3
3
3
Jadi keduanya penduga tidak bias.
Bina Nusantara University
10
1
1
1

υar μˆ 1   υar  Y1  Y2  Y3 
2
4
4

1
1
1
 υar Y1   υar Y2  
υar Y3 
16
4
16
3
 σ2
8
1
1
1

υar μˆ 2   υar  Y1  Y2  Y3 
3
3
3

1
1
1
 υar Y1   υar Y2   υar Y3 
9
9
9
3
 σ2
9
Jadi μˆ 2 lebih efisien dari μˆ 1 karenaυar μˆ 2   υar μˆ 1  dengan
efisiensi relatif
Bina Nusantara University
3 2
σ
8
3 2
σ  1,125
9
11
3. Cukup
Definisi 08.5.
Misalkan 1, 2, …, n contoh acak dari f(; ). Penduga
dikatakan cukup untuk  jika untuk
θˆ  hω1, ω2 , , ωn 
semua  dan semua titik contoh yang mungkin, fungsi
peluang
tidak tergantung pada
θ̂ bersyarat 1, 2, …, n /
. θ̂
θ̂
Jika k θˆpenduga
cukup terhadap , maka fungsi satu-satu
, θˆ  k
dari
seperti
juga penduga cukup terhadap .
θ̂
Teorema 08.2. Fisher-Neyman
Misalkan 1, 2, …, n contoh acak dari f(; ). Penduga
adalahθ̂ cukup untuk  jika dan hanya jika fungsi
n
kepekatan/peluang
difaktorkan sebagai
Π fωω; θ bersama
 fθˆ θˆ ; θ . 
siωdapat
12
1 , ω 2 , , ω n 
i

1
fungsi lain yang tidak tergantung pada ,
adalah statistik
Bina Nusantara University
4. Konsistensi
Definisi 08.6.
Penduga θˆ n  hω1, ω2 , , ωn  dikatakan konsisten untuk  jika
konvergen dalam peluang terhadap  untuk semua  > 0.
Lim P θˆ n - θ  ε   1
n
Contoh 08.5.
Misalkan Y1, Y2, …., Yn contoh acak dari fungsi kepekatan
seragam
1
f y y; θ   , 0  y  θ dan θˆ n Y maks
θ
Penduga θˆ  Y maks adalah bias terhadap θ, tetapi apakah konsisten.
Bina Nusantara University
13
Penyelesai an :
f Y maks y  
n yn -1
θ
n
,0 yθ
Pθˆ n - θ  ε   Pθ - ε  θˆ n - θ 

y
n θ
θn
θ-ε
θ
 
θ-ε
θ - ε
1- 

 θ 
n yn -1
θ
n
dy
n
Karena θ - ε  θ   1 maka θ - ε  θ  n  0 untuk n   sehingga
lim Pθˆ n - θ  ε   1 maka
n
θˆ  Y maks merupakan penduga konsisten terhadap θ.
Bina Nusantara University
14

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download